Funzioni
Dati due insiemi non
vuoti A e B,
si chiama applicazione
o funzione da A a B
una relazione tra i due
insiemi che a ogni
elemento di A fa
corrispondere uno e un
solo elemento di B.
A
B
Esempi di funzione...
Sia A l’insieme formato da quattro ragazzi:
A
A=Paolo; Bruno; Carlo; Mario,
e B l’insieme costituito da sei signore tra le quali vi
Paolo .
Carlo
.
siano le mamme dei ragazzi dell’insieme A:
Bruno .
B=Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca.
Mario .
Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione 
definita da “…ha per madre…“ e supponiamo che sia:
• Paolo  Franca
• Bruno  Maria
• Carlo  Anna
• Mario  Franca
(Paolo ha per madre Franca)
(Bruno ha per madre Maria)
(Carlo ha per madre Anna)
(Mario ha per madre Franca)
Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B
una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo
insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del
secondo insieme, perciò, la relazione determina
un’applicazione o funzione da A verso B.
B
Anna .
Pina .
Maria .
Luisa .
Franca .
Valentina .
...Esempi di funzione
 Sia A l’insieme dei numeri naturali pari A=0,2,4,6,8,10,12,14,16...
e B l’insieme dei numeri naturali B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13....
La relazione “…è il doppio di…” determina una
corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A
corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò,
la
relazione
è
un’applicazione
o
funzione da A a B.
Relazioni che non sono funzioni
Perché queste relazioni
non sono funzioni?
1
A
B
L’esempio 1 non è una
funzione perché, un
elemento di A non ha il
corrispondente in B.
L’esempio 2 non è una
funzione perché, ad un
elemento
di
A
corrispondono
due
elementi di B.
2
A
B
Immagine e Controimmagine
Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo:
f:AB
Se x è un elemento di A,
A
B
il suo corrispondente y di B
si indica con f(x)
y=f(x)
x
f
y è l’immagine di x.
controimmagine
x è controimmagine di y.
y=f(x)
immagine
f:x f(x) x  A, f(x)B
Dominio e Codominio
Una funzione è una corrispondenza univoca tra l’insieme A e
l’insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa
corrispondere un unico y B.
L’insieme A è detto dominio
della funzione.
L’insieme degli elementi di
B che hanno almeno una
controimmagine in A è detto
insieme delle immagini o
codominio della funzione.
Il codominio si indica con
f(A)
Dominio
Codominio
A
B
f(A)
x
y=f(x)
f
Esercizi
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche...
Funzione iniettiva
Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B.
Si dice che f è una funzione iniettiva o anche che è
un’iniezione, se, comunque si scelgano due elementi
x1,x2A, si ha
x1x2 f(x1)f(x2)
A
B
...Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche...
Funzione suriettiva
Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B.
Si dice che f è una funzione suriettiva o anche che è una
suriezione, se il codominio di f coincide con B, cioè se
f(A)=B.
A
B
… Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
Funzione biunivoca
Se una funzione f:AB è sia iniettiva che suriettiva si
dice che la funzione è biiettiva o una biiezione o una
funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se
sono verificate le condizioni:
x1x2 f(x1)f(x2)
f(A)=B
A
B
Funzione costante
Una funzione f:AB si dice costante quando tutti
gli elementi del dominio hanno la stessa immagine
A
B
Funzione costante
Funzioni numeriche
Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni
numeriche.
Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi
dell’insieme R dei numeri reali
AR,
B R
e i loro elementi vengono chiamati variabili.
xA,
yB
Funzioni matematiche o analitiche e funzioni
empiriche
Funzioni matematiche o analitiche
Le funzioni matematiche sono funzioni numeriche
per le quali, a partire da un x del dominio A,
l’immagine f(x)=yB si ottiene mediante un
numero finito di operazioni matematiche;
l’insieme di queste operazioni dà la legge per
“costruire”
l’immagine y dell’elemento x
considerato.
Funzioni empiriche
Le
funzioni
empiriche
sono
funzioni
numeriche e non numeriche per le quali
l’immagine di un elemento x non è ottenibile
con una legge prefissata, bensì per mezzo di
misurazioni sperimentali o di rilevazioni.
Classificazione delle funzioni analitiche
Funzioni analitiche
Funzioni
trascendenti
Funzioni
algebriche
Goniometriche
Razionali
Irrazionali
Logaritmiche
Intere
Fratte
Intere
Fratte
Esponenziali
Insieme di esistenza
Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne
il dominio.
Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è
indicato, è l’insieme dei valori reali che possono attribuirsi
alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente
valore reale y.
In questo caso, il dominio prende il nome di insieme di
esistenza o di definizione della funzione.
L’insieme di esistenza è il sottoinsieme più
vasto di R che può essere preso come
dominio della funzione.
Grafico di una funzione
Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si
dice grafico della funzione l’insieme di tutti e soli i
punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori
della variabile indipendente x appartenenti al dominio
e per ordinata i valori corrispondenti della variabile
dipendente y.
Un punto appartiene al grafico di una
funzione se e solo se le sue coordinate
soddisfano l’equazione della funzione.
Funzioni uguali
Due funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio
comune D quando f(x)=g(x) xD
Le funzioni
x
f(
x
)
;
2
x
sono uguali.


D

R
0
1
g(x
)
;
x


D

R
0
Le funzioni
2
x
f(
x
)
;
x


D

R
0
g(x
)
x
;
D

R
non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio.
Funzioni pari e funzioni dispari
Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x)
e di dominio D si dice pari se, xD, f(-x)=f(x).
Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo
grafico le coppie di punti di coordinate
(x;f(x)) e (-x;f(x))
perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto
all’asse delle ordinate.
Esempio di funzione pari
y=
0,5
x2
Y
x
Y
-10
50
-9
40,5
-8
32
-7
24,5
-6
18
-5
12,5
-4
8
-3
4,5
-2
2
-1
0,5
0
0
1
0,5
2
2
3
4,5
4
8
5
12,5
6
18
7
24,5
8
32
9
40,5
10
50
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Funzioni pari e funzioni dispari
Funzione dispari: Una funzione f di equazione
y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, xD,
f(-x)=-f(x).
Se una funzione è dispari, appartengono al suo
grafico le coppie di punti di coordinate
(x;f(x)) e (-x;-f(x))
perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto
all’origine degli assi cartesiani.
Esempio di funzione dispari
y=
2,0
x
Y
-10
-2000
-9
-1458
-8
-1024
-7
-686
-6
-432
-5
-250
-4
-128
-3
-54
-2
-16
-1
-2
0
0
1
2
2
16
3
54
4
128
5
250
6
432
7
686
8
1024
9
1458
10
2000
x3
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Funzioni pari e funzioni dispari
Consideriamo una funzione del tipo y=P(x) dove
P(x) è un polinomio.
• La funzione y=P(x) è pari, se e solo se, nel
polinomio compaiono solo potenze di x di grado
pari.
• La funzione y=P(x) è dispari, se e solo se, nel
polinomio compaiono solo potenze di x di grado
dispari.
Esempio: Funzione né pari né dispari
Y=
1,0
x2
x
Y
-10
77
-9
60
-8
45
-7
32
-6
21
-5
12
-4
5
-3
0
-2
-3
-1
-4
0
-3
1
0
2
5
3
12
4
21
5
32
6
45
7
60
8
77
9
96
10
117
+ 2,0
x
-3,0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-2
0
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2 3
4
5
6
7 8
9 10
Y
Definizione di funzione numerica
(Dirichlet)
Una variabile reale y è funzione di una variabile reale x in
un dominio D (D R), se esiste una legge f, di natura
qualsiasi, che faccia corrispondere ad un qualsiasi
elemento x del dominio, uno e un solo valore di y del
codominio.
x variabile indipendente
y variabile dipendente