ESPONENZIALI
E
LOGARITMI
La legge esponenziale
nella natura
La riproduzione per scissione
Numero scissioni
(s)
Numero di batteri
(N)
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
Se indichiamo con N il numero dei batteri e con s il numero di
scissioni, la legge che regola la riproduzione per scissione è: N=2s.
Sia dominio che codominio appartengono all’insieme dei numeri
naturali.
La fissione nucleare
Processo che sta alla base dell’utilizzo della bomba atomica e dell’energia
atomica.
“Bombardando” un atomo di uranio U235 con un neutrone si ha la
liberazione di 3 neutroni e di energia.
Si innesca una reazione a catena.
Se indichiamo con N il numero di neutroni e
con u il numero di urti, la legge che regola
la fissione nucleare è: N=3u.
Sia dominio che codominio appartengono
all’insieme dei numeri naturali.
Numero di
urti (u)
Numero di
neutroni (N)
0
1
1
3
2
9
3
27
4
81
Decadimento radioattivo
del carbonio 14
•
Alcuni minerali emettono spontaneamente radiazioni e l’emissione di queste
radiazioni provoca la trasformazione dei minerali in nuove sostanze.
•
Se il carbonio14 contiene oggi una certa massa di sostanza radioattiva dopo 6000
anni metà di tale massa avrà subito il decadimento radioattivo e metà sarà rimasta
inalterata.
Tempo di
dimezzamento
(t)
0
Massa di
(M)
1
1
0,5
2
0,25
3
0,125
-1
2
-2
4
Se M indica la massa di C14 ,t il tempo, misurata a partire dal numero di tempi di dimezzamento
(ossia il tempo utilizzato per dimezzare la massa che nel caso del C14 è di 6000 anni) trascorsi,
la legge che regola il decadimento radioattivo è: M=(1/2)t
In questo caso ha senso considerare la massa di C14 corrispondente a valori di t negativi, valori
che indicano il “passato”e anche a valori di tempo non interi, come ad esempio t = 1/3 cioè circa
2000 anni.
Possiamo quindi “infittire” quanto vogliamo la tabella che descrive il decadimento radioattivo ed
ottenere un grafico come quello in figura.
Si passa quindi da un grafico “ a scatti “a un grafico continuo.
Il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali, mentre il codominio è quello dei numeri
La funzione esponenziale
Prefissato un numero reale a>0 è
possibile associare
ad un numero reale qualsiasi x,
il numero reale ax
F: R R+
x→ax
LA CURVA ESPONENZIALE
se
a
>1
Quando a>1 si viene a creare una curva crescente che non tocca
•
mai l’asse delle ascisse e rimane nel semipiano delle ordinate
positive.
• Più la base è grande, più ripida è la crescita;
• Tutte le curve passano per il punto (0; 1);
,
x
Y=2x
Y=3x
-2
0,25
0,11
-1
0,5
0,33
0
1
1
1
2
3
2
4
9
lim
ax=+∞;
x→+∞
lim
ax =0+
x→-∞
LA CURVA ESPONENZIALE
se 0<a<1
lim
ax=+∞;
x→-∞
lim
ax =0+
x→+∞
Con 0<a<1 si viene a formare una curva decrescente che
non tocca mai l’asse delle ascisse e rimane nel semipiano
positivo.
Più la base è piccola, più rapida è la decrescita.
Tutte le curve passano per il punto (0;1),
LA CURVA ESPONENZIALE
se a =1
La curva degenera
in una retta parallela
all’asse delle ascisse
Simmetrie
Confrontando i grafici
di funzioni esponenziali
con basi reciproche
osserviamo che
sono simmetrici
rispetto all’asse delle ordinate.
LOGARITMI
Michael Stifel
in una sua famosa opera”Aritmetica integra”
osservò che i termini della progressione
geometrica corrispondono ai termini della
progressione aritmetica formata dai loro
esponenti.
John Napier
Approfondisce l’idea di logaritmo come progressione geometrica di ragione 10
nell’opera “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” e coniò il termine
logaritmo.
Logaritmo: dal greco LOGON = ragione, intesa nel senso usato nelle
progressioni geometriche, cioè rapporto e ARITHMOS = numero: numero
razionale, nel senso di numero “artificiale” creato dalla ragione.
Henry Briggs
Nel 1615,durante una visita in Scozia,propose di utilizzare la potenza del 10 a Nepero,il quale però
non portò avanti il progetto perché morì nel 1617 e la sua opera uscì postuma nel 1619.
Compilò le prime tavole dei logaritmi da 1 a 1000, più che sufficienti per le esigenze del tempo.
Leonard
Eulero
Agli inizi del ‘700 con Eulero i logaritmi diventano oggetto
matematico adottando un linguaggio e una notazione che per molti
aspetti corrispondono a quelli usati oggi. Eulero fu il primo ad usare
la lettera “e” per rappresentare la base del sistema dei logaritmi
naturali o neperiani.
La funzione logaritmica
Funzione che associa a ogni valore della variabile x
il valore y =logax,
dove “a” è un numero reale positivo diverso da 1
e x un numero reale maggiore di zero.
F: R+ R
x→logax
Il dominio è l’insieme di tutti i numeri reali positivi x,
il codominio è l’insieme di tutti i numeri reali.
Tutte le curve logaritmiche hanno la particolarità di passare per il punto del grafico
A(1,0), perciò risulta loga1=0
Questa funzione è la funzione inversa della funzione esponenziale.
1° CASO: a>1
x
Y=log2x
0,25
-2
0,5
-1
1
0
2
1
4
2
lim logax = -∞; lim logax=+∞
x→0+
x→+∞
La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R+.
Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0, la curva tende ad avvicinarsi
sempre più all’asse delle y senza però toccarlo. Si dice che l’asse delle ordinate
è asintoto della funzione.
La funzione è crescente.
2° CASO: 0<a<1
x
Y=log1/2x
0,25
-2
0,5
-1
1
0
2
1
4
2
lim logax =+∞;
x→0+
lim logax=-∞
x→+∞
La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R+.
Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0 la curva tende ad avvicinarsi
sempre più all’asse delle y senza però toccarlo. Si dice che l’asse delle
ordinate è asintoto della funzione.
La funzione è decrescente.