TEORIA DEGLI
INSIEMI
INIZIO
N°2
LE OPERAZIONI
FONDAMENTALI
CON GLI INSIEMI
N°1
GLI INSIEMI
N°3
LE RELAZIONI
TRA INSIEMI
N°1
GLI INSIEMI
M. Escher
Il concetto di insieme
Nel linguaggio comune il termine insieme
indica un raggruppamento, una raccolta, una
collezione di elementi che possono essere
oggetti, individui, simboli, numeri, figure
geometriche…
Un insieme si può considerare definito solo se
è possibile decidere inequivocabilmente se un
elemento appartiene o no all’insieme.
Esempi:
“Gli alunni simpatici di questa classe” non
costituiscono un insieme, perché non si
conosce un criterio oggettivo in base al
quale un alunno è considerato simpatico, ma
esistono soltanto criteri soggettivi.
Invece “gli alunni di questa classe più alti di
1,70m” costituiscono un insieme; infatti posso
stabilire, misurando la loro altezza, quali
alunni appartengono al suddetto insieme e
quali no; quindi ho un criterio oggettivo.
Il simbolo di
appartenenza
Generalmente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole:
A, B, C, …, X, Y, …
Gli elementi di un insieme con lettere minuscole:
a, b, c, …, x, y, …
Per indicare che un elemento “a” appartiene ad un insieme
A si usa il simbolo di appartenenza ;
la scrittura a  A si legge “a appartiene ad A”.
Per indicare invece che un elemento x non è dell’insieme A,
si scrive x  A, e si legge “x non appartiene ad A”.
Rappresentazioni di un
insieme
Un insieme può essere rappresentato in
3 modi diversi:
Con i diagrammi di Eulero-Venn;
In modo estensivo;
In modo intensivo.
Con i diagrammi di Eulero-Venn si dà una
rappresentazione geometrica:
gli elementi all’interno della linea appartengono
all’insieme A, quelli all’esterno no.
A
f
b
a
g
c
d
e
La rappresentazione estensiva o tabulare
consiste nell’elencare i nomi degli elementi
dell’insieme scrivendoli tra parentesi graffe,
senza ripetizioni e senza dare importanza
all’ordine.
Esempio
Consideriamo l’insieme C delle consonanti
della parola “stivale”;
la sua rappresentazione estensiva è:
C=s,t,v,l
Infine, la rappresentazione intensiva di un
insieme è la specificazione di una proprietà
p(x), se esiste, che ne caratterizza gli elementi.
Esempio
L’insieme A dei numeri naturali minori di 5 può
essere così rappresentato:
A= xN / x < 5 
Insiemi uguali, insieme
vuoto
DEF Diremo uguali due insiemi A e B quando hanno
esattamente gli stessi elementi, ossia quando ogni
elemento di A appartiene a B e quando ogni elemento
di B appartiene ad A.
Per indicare che due insiemi A e B sono uguali
scriveremo A=B.
E’ questo il cosiddetto:
principio di equiestensione
Esempio
Sia C l’insieme delle consonanti della parola
“stivale” e D quello delle consonanti della
parola “velista”; rappresentiamoli:
C= s,t,v,l
D= v,l,s,t
Poiché i due insiemi contengono gli stessi
elementi, per il principio di equiestensione,
essi sono uguali:
C=D
Consideriamo ora l’insieme dei cerchi con 3
angoli. L’insieme è ben definito, ossia esiste un
criterio oggettivo per stabilire se un elemento
appartiene o no a questo insieme, eppure ci
rendiamo conto che non esiste alcun elemento
che soddisfi la proprietà enunciata perché non
esistono cerchi che abbiano degli angoli; allora:
DEF Definiamo insieme vuoto l’insieme che
non ha alcun elemento. Tale insieme lo
indicheremo con il simbolo:
 oppure  
Insieme ambiente o
universo
Quando si rappresenta un insieme mediante
la proprietà caratteristica, occorre indicare
l’ambiente da cui trarre gli elementi x
dell’insieme. Questo ambiente, cioè la totalità
degli elementi, è esso stesso un insieme e
viene detto:
insieme ambiente o insieme universo.
Sottoinsiemi
B

A
Tutti gli elementi di B appartengono anche a A
Es: B={1,2,3} A= {1,2,3,4,5}
A
2
1 3
4
5
B
N°2
LE OPERAZIONI
FONDAMENTALI
CON GLI INSIEMI
Unione tra 2 insiemi
A

B
E’ l’insieme formato dagli elementi che si trovano in A o in B
Es: A = {1,2,3} B ={2,4,5} A U B = {1,2,3,4,5}
B
A
4
1
2
3
5
Intersezione
A  B
E’ l’insieme formato dagli elementi che si trovano sia in A
che in B
Es: A = {1,2,3} B ={2,4,5} A  B = {2}
A
1
3
4
2
5
A  B
B
Insieme complementare
Se A  B si chiama Complementare di A
rispetto a B e si scrive AB l’insieme degli
elementi di B che non appartengono ad A.
Es : A ={1,2} B ={1,2,3,4} AB ={3,4}
B
3
A
1
2
4
Insieme differenza
Dati 2 insiemi A B si chiama Differenza di A
rispetto a B e si scrive A – B l’insieme degli
elementi di A che non appartengono ad B.
Es : A ={1,2,5,6} B ={1,2,3,4} A-B={5,6}
A
5
6
1
2
3
4
B
N°3
LE RELAZIONI TRA DUE
INSIEMI
Concetto di relazione
Una relazione tra due insiemi A e B è un insieme di
coppie formate ognuna da un elemento di A, e da
uno di B; i due elementi si dicono allora in relazione.
Il primo insieme si dice dominio della relazione, il
secondo codominio.
A
B
Esempio di relazione
A
1
3
5
B
2
10
6
Mando un elemento nel doppio
Le coppie sono:
(1,2)
(3,6) (5,10)
A è il dominio
B è il codominio
Immagine
Data una relazione tra A e B si chiama immagine di un
elemento a  A l’insieme degli elementi in relazione
con a e si indica con f(a) dove f indica la relazione
A
8
6
9
7
B
2
4
3
5
Mando un elemento di A in un
in suo divisore in B
f(8)={2,4} f(6)={2,3} f(9)={3} f(7)=Φ
L’immagine di tutta la relazione è {2,4,3}
Controimmagine
Data una relazione tra A e B si chiama controimmagine di un
elemento b  B l’insieme degli elementi in relazione con b e si
indica con f-1(b) dove f indica la relazione
A
8
6
9
7
B
2
4
3
5
Mando un elemento di A in un
in suo divisore in B
f-1(2)={8,6} f-1(4)={8} f-1(3)={6,9} f-1(5)=Φ
La controimmagine di tutta la relazione è {8,6,9}
Funzione
Data una relazione tra A e B si dice che è una
funzione se ogni elemento di A ha uno ed un solo
corrispondente il B.
Es:
f: A ------>B
g: A------> B
h: A------>B
1
a
1
a
1
a
2
b
2
b
2
b
3
c
3
c
3
c
La f non è una funzione perché 1 non ha
corrispondente, la g non è una funzione perché 2 ha
due corrispondenti, la h è una funzione perché ogni
elemento di A ha uno ed un solo corrispondente. Il
controllo si fa sull’insieme A!
Funzione iniettiva
Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del
dominio hanno immagini distinte.
Es:
f: A ------>B
g: A------> B
1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
c
d
La f è una funzione non iniettiva perché 1 e 2 hanno la
stessa immagine; la g è una funzione iniettiva perché
gli elementi del dominio hanno immagini distinte.
Funzione suriettiva
Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento del
codominio ha una controimmagine.
Es:
f: A ------>B
g: A------> B
1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
La f è una funzione non suriettiva perché c no ha una
controimmagine; la g è una funzione suriettiva perché
tutti gli elementi del codominio
hanno una
controimmagine.
Funzione biunivoca
Una funzione si dice biunivoca se è sia iniettiva che
suriettiva.
Es:
f: A ------>B
g: A------> B
h: A------>B
1
a
1
a
1
a
2
b
2
b
2
b
3
c
c
La f non è biunivoca perchè non è iniettiva, la g non è
biunivoca perché non è suriettiva, la h è biunivoca
perché è sia iniettiva che suriettiva.
Funzione inversa
Una funzione biunivoca ha una funzione inversa che si
ottiene scambiando dominio e codominio e prendendo
le coppie in ordine inverso. Se la funzione si indica
con f la sua inversa si indica con f-1
Es: f: A 
1
2
3
B
a
b
c
f-1 : B  A
a
b
c
1
2
3