MATEMATICA PER L’ECONOMIA
Docente: Luca Vincenzo Ballestra
Testi: 1) Aversa, Vincenzo (2010), Metodi quantitativi delle
decisioni. LIGUORI
2) Simon, Blume (2002), Matematica Generale.
EGEA
Per colmare ecentuali lacune sulla matematica di base è
consigliato il libro Giorgi-Morro, Introduzione alla
Matematica, Maggioli (questo libro è solo propedeutico
al corso e non sostituisce il libro di testo)
Orario di ricevimento:
1) Martedì ore 9:30 - 11:30
2) Lunedì ore 10:00 - 12:00 (SOLO FINO A FINE CORSO)
INSIEMI
INSIEME = “gruppo” di oggetti qualsiasi
detti elementi dell’insieme.
Un insieme è definito se e solo se
viene dato un criterio non ambiguo che
permette di stabilire se l’oggetto
appartiene o meno all’insieme.
Potrebbe non essere definito un ordine
tra gli elementi.
SIMBOLOGIA
Gli insiemi sono indicati con lettere
maiuscole:
A, B, X, Y, …
Gli elementi degli insiemi sono indicati con
lettere minuscole:
a, b, x, y,…
3
Un insieme A si rappresenta:
- elencando tutti o alcuni degli elementi che
appartengono all'insieme
Esempi: A = {1, 4, 6, Mario}
B = {1, 3,5,7,9,…}
- indicando la proprietà caratteristica
degli elementi dell'insieme
Esempio: A = {x: x è un numero
intero divisibile per 12}
DIAGRAMMA DI EULERO-VENN
Rappresentare grafica (intuitiva) di un
insieme.
A
Carlo
Giacomo
Maria
Laura
APPARTENENZA
Per indicare che un dato elemento a è un
elemento dell’insieme A si scrive:
aA
(a appartiene ad A).
Per indicare che un dato elemento b non
è un elemento dell’insieme A si scrive:
bA
(b non appartiene ad A).
ALTRI SIMBOLI
⊆: incluso in o uguale a
⊂ incluso in senso stretto
| (oppure “:”) tale che
 implica
 se e solo se
 esiste
∄ non esiste
∀ per ogni :
SOTTOINSIEMI
Si dice che B è sottoinsieme di A e si
scrive:
B  A B è incluso in o è uguale ad A
oppure
A  B A include o è uguale a B
se ogni elemento di B è un elemento di A
Insieme vuoto : 
Insieme con nessun elemento
qualunque sia A
L’insieme vuoto è per definizione un
sottoinsieme di tutti gli insiemi
OPERAZIONI TRA INSIEMI
•
•
•
•
•
UNIONE
INTERSEZIONE
DIFFERENZA
INSIEME COMPLEMENTARE
PRODOTTO CARTESIANO
UNIONE
L'unione di due insiemi, che si indica col
simbolo ,
è l'insieme formato dagli elementi che
appartengono ad almeno uno dei due
insiemi
A  B = {x : x  A oppure x  B}
Se A  B
AB=B
UNIONE
Esempio:
A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5}
A
0
B
1
2
A  B = {0,1,2,3,4,5}
3 4
5
INTERSEZIONE
L'intersezione di due insiemi A e B che si
indica col simbolo  è l'insieme degli
elementi che appartengono sia ad A che a B
A  B = {x : x A e x B }
Se A  B
AB=A
Se A  B =  A e B sono disgiunti.
INTERSEZIONE
Esempio:
A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5}
A
0
A  B = {1,2}
B
1
2
3 4
5
DIFFERENZA
La differenza di due insiemi è l'insieme degli
elementi che appartengono al primo insieme
e che
non appartengono al secondo insieme
A - B = {x : x  A , x  B }
Se A  B
A-B=
DIFFERENZA
Esempio:
A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5}
A
0
A - B = {0}
B
1
2
3 4
5
INSIEME COMPLEMENTARE
Introduciamo l’insieme universo U ovvero un
insieme su cui effettuare le operazioni (U
potrebbe essere, per esempio, l’insieme dei
numeri reali, oppure l’insieme delle funzioni).
Se A un sottoinsieme di U, si chiama
insieme complementare di A rispetto
ad U l'insieme differenza di U e A e si
scrive:
CUA = U - A = {x : x  U e x  A}
INSIEME COMPLEMENTARE
Esempio:
U = {0, 1, 2, 3, 5, 6}, A = {1, 2, 6}
U
A
1
2
6
0
4
CUA = U - A = {0, 3, 4, 5}
3
5
PRODOTTO CARTESIANO
COPPIA ORDINATA: una coppia di elementi in
cui viene distinto l’ordine in cui si considerano i
due elementi (c’è un primo e un secondo
elemento): (x,y)  (y,x)
Dati due insiemi A e B, il prodotto
cartesiano di A e B, che si indica A  B,
è l’insieme di tutte le coppie ordinate (x,
y) in cui il primo elemento x appartiene
ad A ed il secondo elemento y
appartiene a B:
A  B = {(x, y) : x  A, y  B}
PRODOTTO CARTESIANO
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 7}
A  B = {(1,3), (1,7), (2,3), (2,7), (3,3), (3,7)}
B  A = {(3,1), (3,2), (3,3), (7,1), (7,2), (7,3)}
INSIEMI NUMERICI
NUMERI NATURALI
NUMERI RELATIVI
NUMERI RAZIONALI
NUMERI IRRAZIONALI
NUMERI REALI
NUMERI COMPLESSI
NUMERI NATURALI
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
In N sono definite le seguenti operazioni:
- Addizione (0 è l’elemento neutro)
- Moltiplicazione (1 è l’elemento neutro)
NUMERI INTERI RELATIVI
Problema: nell’insieme dei numeri
naturali non si può definire la
sottrazione, ovvero l’operazione
inversa della addizione
Z = {…, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, …}
N è incluso in Z
NUMERI RAZIONALI
Problema: nell’insieme dei numeri naturali non si può
definire la divisione, ovvero l’operazione inversa della
moltiplicazione
Q = {(x,y): x  Z, y  Z-{0}}
x
Possiamo anche scrivere (x,y) come
y
Un numero razionale è in realtà una coppia di
interi relativi (x,y). Può però essere pensato
come il risultato della divisione di x per y e
essere rappresentato in “notazione decimale
con virgola”
NUMERI RAZIONALI
Q è denso: dati due qualsiasi numeri
razionali esiste (almeno) un altro
numero razionale intermedio
Se però si rappresenta Q come un
insieme di punti su una retta, allora
Q ha dei “buchi”:
● ● ●● ●
● ● ●● ●
●
●
● ● ●● ● ●
NUMERI REALI
Problema: non è possibile trovare nessun
numero razionale tale che il suo
quadrato sia uguale a 2
Numeri reali: R = Q  
 è l’insieme dei numeri irrazionali, che
per noi è l’insieme di quei punti della
retta che non sono numeri razionali
2 , , e  I
NUMERI COMPLESSI
Problema: non vi è nessun numero reale
x tale per cui x moltiplicato per x dia
come risultato -1(il quadrato di un
numero reale non può essere un
numero reale negativo).
Noi (e solo noi) chiamiamo
UNITÀ IMMAGINARIA
il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:
i2 = – 1
NUMERI COMPLESSI
Un numero complesso z può essere definito
come segue:
z  a  bi
a: parte reale;
b: parte immaginaria
L’insieme dei numeri complessi viene
indicato con C
NUMERI COMPLESSI (solo un
accenno)
z  a  bi
v  c  di
SOMMA:
z  v  (a  b i )  (c  d i )  (a  c)  (b  d ) i
DIFFERENZA:
z - v  (a  b i ) - (c  d i )  (a - c)  (b - d ) i
PRODOTTO:
z  v  ( a  b i )  (c  d i )  a  c  a  d  i  b  c  i  b  d  i 2 
 (a  c - b  d )  (a  d  b  c)  i
Gli insiemi di numeri sopra descritti
sono inclusi uno nell’altro:
N Z  Q  R  C
RELAZIONI
Si chiama relazione tra l’insieme X e
l’insieme Y un qualunque sottoinsieme
del prodotto cartesiano:
R  X x Y = (x,y): xX, yY
L’insieme costituito dai primi elementi di
ciascuna coppia viene chiamato
dominio.
L’insieme costituito dai secondi elementi
di ciascuna coppia viene chiamato
codominio.
FUNZIONE
Una funzione è una relazione tra due
insiemi X e Y tale che comunque si
prenda un elemento x di X ad esso
viene associato uno e un solo
elemento y di Y
RELAZIONE
X
Y
Anna
Ugo
Ida
Paola
Mario
Fabio
Anna non è in relazione con nessun elemento del codominio
Ida è in relazione con due elementi del codominio
FUNZIONE
Y
X
Anna
Paola
Ugo
Mario
Fabio
A Mario non corrisponde nessun elemento del dominio
FUNZIONE
X
f
Y
Si indica come
1
4
2
5
f : X Y
6
3
f ( x)  ... (es. f ( x)  x 2 )
o più brevemente
4 è l’immagine di 1 (f(1)=4)
y  ... (es. y  x 2 )
1 è la controimmagine di 4
L’insieme {2,3} è la controimmagine di 5
{4, 5}è l’insieme immagine di f: sottoinsieme del codominio formato
da tutti gli elementi immagine (ovvero da tutti gli elementi che hanno
un corrispondente elemento nel dominio)
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
f : X Y
Grafico di f : ( x, y) | x  X , y  f ( x)
Il grafico di una funzione è un insieme,
che ha anche una rappresentazione grafica:
y
yx
2
x
INIETTIVITÀ
1
2
4
6
5
INIETTIVA
1
2
4
5
3
NON INIETTIVA
Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento
del codominio è immagine, al più, di un SOLO
elemento del dominio
SURIETTIVITÀ
1
2
3
4
6
SURIETTIVA
1
4
2
5
6
NON SURIETTIVA
Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento
del codominio è immagine di ALMENO un elemento
del dominio
FUNZIONE INVERSA
Sia f : X → Y iniettiva e suriettiva. Allora è
invertibile, ovvero esiste la funzione
inversa
-1
f
x f
-1
:Y  X
( y )  y  f ( x)
f
1
f
4
-1
1
4
2
6
6
2
FUNZIONE INVERSA
X  x  R | x  0, Y  X
Esempio:
f ( x)  x
2
ovvero
yx
2
-1
Allora x  y ovvero f ( y )  y
Ma possiamo rinominare le variabili :
-1
f ( x)  x
FUNZIONE INVERSA
Il grafico della funzione inversa è simmetrico
rispetto alla bisettrice del primo e del terzo
quadrante
y x
yx
2
FUNZIONE COMPOSTA
Y
X
f
1
-2 A
3
g
5
B
4
8
2
X
1
2
6
Y
g○f
5
6
FUNZIONE COMPOSTA
f :X A
g :B Y
h  g  f : X Y
h( x)  g ( f ( x)) x  X
Occorre che l' insieme immagine di f  B
Si indica più sempliceme nte con h( x)  g ( f ( x))
FUNZIONE COMPOSTA – ESEMPIO
f :RR
f ( x)  x  1

g ( x)  x
4
g:R R
h g f :RR
h( x )  x  1
4
g  f non è uguale a f  g !!!
g ( f ( x))  x  1,
4
f ( g ( x))  x  1
4