Fascio di rette Esempio 1 Studiare il fascio di rette
.
Soluzione
1. Determiniamo le rette generatrici del fascio:
Per 0
⟶
3
2
4 0
(Ia retta generatrice)
Per nessun valore di k
∞
⟶
2
2 0
(IIa retta generatrice)
2. Determiniamo il coefficiente angolare, riscrivendo il fascio in forma implicita:
3
3
3
2
4
2
2
2 2
2
.
0 ;
0 .
Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro , il fascio è proprio.
3. Determiniamo le coordinate del centro del fascio, annullando i coefficienti delle due incognite:
0 ⟶
2 ⟶ 7
0 ⟶
⟶
2
0 ⇒ 0 ; 2
0
4. Determiniamo il movimento delle rette del fascio al variare del
parametro , mediante la rappresentazione grafica di alcune sue rette.
Dall’esame del grafico di queste rette si deduce che:
Il parametro assume valori positivi, crescenti da 0 ∞,
quando le rette del fascio, ruotano in senso antiorario attorno al
centro C, passando dalla posizione della prima generatrice
0
alla posizione della seconda generatrice
∞ .
Matematica www.mimmocorrado.it 1 Esercizio 231.521 Scrivi l’equazione del fascio generato dalle rette di equazioni: 3
2
1 0 e 6
4
3 0, stabilisci se è
proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio che interseca l’asse nel punto di ordinata 1.
Soluzione
L’equazione del fascio è: 3
2
1
∙ 6
4
3
0
Determiniamo il coefficiente angolare, riscrivendo il fascio in forma implicita:
3
3
2
6
1
6
2 4
3
2
6
4
4
3
3
3 1
2 1
0 ;
1 0 .
2
2
3
⇒ 2
3
2
3
2
1
4
Essendo il coefficiente angolare non dipendente dal parametro , il fascio è improprio.
L’equazione della retta del fascio che interseca l’asse nel punto di ordinata 1 si ottiene sostituendo le coordinate del
punto 0 ; 1 , oppure imponendo che l’ordinata all’origine sia uguale a 1.
1
3
1
1 ; 3
1 2 4 ; 7
1 ; ⇒
1 ; 7
2 4
1
3
10
3∙
1
1
3
3
3
7
7
7 ;
; ; 1
10
4
2
2
2
2
2 4∙
7
7
7
3
1 .
2
Esercizio 231.523 Dopo aver scritto l’equazione del fascio generato dalle rette di equazioni: 3
2
4 0 e 2
2 0,
stabilisci se è proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio parallela alla bisettrice del primo e
terzo quadrante.
Soluzione
L’equazione del fascio è: 3
2
4
2
2
0
Determiniamo il coefficiente angolare, riscrivendo il fascio in forma implicita:
3
3
3
2
4
2
2
.
2
2 2
0 ;
0 .
Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro , il fascio è proprio.
L’equazione della retta del fascio parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante si ottiene imponedo che il
coefficiente sia uguale a 1.
1
3 2
1 ; 3 2
2 ; 3
1 ; .
3
2
Sostituendo tale valore nel fascio si ha:
1
3
2
4
∙ 2
2
0 ; 9
6
12 2
2 0 ;
3
7
7
14 0 ; 2 0
Matematica www.mimmocorrado.it 2 Esercizio 232.529 2
Studiare il fascio di rette:
4
6
0.
Soluzione
1. Determiniamo le rette generatrici del fascio, riscrivendo il fascio come combinazione lineare:
2
4
6
0 ; 2
Per 0
Per nessun valore di k
⟶
⟶
∞
2
6
4
6
0
4
0
a
0
(I retta generatrice)
(IIa retta generatrice)
2. Determiniamo il coefficiente angolare:
.
Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro , il fascio è proprio.
3. Determiniamo le coordinate del centro del fascio, annullando i coefficienti delle due incognite:
2
0 ⟶
6
2 ⟶ 2
8
6
⟶
0 ⟶
0 3 ⇒ 1
1 ; 3
4. Determiniamo il movimento delle rette del fascio al
variare del parametro , mediante la rappresentazione
grafica di alcune sue rette.
Dall’esame del grafico di queste rette si deduce
che:
Il parametro assume valori positivi, crescenti
da 0 ∞, quando le rette del fascio, ruotano
in senso orario attorno al centro C, passando
dalla posizione della prima generatrice
0
alla posizione della seconda generatrice
∞ .
Matematica www.mimmocorrado.it 3 Esercizio 235.553 A. Studia il fascio di rette:
2
1 2
5 0, indicando con la retta del fascio che non viene
rappresentata da alcun valore di .
B. Determina la retta del fascio che interseca l’asse nel punto avente per ordinata la soluzione positiva
4
0
dell’equazione
C. Individua la retta s del fascio di equazione
1
3
0 perpendicolare alla retta .
D. Calcola l’area del quadrilatero individuato dalle due rette ed , e dalla retta del secondo fascio che non
coorrisponde ad alcun valore di .
Soluzione A
1. Determiniamo le rette generatrici del fascio, riscrivendo il fascio come combinazione lineare:
2
2
5 0 ; 2
5
2
0
a
Per 0
⟶
2
5 0
(I retta generatrice)
Per nessun valore di k
⟶∞
⟶
2
0
(IIa retta generatrice) retta 2. Determiniamo la natura del fascio, verificando la condizione di parallelismo delle rette del fascio:
2∙2 1∙ 1
5 0 ⇔ rette non parallele
⇔
Fascio proprio.
3. Determiniamo le coordinate del centro del fascio, annullando i coefficienti delle due incognite:
5
1
2 0
⟶
5 0 ⟶
2
2
⇒ 2 ; 1
5
2 ⟶ 5
1
⟶
0 0
4. Determiniamo il movimento delle rette del fascio al variare
del parametro , mediante la rappresentazione grafica di
alcune sue rette.
Dall’esame del grafico di queste rette si deduce che:
Il parametro assume valori positivi, crescenti da 0 a ∞,
quando le rette del fascio, ruotano in senso antiorario attorno
al centro C, passando dalla posizione della prima generatrice
0 alla posizione della seconda generatrice
∞ .
Soluzione B
4
0 ; ∙
0 0 ⇒ 0 ; 2
∓2 4 0
2 ∙0
1 2 ∙ 2 5 0 ; 2 4
Sostituendo nel fascio si ha:
3
3
2
1 2
4
4
2
4 0 .
5
4
5
0 ; Soluzione C
La condizione di perpendicolarità fra rette è:
1∙1
1 ∙
2
0 ;
0 ; 1
2k
Sostituendo nel fascio si ha:
1
1
1
3
0 ; 2
2
1
2
0 ; 4
5
2
5
4
5
3 ; 0 ; 5
10
.
20
0 ;
0.
2
0 ; 2
7
2
0 ; 2
1 ; 7
1
2
0 Matematica www.mimmocorrado.it 4 Soluzione D
Il secondo fascio
1
3
0 riscritto come combinazione lineare delle rette generatrici è:
3
0 ; 3
1
0 La retta del secondo fascio che non coorrisponde ad alcun valore di è:
1 0 .
Il quadrilatero individuato dalle due rette ed , e dalla
retta del secondo fascio che non coorrisponde ad alcun
valore di è disegnato a lato.
2 ; 1 2 ; 3 4 ; 1 2 ; 1
1
1
∙
∙
2
2
1
1
∙4∙4
∙ 2 ∙ 4 8 4 12 .
2
2
Matematica www.mimmocorrado.it 5 Prova scritta 2008 Assegnato il fascio di rette di equazione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
F : 3 k  2  x  2 k  1 y  8 k  0
determinare:
la natura del fascio
le rette generatrici r ed s
il centro del fascio
il verso di orientamento del fascio
la retta v del fascio passante per il punto P ( 3 ,4 )
la retta w del fascio perpendicolare alla retta u : 3 x  y  2  0
la retta j del fascio parallela alla retta passante per Q 3 ,1 e R  5 , 3 
l’area del triangolo ABC , con il punto A  r  t e con il punto B  s  t , dove t : 5 x  2 y  8  0
Il baricentro del triangolo ABC
la lunghezza della mediana passante per il vertice B
l’equazione della mediana passante per il vertice B
Punto 1
3k  2
, dipendente dal parametro k, le rette del fascio variano la loro direzione al variare del
2k  1
parametro k . Si tratta pertanto di un fascio di rette proprio.
Essendo il c.a.(F) = 
Punto 2
Per k  0

2x  y  0
(retta r )
Per k  ind

3x  2y  8  0
(retta s )



7
x 4 0
2
Punto 3
Per k  
1
Per k 
2
2
3
7
16
0
y
3
3
16
 2 ,3
7
 7 y  16  0
y 
7x  8  0
8
x
 1,1
7
 8 16 
 C , 
7 7 
Punto 4
Il verso di orientamento
del fascio è antiorario.
Matematica www.mimmocorrado.it 6 Punto 5
P F
3 k  2   3  2 k  1  4  8 k  0

9k  6  8 k  4  8 k  0
9 k  2
k
2
.
9
  2 
  2

 2
Pertanto la retta richiesta ha equazione: 3      2  x  2      1 y  8      0
9
9
 9
 

 
 

4
13
16
12 x  13 y  16  0 .
x
y
0
3
9
9
Punto 6
Il c.a.(u) =  3
c.a.(F)  c.a.(u) =  1


3k  2
  3   1
2k  1
9 k  6  2 k  1
11k  5
k
5
11
7 x  21 y  40  0
Infatti:
  5 

  5  
 5 
3    11   2  x  2    11   1 y  8    11   0

 


 

 
7
1

c.a.  
= .
 21
3
7
21
40
x
y
 0 7 x  21 y  40  0
11
11
11
Punto 7
Il c.a. Q R  =
Δy
3 1
2
1
=
=
= 
Δx
5 3
8
4
c.a.(F) = c.a. qr 



7 x  28 y  72  0
Infatti:
3k  2
1

2k  1
4
12 k  8  2 k  1
12 k  2 k  8  1
  9  
  9 

 9 
3    10   2  x  2    10   1 y  8    10   0



 
 
 

7 x  28 y  72  0

c.a.  

10 k  9
k
9
10
7
14
72
xy
0
10
5
10
7
1
=  .
28
4
Punto 8
t
Il punto A si ottiene risolvendo il sistema: 
r
5 x  2 y  8  0

y  2 x
5 x  2  2 x  8  0

  
 x  8

  
 x  8

y  2   8 
t
Il punto B si ottiene risolvendo il sistema: 
s
sommando membro a membro si ha:
5 x  3 x  0

  
8 x  0

  
5 x  2 y  8  0

2 x  y  0
x  0

2 y  8  0
 x  8
 A 8 ,  16 

y  16
5 x  2 y  8  0

3 x  2 y  8  0
x  0

y  4
 B 0 , 4 
Matematica www.mimmocorrado.it 7  8

8
1
L’area del triangolo è data da: S  det( M ) , dove det( M )  
2
7

0
= 
 16
1

1 

1 
16
7
4
8
8
7
0
 16
16
=
7
4
128
32
128
32  224
256
=
=
0 
 0  32 
7
7
7
7
7
 S
1 256
128
1
=
.

det( M ) =
2 7
7
2
Punto 9
Il baricentro è dato da:
yG
8
 56  8
0
0
48
16
7
7
=
= 
= 
3
3
21
7
8 
x  x B  xC
xG  A
3
=
 16  4 
y  y B  yC
 A
3
=
16
7
3
 112  28  16
68
7
=
= 
3
21
Punto 10
 8 16 
Il punto medio N del lato AC ha coordinate: A 8 ,  16   C  , 
7 7 
x  xC
xN  A
2
yN
8 
=
y  yC
 A
2
=
2
 16 
=
La mediana BN =
576  76 
 
49  7 
8
7
2
 56  8
48
7
=
= 
2
14
16
7
=
24
7
 112  16
96
48
7
=
= 
= 
2
14
7
x B  x H 2  y B  y H 2
2
= 
576 5776

=
49
49
2
=
24 
48 


0 
  4 

7 
7 


2
=
576  28  48 


49 
7

2
=
6352
4
=
397 .
49
7
Punto 11
l’equazione della mediana BN ha equazione:

 x

 0

  24
 7
y
4

48
7

1
x
y

1 0
4 = 0

24
48
1  

7
 7
76 x  24 y  96  0
4x 
24
96 48
y

x 0
7
7
7
28 x  24 y  96  48 x  0
19 x  6 y  24  0 .
Matematica www.mimmocorrado.it 8