FUNZIONI
Il concetto di funzione
Prime definizioni
Cos’è una funzione (1)
FUNZIONE è una particolare corrispondenza tra
gli elementi di due insiemi che ad ogni elemento
del primo insieme fa corrispondere uno ed un
solo elemento del secondo insieme.
Oppure ….
Cos’è una funzione (2)
Si può anche dire che:
FUNZIONE è un procedimento che, in
corrispondenza ad oggetti in entrata(input),
produce oggetti in uscita (output)
NB: ad ogni oggetto in entrata deve corrispondere
un solo oggetto in uscita
Quali corrispondenze sono anche
funzioni?
Seconda condizione:
Non ci possono essere elementi del primo insieme
che sono associati a due o più elementi del
secondo insieme
Corrispondenze e funzioni: seconda condizione
NO!
Da ogni elemento del primo insieme deve partire una sola
freccia
Quali corrispondenze sono anche
funzioni?
Prima condizione:
Non ci possono essere elementi del primo insieme
che non sono associati ad alcun elemento del
secondo insieme
Corrispondenze e funzioni: prima condizione
NO!
Da ogni elemento del primo insieme deve partire una freccia
Corrispondenze
Una corrispondenza fra due insiemi è
un’indicazione che dice come associare fra loro
gli elementi di due diversi insiemi
Esempio: vedi punto 3) di
Cos’è un insieme
Un insieme è una raccolta di oggetti (chiamati :
elementi dell’insieme) che hanno una caratteristica
comune.
Un insieme si può rappresentare attraverso i
diagrammi di Eulero – Venn
Rappresentare un insieme
In questo tipo di rappresentazione, gli elementi di
un insieme sono rappresentati da puntini
racchiusi entro un ovale
Corrispondenze e funzioni
Usiamo l’aggettivo “particolare” perché non tutte
le corrispondenze tra due insiemi sono
funzioni.
Esempio:
1)
2)
3)
A = insieme di tutte le parole del vocabolario italiano
B = insieme di tutti i siti presenti sulla rete
Colleghiamo ad ogni elemento del primo insieme (parola) i siti
che compaiono digitando quella parola come parola chiave in
un motore di ricerca
Corrispondenze e funzioni
A
B
Questa corrispondenza non è una funzione:
ad ogni “parola chiave” corrispondono molti siti e non uno solo: non è
rispettato il secondo vincolo
Il primo insieme
Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato
dominio
o
insieme di definizione
della funzione
Il secondo insieme
Il secondo insieme, o insieme di arrivo , è
chiamato:
codominio
della funzione
Immagine di una funzione
L’ insieme immagine di una funzione è il
sottoinsieme dell’insieme di arrivo (codominio)
formato dalle immagini degli elementi del dominio
cioè:
Insieme immagine
I
Il sottoinsieme del codominio che contiene gli elementi collegati a
qualche elemento del dominio è quello evidenziato in rosa (insieme
immagine)
Rappresentare funzioni
Le funzioni possono essere rappresentate in vari
modi, ad esempio con:
 Diagrammi di Eulero – Venn e frecce
 Tabelle
 Grafici
Rappresentare funzioni
diagrammi di Eulero –Venn e frecce
In questo tipo di rappresentazione:


Gli insiemi di partenza/oggetti
in entrata e di arrivo / oggetti
in uscita sono rappresentati
attraverso diagrammi di E-V
La corrispondenza/procedimento è rappresentata/o dal
complesso delle frecce che
partono da ogni elemento del
primo insieme ed arrivano su
di un elemento dell’altro
Rappresentare funzioni
Tabelle
In questo tipo di rappresentazione:


Capitali
europee
Gli elementi degli insiemi di
partenza/oggetti in entrata e di
arrivo / oggetti in uscita sono Roma
elencati nelle colonne di una
tabella
Parigi
La corrispondenza/procedimento è rappresentata/o da
ciò che lega gli elementi delle
due colonne
Londra
Temperature
max il
01/10/08
22
15
13
Rappresentare funzioni
grafici (1)


Ci sono molti tipi di grafici
Nel caso di grafici di funzioni matematiche nel piano
cartesiano …
Rappresentare funzioni
grafici (2)



Gli elementi degli insiemi di
partenza/oggetti in entrata sono tutti i
numeri reali, rappresentati su di una
retta orizzontale (asse delle x o asse
delle ascisse)
Gli elementi degli insiemi di
arrivo/oggetti in uscita sono tutti i
numeri reali, rappresentati su di una
retta orizzontale (asse delle y o asse
delle ordinate)
La corrispondenza/procedimento è
rappresentata/o da una linea nel
piano cartesiano, che assume forme
diverse in relazione alla formula
matematica che definisce la
funzione
Classificare le funzioni
FUNZIONI
empiriche
matematiche
trascendenti
algebriche
intere
irrazionali
razionali
fratte
Funzioni empiriche
Sono tutte le funzioni che non posso
rappresentare con una formula matematica
Ad esempio …
Funzioni matematiche
Sono tutte quelle funzioni che posso rappresentare
con una formula matematica
Per indicare una funzione matematica si può scrivere:

f: A
B
che si legge: “f è una funzione dall’insieme A
all’insieme B

f: x
y
che si legge: “f fa corrispondere all’elemento x
l’elemento y”

y = f(x) che si legge: “y uguale a effe di x”
Funzioni trascendenti
Sono tutte le funzioni che non sono algebriche
Alcuni esempi:
y = ex
y = cos x
y = log x
Funzioni algebriche
Sono tutte le funzioni che, nella formula che le esprime,
contengono solo operazioni di:
• addizione/ sottrazione
• moltiplicazione/ divisione
• elevamento a potenza/ estrazione di radice
e le loro combinazioni.
Ad esempio : y = 2x4 - 3
y  x2
Funzioni irrazionali
Sono tutte le funzioni in cui la variabile
indipendente compare sotto il segno di radice
Funzioni razionali
Sono tutte le funzioni in cui compaiono le
operazioni di addizione/ sottrazione,
moltiplicazione/divisione, elevamento a potenza
ma non l’estrazione di radice
Funzioni intere
Sono tutte le funzioni espresse mediante polinomi
Esempio: y = 3x4-7x2-x+12
Funzioni fratte
Sono le funzioni espresse mediante il quoziente di
due polinomi
cioè
Le funzioni in cui x compare al denominatore
Funzioni reali di variabile reale
L’oggetto di studio del corso sono le funzioni
reali (cioè: le funzioni assumono valori che
fanno parte dell’insieme dei numeri reali,
oppure: il codominio è l’insieme dei numeri reali)
a variabili reali (cioè: gli elementi di partenza
sono numeri reali,
Oppure: il dominio è l’insieme dei numeri reali.
Funzioni: iniettive, suriettive
biunivoche
Per stabilire se una corrispondenza è una funzione,
si osserva il dominio.
Per stabilire se una funzione è:
 Iniettiva
 Suriettiva
 Biunivoca
Si osserva il codominio
Funzione iniettiva
Ogni elemento del codominio è immagine di, al massimo, un elemento del
dominio (agli elementi del codominio arriva una freccia oppure nessuna)
Non è iniettiva
è iniettiva
Funzione suriettiva
Ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del
dominio (ad ogni elemento del codominio arrivano una o più frecce)
Non è suriettiva
E’ suriettiva
Funzione biunivoca
È una funzione sia iniettiva che suriettiva: ogni elemento del codominio è
immagine di uno ed un solo elemento del dominio (ad ogni elemento del
codominio arriva una freccia sola)