Funzioni e loro grafici
Dicesi funzione y=f(x) della variabile x una legge qualsiasi che faccia corrispondere ad
ogni valore di x, scelto in un certo insieme, detto dominio, uno ed uno solo valore di y
appartenente ad un certo insieme detto codominio.
La fuzioni iniettive hanno l’ulteriore proprietà che ad elementi distinti del dominio
corrispondono elementi distinti del codominio
Dominio
Codominio
La fuzioni surgettive ogni elemento del codominio è l’immagine di almeno un elemento
del dominio
Dominio
Codominio
Le funzioni biiettive hanno entrambe le proprietà ossia ad uno ed un solo elemento del
dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio
Dominio
NB:solo le funzioni biiettive sono invertibili
Codominio
1
-Δ/4a
È una funzione suriettiva se si limita il codomino all’insieme [-Δ/4a, +∞[
-Δ/4a
È una funzione iniettiva se si considera solo un ramo limitando il domino
all’insieme ]-∞,-b/2a]
Per renderla biiettiva dobbiamo limitare anche il codominio all’insieme
[-Δ/4a, +∞[
2
Le funzioni base:
Funzioni polinomiali :
y = an x n + an!1 x n!1 + .... + a0
n è detto grado del polinomio
Es: y=costante
y=x ,
Funzioni razionali fratte si ottengono dal quoziente di due funzioni
polinomiali:
x 2 ! 3x + 5
y=
Es:
x+2
Funzioni potenza:y=xb
Funzioni esponenziali: y=ax
Es: y=ex (dove e=2.7182...)
a>0
x !R
Funzioni logaritmiche y=logax
Funzioni trigonometriche
Es: y=sin x
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Si ottengono altre funzioni usando:
• le 4 operazioni aritmetiche
• la composizione funzionale (y=f(t) t=g(x) il dominio è degli x tali che g(x)
appartenga al dominio di f)
• l’inversione funzionale y=f(x) → x=g(y) (solo per funzioni biiettive)
•Il legame tra due variabili x e y del tipo x2+y2=16 non è una funzione (non è
una funzione perché ad ogni valore di x compreso tra -4 e 4 corrispondono due
valori distinti di y)
•. Si scrivano le espressioni analitiche y=f1(x) e y=f2(x) tali che considerando
l’unione dei loro grafici si ottenga lo stesso luogo geometrico individuato dalla
relazione x2+y2=16
Le funzioni sono f1(x )=-√ ( 16-x2) e f2(x)=√ ( 16-x2)
4
Esempi
•In uno stesso sistema di riferimento disegnare il grafico di
y=3x , y=-3x , y=3x+1,
y=|3x | , y= | 3x | +1
y=|3x |
y= | 3x | +1
•Disegnate il grafico di
y=x2,
y=x2+1,
y= | x2-2 |
y=3x2+1,
y= | x2-2 |
•Disegnare il grafico di
y=1/x+1, y= |1/x |, y=1/(x+1), y=x2/3
y=1/x+1
y= |1/x |
y=x2/3
5
Funzioni esponenziali e logaritmiche
Funzione esponenziale: y=ax con
x"R
a > 0 costan te
Si possono considerare funzioni esponenziali con base un numero positivo a qualsiasi
Per a>1 il grafico della funzione y=ax è rappresentato dalla curva nera
!
Per a<1 il grafico di
y=ax
è invece decrescente e rappresentato dalla curva rossa
Una base molto usata è il numero di Neper e=2.7182 e quindi y=ex, si può sempre
passare da una funzione esponenziale del tipo y=ax con base a qualsiasi alla
corrispondente y=emx con m costante opportuna
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Esempio: y=10x=emx con m=2.30259.
La funzione inversa dell’esponenziale si denota con il simbolo
x=logay e si chiama logaritmo di y (argomento del logaritmo) in base a; rappresenta quel
numero che elevato alla base da l’argomento; qualunque sia la base a NON ESISTONO
logaritmi di numeri negativi e la funzione y=logax è definita solo per x>0 ha il seguente
grafico
a>1
A
a
loga b
=b
a<1
B
y=logax=lnx/lna
Dalle proprietà delle potenze e dalla definizione di funzione inversa si deducono le seguenti
regole di calcolo con i logaritmi:
loga1=0; logaa=1; loga(b.c)=logab+logac; logab/c=logab-logac;
logaab=b; logabn=nlogab;
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Le basi di uso più frequente per i logaritmi sono 10 (logaritmi decimali si indicano
con L maiuscola Log) ed e (logaritmi naturali ln)
I Log sono particolarmente comodi per affrontare problemi di calcolo numerico
Infatti si ha
Log1=0 Log10=1
Log100=2
Log1000=3
Log0.1=-1 Log0.01=-2 Log0.001=-3
La conoscenza della sola parte intera di un Log fornisce l’ordine di grandezza del
corrispondente numero
Es: Log x =19.26 x=10 19.26=1019.10 0.26
I ln sono invece particolarmente utili nel calcolo infinitesimale perchè y=ex ha come
derivata y’=y
Il passaggio dai logaritmi in una data base a ai logaritmi in un’altra base b si ottiene
usando la seguente relazione
logac=logab logbc es.: lnx=2.302 Logx
10
6
10
7
10
Logx=0.434lnx
8
10
9
10
10
Uso della scala logaritmica. Es.: riportiamo su una scala i seguenti dati
1 750 000 000, 24 000 000, 2 620 000
8
Esempi di grandezze che vengono abitualmente rappresentate in scala logaritmica:
-frequenze dei suoni percepiti dall’orecchio umano 20Hz-20000Hz
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
-il numero dei leucociti/mm3 nel sangue (da qualche migliaio a varie centinaia)
Rappresentazione in un piano di due grandezze correlate
Es: y=kax e y=kxn
I logaritmi sono inoltre usati nella definizione di:
-pH di una soluzione pH=-Log[H+] (H+ indica la concentrazione di ioni + di idrogeno in
grammoioni/litro)
-misura del suono: S=10Log (I/Io) quantità misurata in dB, Io rappresenta la soglia di intensità
minima affinché il suono venga udito
Esercizio: La popolazione mondiale aumenta ad un tasso annuo di 1.7% , se questo incremento resta
costante, calcolare in quanto tempo la popolazione :
-raddoppia
-quadruplica
-decuplica
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Esempi
•In un sistema di coordinate semilogaritmiche disegnare i grafici di
y=4x, y=0.5x, y= 10• 2x
•In un sistema di coordinate doppiamente logaritmiche disegnare i grafici di
y=x, y=x2, y=x0.5
•Molte grandezze fisiche (decadimento radioattivo nucleare, scarica di un condensatore
attraverso una resistenza ,….) hanno un andamento in funzione del tempo descritto
dalla curva
y=e-x, disegnarne il grafico
•Disegnare il grafico di
y=1-
y=e
e-x
!x 2
•la funzione
rappresenta la distribuzione di una serie di misure di una grandezza fisica attorno al
valor medio in questo caso uguale a 0,più in generale
!( x ! m ) 2
y = ke
2"
2
Dove m rappresenta il valor medio e il parametro σ
è legato alla larghezza della curva “gaussiana”
•La funzione rappresenta la distribuzione delle velocità degli atomi o delle molecole di
un gas
2 !x2
y= x e
10
2 !x2
y =2
y= x e
x
!
y =e
"x 2
y = 1" e"x
!
11
y =e
"x
!
y=x
2
12
!
esercizi
•Sapendo che Log 2~0.30103 calcolare i valori di Log4, Log 8, Log5,
Log0,5 e Log0,2
•Determinare m,n in modo tale che il grafico della funzione
y=ln(mx+n) passi per i punti A(1;-1) e B(6;0)
•Individuare il domino della funzione y=log(2x-x2)
•Individuare il domino della funzione y=√ ( sinx)
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