Argomenti della lezione:
+
relazione di Mayer
+
trasformazioni adiabatiche
+
trasformazioni isoterme
+
macchine termiche
+
ciclo di Carnot
+
secondo principio della termodinamica
+
cenni sull’entropia
Abbiamo ricavato
c p  cV  R
Rapporto 
 
cp
cV
Valori sperimentali
Gas ideali monoatomici
(He, Ar, vapori metallici di Na, Hg)
3
cV  R
2
5
cp  R
2
5
 
3
Gas ideali biatomici
(H2, N2, NO, CO)
5
cV  R
2
7
cp  R
2
7
 
2
I gas che considereremo saranno sempre mono o bi atomici
U  ncV T
per qualsiasi trasformazione
Q  ncV T
se V  costante
Q  nc p T
se p  costante
pV  nRT
equazione dei gas perfetti
c p  cV  R
relazione di Mayer
U  Q  W
primo principio della termodinamica
Se il gas è contenuto in un contenitore con pareti adiabatiche può
scambiare con l’esterno solo lavoro
WAB  U
 
W AB
ma
U  ncV T2  T1 
cp
c p  cV  R
cV
cV
1
 p 2V2  p1V1  
 ncV  p 2V 2  p1V1 

nR c p  cV
1
 p 2V2  p1V1 

1 
Se il gas è contenuto in un contenitore con pareti adiabatiche può
scambiare con l’esterno solo lavoro
dU  dW  ncV dT  pdV  0
nRT
ncV dT 
dV  0
V

nRT
p
V
Separando le variabili

dT n c p  cV
ncV

dV  0
T
V
dT c p  cV
dT
dV

dV 
   1
0
T
cV V
T
V


dV
dT
 1  
V
T
Integrando fra stati A e B
 VB 
VB
TA
  1ln  ln  ln  
VA
TB
 VA 
 VB 
 
 VA 
 1
 1
TA
 ln
TB
TA

 TB VB  1  TA V A  1
TB
Considerando l’equazione di stato dei gas perfetti si ottiene
T V  1  costante
pV   costante
1
T  p

 costante
Considerando l’equazione di stato dei gas perfetti si ottiene
Q W
U  0
pV  costante
nel caso di isoterma reversibile
W AB 
B
B
A
A
 pdV  
VB
nRT
dV  nRT ln
V
VA
Una macchina termica è un dispositivo che trasforma calore in
lavoro.
Contiene una sostanza che, in maniera ciclica, assorbe una
quantità di calore Q1, cede una quantità di calore Q2 e compie
un lavoro W.
Rendimento di una macchina termica:
W

Q1
Il funzionamento è ciclico, quindi per il 1° principio
U  Q  W  0
Q1  Q2   W  0  U  Q  W  0  W  Q1  Q2 
Q1  Q2

Q1
Schema di una generica
macchina termica:
W
Rendimento:  
Q1
Schema di una generica
macchina frigorifera:
Efficienza:
Q2

W
p
Trasformazione ciclica
ABCD
A
T2
Trasformazione isoterma AB
alla temperatura T2.
Espansione isoterma
B
D
T1
C
V
Trasformazione isoterma CD
alla temperatura T1.
Compressione isoterma
Trasformazione adiabatica DA.
Compressione adiabatica
Trasformazione adiabatica BC.
Espansione adiabatica
Scopo:
W
Rendimento:  
QC
p
Nella espansione isoterma AB
A
U AB  0
T2
pV  costante
B
B
W AB 
D
T1
Nella espansione adiabatica BC
 pdV 
A
C
B
V
QBC  0
QAB  WAB


A
nRT2
VB
dV  nRT2 ln
V
VA
U BC  WBC
WBC  U BC  ncV T  ncV T2  T1 
p
Nella compressione isoterma CD
A
U CD  0
T2
pV  costante
B
D
WCD 
D
T1
 pdV 
C
C
D
V
Nella compressione adiabatica DA
QDA  0
QCD  WCD


C
nRT1
VD
dV  nRT1 ln
V
VC
U DA  WDA
WDA  U DA  ncV T  ncV T1  T2 
p
Riassumendo:
A
T2
Q AB  W AB  nRT2 ln
VB
0
VA
QCD  WCD  nRT1 ln
VD
0
VC
B
D
T1
C
V
Per cui il lavoro totale è dato da:
W  W AB  WBC  WCD  WDA  nRT2 ln

V
V
 nR T2 ln B  T1 ln D
VA
VC





U BC  U DA
WBC  WDA
VB
V
 WDA  nRT1 ln D  WDA 
VA
VC
p
Ma il rendimento è dato dal
rapporto fra lavoro e calore
assorbito.
In questo caso il lavoro è stato
appena calcolato, il calore viene
assorbito durante l’espansione
isoterma AB
A
T2
B
D
T1
C
Q AB  QCD
W



Q AB
Q AB
V

VB
VD
nR T2 ln
 T1 ln
VA
VC


VB
nRT2 ln
VA




VB
VD
 T2 ln
 T1 ln
VA
VC

VB
T2 ln
VA



p
Osserviamo che le trasformazioni
BC e DA sono di tipo adiabatico,
per cui:
A
T2
T V  1  costante
B
D
T1
C
V
T2 VB  1  T1 VC  1
T1 VD 
 1
 T2 V A 
 1
T2  VC 

 
T1  VB 
T2  VD
 
T1  V A
 1



 1
 VC

 VB



 1
 VD
 
 VA



 1
p
A
E in definitiva
T2
 VC

 VB
B
D
T1
C
V
  VD
  
  VA
  VD
  

  VC
  VA 
 
 V 
  B

V
V
 T2 ln B  T1 ln D
VA
VC


VB
T2 ln
VA

VB
VA 
 T2 ln

 T1 ln
VA
VB  T2  T1 
T1



 1
VB
T2
T2
T2 ln
VA



Può essere espresso in molti modi equivalenti:
Non è possibile realizzare una trasformazione il cui unico
risultato sia la conversione integrale di calore assorbito in
lavoro (enunciato di Kelvin).
Non è possibile realizzare una trasformazione il cui unico
risultato sia il trasferimento di calore da una sorgente a
temperatura più bassa ad una sorgente a temperatura più alta
(enunciato di Clausius).
Non è possibile realizzare una macchina termica con
rendimento  = 100%.
Non è possibile realizzare una macchina frigorifera che non
assorba lavoro.
Una trasformazione si dice reversibile se è costituita dalla
successione di infiniti stati di equilibrio.
In questo caso il sistema può essere riportato allo stato iniziale
ripercorrendo all’indietro la stessa trasformazione.
In una trasformazione irreversibile il sistema passa per stati di non
equilibrio e non può essere invertita perfettamente.
Consideriamo una trasformazione reversibile in ciascun elemento
della quale una quantità di calore dQrev viene scambiata ad una
temperatura T. Si definisce variazione di entropia:
f
dQrev
S 
T

i
In un sistema isolato, in cui ci sono solo trasformazioni reversibili,
l’entropia rimane costante ( S=0).
In un sistema isolato, in cui ci sono trasformazioni irreversibili,
l’entropia aumenta sempre ( S>0).
Quindi l’entropia determina il verso delle trasformazioni irreversibili:
un sistema evolverà sempre in modo che l’entropia aumenti.
Significato probabilistico dell’entropia:; esprime il grado di disordine
microscopico di un sistema.
Un sistema isolato evolve quindi sempre verso stati più disordinati.