11. Le funzioni composte
Definizione: Date le due funzioni f : A → B e g : D → C , dove f [A] ⊆ D , si dice funzione composta di f e g
la funzione:
h :A →C
che ad ogni elemento a ∈ A fa corrispondere l’elemento g (f (a )) ∈ C e si scrive g f cioè
(g f )(a ) = g( f (a ))
1) Notare che fare g f non è lo stesso che fare f g
2) Se il codominio di f non è un sottoinsieme del dominio di g , non è possibile calcolare g f .
Esempio 25
f (x ) = x 2 + 1
Date le funzioni:
g (x ) = x
si calcolino g f ed f g .
Abbiamo:
f : ℝ → ℝ+
g : ℝ+ → ℝ+
Calcoliamo g f . L’operazione si può eseguire dato che il codominio di f , ℝ + , è un sottoinsieme del
dominio di g , anzi in questo caso coincide esattamente con esso:
(g f )(x ) = g(f (x )) =
f (x ) = x 2 + 1 (da ℝ in ℝ + )
Calcoliamo f g . Anche questa operazione si può eseguire dato che il codominio di g è un sottoinsieme del
dominio di f ( ℝ + ⊂ ℝ ), quindi:
2
( f g )(x ) = f (g(x )) = ( x ) + 1 = x + 1
(da ℝ + in ℝ + )
Esempio 26
Siano date le due funzioni f e g di cui si sa che:
f (2) = 1 f (4) = 3 f (6) = −3 f (−2) = 7
g (6) = 5
g(−3) = 4
g(7) = 3
g (3) = 2
Calcolare: (g f )(−2) ; (g f −1 )(−3) ; (g −1 f )(4) ; (g −1 f −1 )(3)
Risposta:
(g f )(−2) = g ( f (−2)) = g(7) = 3
(g f −1 )(−3) = g( f −1(−3)) = g (6) = 5
(g −1 f )(4) = (g −1 ( f (4)) = (g −1 (3)) = 7
(g −1 f −1 )(3) = g −1 ( f −1 (3)) = g −1 (4) = −3
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Esempio 27
f : ℝ → ℝ | f (x ) = x 3 + 1
Date le funzioni:
g : ℝ + → ℝ | g (x ) = x
si calcolino g f ed f g .
Calcoliamo g f . L’operazione non si può eseguire dato che il codominio di f , ℝ , non è un sottoinsieme
del dominio di g , ℝ + . Pertanto non esiste g f . Se volessimo calcolarla dovremmo restringerci alla regione
x 3 + 1 > 0 , cioè:
f : ℝ → [−1; +∞) | f (x ) = x 3 + 1
(g f )(x ) = g( f (x )) =
f (x ) = x 3 + 1
(da [−1; +∞) a ℝ )
Calcoliamo f g . Questa operazione si può eseguire in quanto il codominio di g è un sottoinsieme del
dominio di f , anzi vi coincide, quindi:
( f g )(x ) = f (g(x )) = ( x )3 + 1 = x 3 + 1
(da ℝ + a ℝ )
Tomo A1 p.418 n. 81 , p.419 n. 83(composte)
12. Le funzioni pari e dispari
Definizione: una funzione f : A → B si dice dispari se f (−x ) = −f (x ) , si dice pari se f (−x ) = f (x ) . Una funzione
che non sia né pari né dispari si dice che non ha parità definita
f (x ) = f (−x )
f (x )
−x
x
x
−x
f (−x )
si dice dispari
si dice pari
se f (-x ) = −f (x )
se f (−x ) = f (x )
1) Attenzione quindi a non dire che le funzioni si dividono in pari o dispari.
2) Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine, cioè comunque preso un punto P
appartenente al grafico di f (x ) , se ne può trovare un altro P ′ , sempre appartenente al grafico, tale che
l’origine degli assi è il punto medio del segmento PP ′ .
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3) Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate, cioè
comunque preso un punto P appartenente al grafico di f (x ) , se ne può
trovare un altro P ′ , sempre appartenente al grafico, tale che la retta x = 0 è
asse del segmento PP ′ .
4) Delle funzioni trigonometriche y = cos x è pari, mentre y = sin x ed
y = tan x sono dispari. Fra le trigonometriche inverse hanno parità
definita solo y = arcsin x ed y = arctan x e sono entrambe dispari.
5) Per la parità delle funzioni vale un’algebra simile a quella dei numeri
relativi. Il prodotto di due funzioni pari è ancora una funzione pari, il
prodotto di una funzione pari per una funzione dispari è una funzione
dispari, ed il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari.
P
P′
P′
P
Esempio 28
Trovare la parità delle funzione:
y=
sin x
x
Calcoliamo f (−x ) :
f (−x ) =
sin(−x ) − sin x
sin x
=
=
= f (x )
−x
−x
x
avendo utilizzato il fatto che il seno è dispari, cioè sin(−x ) = − sin x . Poiché f (−x ) = f (x ) , si tratta di una
funzione pari. La risposta poteva essere data osservando anche che f (x ) è il prodotto di due funzioni
dispari:
1
x
⋅ sin
x dispari
f (x ) =
dispari
Esempio 29
Trovare la parità delle funzione:
y=
−2x 2 + 4x 4
x cos x
Calcoliamo f (−x ) :
f (−x ) =
−2 (−x )2 + 4 (−x )4
−2x 2 + 4x 4
=
= −f (x )
(−x ) cos (−x )
−x cos x
avendo utilizzato la parità del coseno, cioè cos(−x ) = cos x . Poiché f (−x ) = −f (x ) , si tratta di una funzione
dispari. La risposta poteva essere data osservando anche che f (x ) è il prodotto di una funzione pari per una
dispari:
35
f (x ) =
1 −2x 2 + 4x 4
⋅
x cos
x pari
dispari
Esempio 30
Trovare la parità delle funzione:
y = 5 − 3x 3
Calcoliamo f (−x ) :
f (−x ) = 5 − 3(−x )3 = 5 + 3x 3
Poiché il risultato ottenuto non è né uguale ad f (x ) né uguale a −f (x ) , la funzione non ha parità definita.
Esempio 31
Trovare la parità delle funzione:
y=
4 sin x
3x 3 − 2x
Calcoliamo f (−x ) :
f (x ) =
4 sin(−x )
−4 sin x
4 sin x
=
= 3
= f (x )
3
3
3(−x ) − 2(−x ) −3x + 2x
3x − 2x
avendo utilizzato il fatto che il seno è dispari, cioè sin(−x ) = − sin x . Poiché f (−x ) = f (x ) , si tratta di una
funzione pari. La risposta poteva essere data osservando anche che f (x ) è il prodotto di due funzioni
dispari:
f (x ) = 4
sin x ⋅
dispari
1
3x − 2x
3
dispari
Esempio 32
Trovare la parità delle funzione:
y = cos x sin2 x
Calcoliamo f (−x ) :
f (−x ) = cos(−x ) sin2 (−x ) = cos x (− sin x )2 = cos x sin2 x = f (x )
2
La funzione è pari, come si vede anche da: f (x ) = cos
x ⋅ sin
x
pari
pari
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Esempio 33
Trovare la parità delle funzione:
y=
x4 + x2
sin x
Calcoliamo f (−x ) :
f (−x ) =
+ (−x )2
x4 + x2
=
= −f (x )
sin (−x )
− sin x
(−x )4
è dispari, infatti è il prodotto di una funzione pari per una dispari:
4
f (x ) = x
+ x2 ⋅
pari
1
sin
x
dispari
Monotone, iniettive, suriettive, pari e dispari: Tomo A1 pp.23-32
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