La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA
a cura di Gianfranco Metelli
PRESENTAZIONE DEL LAVORO
Questo lavoro presenta una trattazione sulla sezione aurea che potrebbe essere proposta ad una
classe superiore ed è frutto e sintesi di una raccolta di produzioni selezionate tra una ricca
bibliografia e sitografia.
L’argomento coinvolge più discipline, in particolare Matematica, Geometria e Storia dell’Arte,
ma anche un insegnante di Letteratura Latina e Greca potrebbe offrire spunti e
approfondimenti. Infine, qualche appassionato di musica e di natura troverebbe in questa
produzione alcune curiosità inattese.
Ho strutturato il lavoro in due parti: la prima potrebbe riguardare una lezione frontale di
Matematica, in cui in classe si definisce e si presentano le proprietà geometriche e algebriche della
sezione aurea.
Si passa poi alla seconda parte di ricerca e di collaborazione con le altre discipline. Il collega di
Greco e Latino può fornire testi che riguardano la scultura e l’architettura antica, mentre da Storia
dell’Arte possono provenire descrizioni, testi, disegni e fotografie sull’argomento della sezione
aurea.
Il presente mio lavoro è stato pubblicato sulla rivista DIDATTICA DELLE SCIENZE (n. 267
aprile 2010 e n. 268 maggio 2010) dell’Editrice La Scuola.
pag. 1
La sezione aurea
PARTE PRIMA
1. GEOMETRIA: LA SEZIONE AUREA
Presentiamo la trattazione geometrica della sezione aurea, partendo dai concetti principali e
arrivando alla sua applicazione nelle figure geometriche, verificandone le proprietà.
Definizione
Si chiama sezione aurea o parte aurea di un segmento quella parte di esso che è media
proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente.
A
C
B
x
a-x
a
Dato il segmento AB, la sua sezione aurea è il segmento AC tale che
AB : AC = AC : BC
Ponendo a = AB, x la misura della parte aurea AC, otteniamo
a : x = x : (a-x)
Applicando le proprietà della proporzioni, si ottiene
x2 = a(a-x)
x2 + ax – a2 = 0
da cui
che ammette due soluzioni, di cui accettiamo solo quella positiva, essendo x una lunghezza:
x=
5 −1
− a + a 2 + 4a 2
=
a
2
2
Definizione
Si chiama rapporto aureo o numero aureo, e si indica con la lettera greca ϕ , il rapporto tra una
grandezza e la sua parte aurea.
Nel caso dei segmenti precedentemente considerati, si calcola
ϕ=
AB
=
AC
a
=
2
=
(
(
)
2 5 +1
)(
)
=
5 +1
= 1,618033...
2
5 −1
5 −1 5 +1
5 −1
a
2
Dunque, il rapporto aureo è un numero irrazionale, ossia un segmento e la sua sezione aurea sono
incommensurabili.
pag. 2
La sezione aurea
COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO
DELLA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO AB.
Possiamo far costruire manualmente ai ragazzi la sezione aurea di un segmento,
per esprimere il tutto in modo più pratico e rendere visibile la proporzionalità.
- conduciamo la perpendicolare ad AB
nell’estremo B
- fissiamo sulla perpendicolare il punto C tale
1
che BC = AB
2
- tracciamo la circonferenza di raggio BC, che
risulterà tangente in B alla retta AB.
- uniamo A con C chiamando D e F le
intersezioni della retta AC con la
circonferenza
- portiamo infine su AB il segmento AE congruente ad AC. Proviamo che AE è il segmento
cercato, cioè che sussiste la proporzione:
AB : AE = AE : EB
Infatti per il teorema della secante e della tangente (se da un punto si conducono ad una
circonferenza una secante e una tangente, il segmento determinato dalla circonferenza sulla
tangente è medio proporzionale fra i segmenti determinati sulla secante e aventi un estremo in
quel punto) si ha:
AF : AB = AB : AD
da cui, scomponendo, si ottiene:
(AF – AB) : AB = (AB – AD) : AD
Ma dato che AB è congruente a DF e AD è congruente ad AE si ha pure:
AF – AB = AF – DF = AD = AE
AB – AD = AB – AE = EB
Perciò l’ultima proporzione diventa:
da cui, invertendo:
AE : AB = EB : AE
AB : AE = AE : EB
pag. 3
La sezione aurea
RETTANGOLO AUREO
Consideriamo i rettangoli della figura
Secondo molti artisti greci e italiani del Rinascimento, il rettangolo che maggiormente appaga il
nostro senso estetico è quello in cui i lati stanno in rapporto aureo (in figura è R2).
Si chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell’altro.
COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO DI UN RETTANGOLO AUREO
- individuiamo il punto medio P del alto AM del
quadrato AMND
- con centro in P e raggio PN tracciamo un arco di
circonferenza che interseca in B il prolungamento del
lato AM dalla parte di M.
- tracciamo poi la perpendicolare BC ad AB e
prolunghiamo il lato DN dalla parte di N
Il rettangolo ABCD è il rettangolo aureo, nel quale AB è
diviso dal punto M esattamente nella sezione aurea:
AM : AB = MB : AM
Dimostriamo anche questa proporzionalità.
Se ABCD è un rettangolo aureo, si ha, per definizione,
AB : AD = AD : (AB-AD)
o anche, essendo AM = AD,
AB : AM = AM : MB
Se sul lato maggiore AB del rettangolo aureo ABCD,
esternamente al rettangolo, si costruisce il quadrato AEFB, si
ottiene un nuovo rettangolo aureo EFCD. Infatti, per la proprietà
del comporre applicata alla prima proporzione
(AB+AD) : AB = [AD + (AB-AD)] : AD
ovvero, essendo AB = AE,
DE : AB = AB : AD
DE : AE = AE : AD
e resta così dimostrato, essendo AE = EF , che il lato minore EF del nuovo rettangolo EFCD è la
parte aurea del lato maggiore DE.
pag. 4
La sezione aurea
Ripetendo più volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati, ognuno dei quali ha il
lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo. Costruendo in ogni quadrato un arco di
circonferenza come indicato nella figura, si ottiene una curva detta spirale logaritmica o spirale
aurea.
DECAGONO
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio della
circonferenza.
Sia AB il lato del decagono regolare inscritto nella
circonferenza di centro O e raggio OA. L’angolo AOˆ B è
1/10 di un angolo giro, ovvero 1/5 di angolo piatto ( AOˆ B =
36°).
Il triangolo AOB è tra l’altro isoscele, quindi ciascun angolo
alla base misura 72°.
Conduciamo ora la bisettrice AC dell’angolo OAˆ B . Il
triangolo ACO risulta isoscele, dato che COˆ A = OAˆ C = 36° e quindi AC = OC.
Ma anche il triangolo BAC è isoscele perché ABˆ C = ACˆ B = 72° e quindi AC = AB.
Pertanto, essendo AC = OC e AC = AB, otteniamo OC = AB.
Osserviamo ora che, per il teorema della bisettrice dell’angolo interno di un triangolo (la bisettrice
di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due
lati), si ha
AO : AB = OC : BC
da cui, essendo AO = OB e AB = OC, si deduce
OB : OC = OC : BC
Si vede così che OC è la sezione aurea del raggio OB. Dato che AB = OC, si conclude che anche
AB, lato del decagono regolare, è la sezione aurea del suo raggio.
Conseguenze:
pag. 5
La sezione aurea
• Se in un triangolo isoscele l’angolo al vertice misura 36° (e quindi gli angoli alla base sono
entrambi di 72°), la base del triangolo è la sezione aurea del lato. Tale triangolo viene detto
triangolo aureo.
Infatti, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato
obliquo opposto nel punto d’intersezione in due
segmenti in modo tale da creare una sezione aurea.
Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. Da
questo risulta che:
AC : BC = BD : DC
e dunque:
AC : AD = AD : DC
• Anche il triangolo isoscele di angoli 36°, 36°, 108° possiede proprietà di proporzione.
PENTAGONO
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento
che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°,
72°, 36°. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive,
un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in
precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua
diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in
due segmenti che stanno nel rapporto aureo.
Il pentagono stellato è una figura molto nota fin
dall’antichità: i Pitagorici lo usarono come simbolo (la
stella a cinque punte) della loro scuola e ad esso sono stati
attribuiti significati magici e religiosi.
Il pentagono stellato è una figura formata dalle diagonali
di un pentagono regolare. Tali diagonali determinano un
nuovo pentagono regolare, più piccolo, le cui diagonali
formano un nuovo pentagramma e così via… in una
successione infinita in cui ciascun lato sta a quello di
ordine inferiore in rapporto aureo.
Per concludere questo paragrafo, è possibile proporre anche l’uso del laboratorio di informatica
con l’utilizzo del software Cabrì Geometre, per la realizzazione di alcuni lavori con la sezione
aurea.
pag. 6
La sezione aurea
2. PROPRIETA’ ALGEBRICHE
Osserviamo alcune proprietà algebriche che riguardano la sezione aurea.
Il numero aureo ϕ =1,61803… è l’unico numero positivo che, diminuito di 1, uguaglia il suo
inverso. Infatti
ϕ −1 =
5 +1
5 −1
1
−1 =
= 0,618033... =
2
2
ϕ
Inoltre:
ϕ +1 = ϕ 2
infatti
2
⎛ 5 + 1⎞
5 +1+ 2 5 6 + 2 5 3 + 5
5 +1+ 2
5 +1
⎟ =
ϕ = ⎜⎜
=
=
=
=
+1 = ϕ +1
⎟
4
4
2
2
2
⎝ 2 ⎠
2
Tra l’altro, le precedenti relazioni sono state simpaticamente descritte in una poesia del
matematico Paul S. Bruckman intitolata “Media costante” che recita:
La media aurea non è affatto banale
Tutt'altra cosa che un numero irrazionale.
Capovolta, pensate un pò,
Resta se stessa meno l'unità.
Se poi di uno la aumentate
Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.
E ancora:
1
ϕ = 1+
1
1+
1+
1
1+
1
...
come continua la poesia:
Scritta come frazione con continuità,
è uno, uno, uno,..., fino a sazietà;
Così chiara che più chiara alcuna non resta
(non vi comincia a girare un pò la testa?)
Il rapporto aureo e la serie di Fibonacci
La successione di Fibonacci è una successione di numeri che, partendo da 0 e 1, si ottengono
sommando i due termini precedenti:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
pag. 7
La sezione aurea
Si può osservare che, se si divide ogni termine, a partire dal terzo, per il precedente, la successione
dei rapporti tende al rapporto aureo ϕ = 1,61803...
1
2
3
5
8
13
=1
=2
= 1,5
= 1, 6
= 1,6
= 1,625
1
1
2
3
5
8
21
34
55
= 1,61538...
= 1,61904...
= 1,61764...
13
21
34
Un’ultima osservazione. La serie di Fibonacci presenta molte curiosità e applicazioni che
potrebbero dare luogo a un ulteriore approfondimento dato come ricerca ai ragazzi (introdotto
dall’insegnante), proponendo quindi una nuova unità didattica come la presente.
pag. 8
La sezione aurea
PARTE SECONDA
3. DALL’ARCHITETTURA ANTICA
ALLA RINASCIMENTALE
Inizia da qui la parte di ricerca e collaborazione con altre discipline.
Particolarmente importante è il contributo di Storia dell’Arte, che può fornire materiale come
quello che viene descritto di seguito.
Come si diceva nella presentazione iniziale, anche discipline come Greco e Latino possono
intervenire a proposito, fornendo semplici testi e letture riguardo soprattutto l’architettura
antica.
Analizzando le leggi numeriche che regolavano l’armonia musicale, la scuola pitagorica scoprì
alcuni principi morfologici di carattere generale, che divennero presto i principi compositivi di
ogni tipo di arte, in particolare quella riguardante la costruzione degli edifici sacri. Questo è ciò
che deriva dall’analisi proporzionale di opere architettoniche come il Partenone di Atene o alcune
sculture, correlate da una comune intenzione estetica, di natura matematica.
Gli antichi architetti dovevano realizzare l’ ”accordo delle misure” mediante il ripetersi di certi
rapporti proporzionali privilegiati, che avrebbero prodotto e caratterizzato l'effetto di “armonia”
tra le lunghezze, le superfici e i volumi dell’edificio, sia nella sua interezza sia nelle sue singole
parti.
Si osserva in questo modo il grande utilizzo da parte degli antichi della sezione aurea nei templi e
nell’architettura in generale.
Il Partenone di Atene
Il Partenone è un antico tempio greco costruito sulla
cima di un colle che domina la città di Atene.
Oggi per la maggior parte in rovina, il Partenone era
un tempio dedicato alla dea Atena, protettrice della
città, e fu costruito attorno al 430 a.C.
Gli architetti e gli artisti greci facevano grande uso
dei rettangoli aurei, usati per disegnare la pianta del
pavimento e della facciata dei templi, come appunto
il Partenone.
Nella facciata, altezza e larghezza rispettano le
proporzioni auree e il timpano ha un angolo di 144°,
che è l’angolo del decagono regolare.
pag. 9
La sezione aurea
Anche la pianta del tempio mostra un rettangolo aureo.
Le proporzioni auree si osservano
nelle statue presenti nell’acropoli di Atene.
Esempio significativo
sono le Korai dell’Eretteo.
La stele egiziana di re Get
La stele di re Get, proveniente da Abido e oggi al Louvre,
porta iscritto il nome del re Get, della prima dinastia e
indicato col serpente, sul quale è il falco del dio Horus.
Nella stele si osserva l’utilizzo della sezione aurea
soprattutto nel rettangolo che circoscrive il palazzo e il
serpente, il glifo del re.
La stele di Get offre una composizione i cui rapporti
vengono tutti stabiliti mediante archi di cerchio e proiezioni
dei loro raggi. Tuttavia anche la proporzione aurea non è
secondaria: sia nell’assetto di Horus che nel rettangolo del
Palazzo; il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in
rapporto aureo col quadrato costituito dal palazzo: il re è la
parte “aurea” della terra regale.
pag. 10
La sezione aurea
Il canone di Policleto
Policleto (V secolo a.C.) indicò come ideale supremo da perseguire la simmetria anatomica della
figura umana, maschile e femminile, equilibrata nelle sue parti. Egli scrisse un canone in cui dava
le misure perfette e assolute della figura umana: questa era concepita salda, atletica, armoniosa,
con la testa piccola e la fronte larga, nella ricerca geometrica strutturale per la resa delle parti del
corpo, vincolate tra loro da un rapporto dimensionale e di simmetria: la metà del corpo deve essere
nell’attacco delle gambe, il piede è un settimo della lunghezza del corpo, la testa un ottavo, e la
faccia un decimo. Il risultato, dice Policleto in un frammento rimasto di quest’opera, dipende da
una piccolezza decisiva in mezzo ai rapporti di proporzione.
Policleto, insieme al contemporaneo Fidia, scultore architetto e ingegnere, influenzarono
l’architettura e la statuaria del tempo.
Il tempio di Atena a Paestum
Il tempio fu costruito tra il 510 e il 500 a.C. e le misure degli elementi della trabeazione, per
esempio, furono determinate dall’armonica proporzione, che si basava sulla sezione aurea e che
fu, insieme alla proporzione aritmetica e a quella geometrica, una delle principali proporzioni
scoperte dalla scuola pitagorea, che in quel periodo si stava diffondendo con enorme successo
nell’Italia meridionale.
L’arco di Costantino a Roma
L’arco di Costantino mostra grande sapienza architettonica, evidenziata con il determinante ausilio
della tavola tripartita, il quadrato partito in nove caselle che figura nel quadro d’apprendista ed è il
gioiello del grado di Maestro, uno degli indiscutibili fossili residui della Massoneria operativa
nella speculativa: l’architetto dell’arco di Costantino ha davvero “tracciato una tavola”.
Per onorare Costantino e la sua vittoria su Massenzio, il Senato impose all’architetto di inserire
nell’arco rilievi desunti da monumenti di Adriano, Marco Aurelio e Traiano con altri scolpiti
appositamente per Costantino, articolare in modo continuo il ciclo narrativo dei fregi e
pag. 11
La sezione aurea
l’epigrafico, sottolineare con l’architettura le principali cadenze della complessa simbologia da
manifestare con il monumento.
L’architetto non si è limitato alla semplice inserzione dei fregi
traianei e di Marco Aurelio, ma ha voluto che le loro
proporzioni risuonassero nell’intero monumento. Ciò costituiva
la principale difficoltà: mentre i rilievi di Marco Aurelio sono
costruiti con la proporzione armonica di due terzi, quelli di
Traiano sono basati sulla sezione aurea. Le tre principali
consonanze armoniche, tradotte in rapporti lineari, danno luogo
a superfici rettangolari costituite da moduli quadrati, mentre in
un rettangolo aureo l’unica divisione regolare possibile
riproduce moduli aurei.
Figura 1. Lo schema costruttivo dell’arco di Costantino. 1) Armatura del quadrato; i quattro punti
rappresentano le intersezioni delle diagonali con le oblique che congiungono un angolo con la mediana del lato
opposto. 2) Sviluppo della tavola tripartita; sui quattro punti si intersecano due coppie ortogonali di segmenti
tra loro paralleli. 3) Il procedimento può essere applicato diverse volte, ottenendo divisioni del lato per tre,
nove, ventisette e così via. 4) Sviluppo «interno» della sezione aurea. ab viene proiettato sul lato di base
puntando il compasso sugli angoli adiacenti. Il rapporto così ottenuto tra base e altezza è corrispondente alle
proporzioni dell’arco privo del cornicione aggettato. 5) Rettangolo in diatessaron, o in tre quarti. Le aree in
grigio segnano la differenza tra i limiti del cornicione e delle mura dell’arco.
pag. 12
La sezione aurea
L’architetto ha progettato la struttura utilizzando gli sviluppi proporzionali insiti nella tavola
tripartita. Per ottenerla è necessario armare il quadrato delle sue diagonali e delle sue mediane,
quindi si congiungono i punti mediani dei lati con gli angoli dei lati opposti (fig 1.1). Questi
segmenti, ipotenuse di triangoli rettangoli 1 : 2 (e quindi in radice di 5), intersecano le diagonali
in quattro punti sui quali si tracciano le due coppie di parallele trasversali che costituiscono
l’ossatura della tavola tripartita (fig. 1.2). La stessa costruzione è però necessaria per sviluppare un
rettangolo aureo.
Invece di sviluppare totalmente il rettangolo aureo dal punto mediano del lato, l’architetto ne ha
contenuto lo sviluppo entro il quadrato, puntando il compasso sui due angoli di base (fig. 1.4). Su
questo rettangolo, sottounità della sezione aurea, ha impostato la facciata dell’arco.
Se ci spostiamo invece nel Rinascimento troviamo un deciso mutamento nei confronti del
rapporto aureo: dal solo ambito matematico entrò a pieno titolo nello studio dell’arte e
nell’osservazione dei fenomeni naturali.
Analizziamo alcuni esempi nell’architettura dell’epoca.
La chiesa dei Santi Pietro e Marcellino a Seligenstadt
In questa chiesa della Germania si possono
osservare: la lunghezza dei transetti (come per
San Basilio a Troia) è uguale a 1, quella delle
facciate a 2, la lunghezza dei transetti a 3, la
lunghezza della chiesa a 4 (in San Basilio abside
inclusa, in San Pietro e Marcellino abside
esclusa). La distanza dall’ingresso all’altare
divisa per 1,618 indica il punto in cui ha centro
la circonferenza che racchiude la chiesa. Le
navate delle due chiese sono in rapporto aureo.
pag. 13
La sezione aurea
L’abbazia di Chiaravalle della Colomba
Nella costruzione della chiesa
dell’Abbazia di Chiaravalle (presso
Alseno - Pc) niente è lasciato al
caso, poichè tutto deve concorrere a
favorire l’incontro con il Signore.
La navata ha per questo un
allineamento est-ovest che consente
alla luce dell’alba di entrare dalle
aperture dell’abside; inoltre è
allineata sul sorgere del sole del 15
agosto, festa della Madonna
Assunta.
La forma base dell’edificio è il
modulo “ad quadratum” (il rettangolo doppio quadrato), che viene usato nella crociera delle
navate laterali (n. 22), nelle cappelline del transetto (n. 32), nella crociera della navata centrale (n.
17), nel coro (n. 14) e nell’incrocio tra la navata centrale e il transetto (n. 15).
Nella chiesa troviamo ancora il doppio quadrato detto anche rettangolo 1x2 unendo le due crociere
delle navate laterali (n. 12, 13) che corrispondono ad un lato della crociera della navata centrale.
Anche l’abside della chiesa corrisponde ad un rettangolo che è un doppio quadrato. E’ possibile
osservare geometricamente che, relativamente al rettangolo 1x2 :
se AB = 2 e BC = 1, allora per il teorema di Pitagora applicato al triangolo ABC si ha:
AC =
AB 2 + BC 2 = 4 + 1 = 5
AO =
5
= 1,118...
2
ma OP = raggio = OH = 1/2 di BC = 1/2
AP = AO + OP = 1,118 + 1/2 = 1, 618 = ϕ
(numero aureo)
Quando gli elementi di una figura hanno tra loro un rapporto che corrisponde al numero ϕ , la
figura stessa risulta particolarmente armonica alla vista.
Interessante resta comunque un approfondimento su questa chiesa, che al suo interno rivela molti
rapporti costanti (aritmetico-geometrici) tra le varie parti dell’edificio, basati sui numeri 3, 4 e 12.
Anche la facciata della chiesa e il chiostro dell’abbazia mostrano curiose relazioni geometriche,
che per il momento lasciamo agli appassionati.
pag. 14
La sezione aurea
4. LA SEZIONE AUREA NELLA PITTURA
E’ stato dimostrato che la percezione umana mostra una naturale preferenza verso le
proporzioni costruite con la sezione aurea; gli artisti tenderebbero dunque a disporre gli
elementi di una composizione in base a tali rapporti. Ecco perché la sezione aurea è
riconosciuta come rapporto esteticamente piacevole ed è stata usata come base anche per la
creazione di quadri.
Gli artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e
Sandro Botticelli, rimasero molto affascinati dalla sezione aurea. Essa era conosciuta come divina
proportione ed era considerata quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze.
De divina proportione è il trattato pubblicato nel 1509 del matematico Luca Pacioli (1445-1514) e
illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519).
In questo trattato Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi ispiratori in architettura,
scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis italica. L’aggettivo divina
(assegnato pare da Leonardo) si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alla
divinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è
irrazionale, è invariabile.
Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le opere, si
poteva creare un sentimento di ordine. Non tutti sono concordi ad affermare che Leonardo utilizzò
realmente la “proporzione divina”, ma, come afferma l’astrofisico nostro contemporaneo Mario
Livio, nelle opere dell’artista rinascimentale alcuni rapporti “[…] sono ragionevolmente vicini a
phi, ma anche al semplice rapporto 1,6 ”. Infatti alcune opere di Leonardo, prosegue M. Livio,
sono predatate rispetto al suo incontro e collaborazione con Pacioli.
Detto ciò, è possibile osservare in alcuni capolavori di Leonardo l’utilizzo del rapporto aureo (o
un rapporto “casualmente” molto vicino):
Ne L’ultima cena (1495-1498. S.
Maria delle Grazie), il solo
personaggio veramente divino è
Gesù ed è dipinto con le
proporzioni divine, racchiuso in
un rettangolo aureo.
Nella Vergine delle Rocce conservata al Louvre di Parigi il rapporto tra l’altezza e la larghezza
del dipinto è 1,64, mentre nella versione della Vergine delle Rocce alla National Gallery di Londra
tale rapporto è 1,58. (Proprio queste misure suscitano qualche dubbio sull’utilizzo della divina
proporzione da parte di Leonardo nelle analisi di Mario Livio, come si diceva precedentemente).
pag. 15
La sezione aurea
Nella Gioconda (1503-1506, Museo del Louvre) il
rapporto aureo è stato individuato nella
disposizione del quadro, nelle dimensioni del viso,
nell’area che va dal collo a sopra le mani e
nell’area che inizia dalla scollatura dell’abito fino
a sotto le mani.
Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De
architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le
proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.
Vitruvio nel De Architectura scrive:
“Il centro del corpo umano è inoltre per natura
l’ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso,
mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul
suo ombelico, si toccherà tangenzialmente,
descrivendo un cerchio, l’estremità delle dita delle
sue mani e dei suoi piedi”.
Nel disegno del Busto d’uomo si vedono dei rettangoli che Leonardo ha
utilizzato per stabilire le proporzioni del volto e alcuni di loro sono
approssimativamente dei rettangoli aurei (si tenga conto che il disegno è stato
fatto a penna).
pag. 16
La sezione aurea
Passando ad altri artisti, la sezione aurea affascinò anche Botticelli (1445-1510) che la rappresentò
ne La Venere (1483-1485, Galleria degli Uffizi).
Infatti il rapporto tra l’altezza da terra dell’ombelico di Venere e l’altezza complessiva risulta
0,618, così anche il rapporto tra la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza
dell’intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del
braccio.
Anche La nascita della Vergine del
Ghirlandaio (1449-1494), custodito nella
chiesa di Santa Maria Novella a Firenze, è
scomponibile in diversi rettangoli aurei.
Diverse sono le opinioni sul pittore francese
Georges Seurat (1859-1891):
secondo alcuni l’artista “affronta ogni sua
tela con la sezione aurea”,
secondo altri la ignora totalmente.
Nell’opera La parade (1888) il pittore pare
comunque utilizzare più volte la sezione
aurea (come si evidenzia in figura).
pag. 17
La sezione aurea
Secondo i più scettici esperti d’arte il primo artista che ha utilizzato il
rapporto aureo è il francese Paul Sérusier (1864-1927), forse dal
punto di vista più teorico e filosofico che pratico, ma a lui se ne deve
la diffusione nell’ambito artistico, soprattutto tra i cubisti, come Juan
Gris (1887-1927) e Jacques Lipchitz (1891-1973). Anche il pittore
italiano Gino Severini (1883-1966) ha usato la sezione aurea nelle
sue opere, soprattutto nei disegni preparatori dei suoi dipinti, come la
Maternità (1916, Museo di Cortona).
Il pittore Pierre Mondrian (1872-1944), è
autore di numerosi quadri astratti in cui
dominano le figure geometriche.
In questo quadro si nota l'accostamento di
quadrati e rettangoli aurei, anche se alcuni critici
ritengono che l’artista sia lontano dall’utilizzo
della sezione aurea. (In figura Composition with
Grid 1, 1919)
Non si può dimenticare l’architetto svizzero Le Corbusier (18871965) che con il suo Modulor ha presentato lo schema della figura
umana suddivisa in parti proporzionali, ognuna sezione aurea di
un’altra. Nel Modulor il rapporto tra l’altezza dell’uomo (183 cm) e
la distanza dell’ombelico dal suolo (113 cm) equivale al numero
aureo; ma molti altri rapporti aurei sono calcolati da Le Corbusier in
quest’opera.
L’architetto basava tutti i suoi progetti su queste proporzioni per
costruire l’abitazione ideale dell’uomo: dai tavoli alle sedie, dalle
maniglie delle porte alle finestre, dai palazzi all’urbanistica, tutto
doveva rientrare nelle proporzioni armoniose del suo schema.
Interessante può risultare un approfondimento su questo artista.
pag. 18
La sezione aurea
5. NELLA NATURA
Navigando su internet o ricercando su riviste scientifiche si possono trovare interessanti
immagini riguardanti la sezione aurea in natura.
La conchiglia del Nautilus è il più affascinante esempio di spirale logaritmica in
natura. La forma è data perché l’animale, che occupa solo l’ultima camera, crescendo
mantiene sempre le stesse proporzioni.
Nella crescita il pino californiano
sviluppa una spirale in tre dimensioni,
che prende il nome di elica conica
I barracuda, nuotando in cerchio, tendono a
mantenere una costante distanza l’uno dall’altro,
seguendo così una traiettoria spiraliforme.
pag. 19
La sezione aurea
Il DNA umano presenta una struttura
a doppia elica
La struttura della galassia M74 è dovuta agli
effetti combinati della rotazione e
dell’attrazione gravitazionale
L’aria umida in rotazione sale a spirale
e poi si allarga in quota
I semi di girasole crescono lungo due serie
contrapposte di spirali logaritmiche
Le corna del muflone crescendo si sviluppano in
una struttura ad elica conica
Anche i rami dei viticci crescono assumendo
una forma conica e favoriscono alla pianta una
crescita regolare, ma non ingombrante
pag. 20
La sezione aurea
6. LA SEZIONE AUREA NELLA MUSICA
Per gli appassionati di musica la sezione aurea potrebbe essere uno stimolo di
approfondimento, fino a analizzarne la presenza nelle composizioni di autori come Beethoven e
Bach o nella costruzione di strumenti musicali.
E’ già stato descritto che, considerando la successione di Fibonacci, il rapporto che esiste tra un
numero della serie e il suo precedente vale:
1
2
3
5
8
13
=1
=2
= 1,5
= 1, 6
= 1,6
= 1,625
1
1
2
3
5
8
21
34
55
= 1,61538...
= 1,61904...
= 1,61764...
13
21
34
Tali valori corrispondono agli intervalli musicali:
unisono = 1
ottava = 2
quinta = 1,5
sesta maggiore = 1,666
sesta minore = 1,6
in cui gli ultimi sono complementari degli intervalli di terza minore e maggiore.
La musica si compone solitamente con le sette note fondamentali DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI e
la distanza tra un do e il do successivo viene definita “ottava”. Un gruppo di sette note successive
si chiama “scala” e la sua ultima nota è la prima dell’ottava più alta. Nella scala naturale che inizia
per do, le distanze tra i diversi suoni non sono sempre uguali. Infatti le distanze do-re, re-mi, fasol, sol-la, la-si sono ognuna un tono, mentre le distanze mi-fa e si-do sono un semitono.
Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si susseguono ricaviamo una
proporzione continua:
T1 : T2 = T2 :T3 = T3 : T4 =
……
Si giunge a osservare che il numero delle variazioni che si differenziano per otto semitoni si
comporta quindi come la sezione aurea:
T1 : T9 = T9 : T17 = 1 : 1,618
Questa relazione fra i numeri di Fibonacci ed il numero aureo fu ad esempio usata da Beethoven
in alcune sue opere; anche nei canti gregoriani in molti casi interviene il rapporto aureo.
A proposito ancora di note musicali, gli strumenti vanno accordati con il tono LA che ha come
frequenza 440 Hz. Un accordo di sesta maggiore si determina combinando questo LA con il DO
di 264 Hz. Il rapporto tra tali frequenze vale 5/3 =1,66... Una sesta minore si ottiene da un DO
alto di 528 Hz e da un MI da 330 Hz: il rapporto tra tali frequenze si semplifica in 8/5 = 1,6,
avvicinandosi al numero aureo (si noti che le frazioni calcolate riguardano i numeri della
successione di Fibonacci).
La sezione aurea è anche punto di riferimento nella costruzione di canne di organo e altri
strumenti musicali.
pag. 21
La sezione aurea
In un violino, il cui timbro dipende dalle possibilità di vibrazione di tutte le parti, la sezione
aurea gioca sicuramente un ruolo; la cassa armonica contiene dodici o più archi di curvatura per
ciascun lato e l’arco piatto della base è spesso centrato sul punto di sezione aurea della linea
centrale.
Se misuriamo uno Stradivari, vediamo che esso è
contenibile entro quattro pentagoni regolari i cui lati sono
le tangenti, determinando così una linea armoniosa. Si sa
che questi violini sono costruiti con particolari legni,
vernici e molta cura dei particolari, in più i disegni originali
del cremonese Stradivari (1644-1737) evidenziano che le
posizioni degli occhielli “a effe” sulla cassa armonica
rispettano il rapporto aureo.
BIBLIOGRAFIA e SITOGRAFIA
1) R. Bruno, W. Cavalieri, P. Lattanzio “Metodi e moduli di matematica: Geometria 2”, Arnoldo
Mondadori Scuola, Milano, 2004
2) N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi “Lineamenti di Matematica, modulo H: Complementi
di Algebra”, Ghisetti e Corvi, Milano, 2000
3) M. Re Fraschini, G. Grazzi “Geometria”, Ed. Atlas, Bergamo, 2003
4) “L’Abbazia di Chiaravalle della Colomba”, a cura della Comunità Cistercense di Chiaravalle
della Colomba, 1995
5) P. Adorno “L’arte Italiana” vol.1 tomo 1, Casa Editrice G. D’Anna, Firenze, 1994
6) M. Livio “La sezione aurea”, BUR Rizzoli, Milano, 2009
7) http://www.liceoberchet.it/ricerche/sezioneaurea/index.htm
8) http://www. sectioaurea.com
9) http://www.zen-it.com/symbol/geo/schema.htm
dell’Arco”)
(M. Nicosia, “Lo schema costruttivo
pag. 22