Calore e lavoro
La stessa variazione dello stato termodinamico di un sistema, misurata ad esempio
dalla variazione della sua temperatura, può essere prodotta sia da un dato lavoro
meccanico W (misurato in Joule) compiuto in maniera adiabatica, sia da uno scambio
di calore Q avvenuto senza scambio di lavoro (misurato, ad es., in calorie).
Si verifica che in tali condizioni il lavoro W ed il calore Q sono proporzionali:
se una data variazione dello stato del sistema (ad es., una variazione di temperatura
DT1) è prodotta adiabaticamente da un lavoro W1 oppure (senza lavoro meccanico)
dallo scambio di calore Q1, ed una diversa variazione dello stato del sistema (ad es.,
con una variazione di temperatura DT2) è prodotta dal lavoro adiabatico W2 ovvero
dallo scambio di calore Q2, risulta sperimentalmente:
W2 Q2

W1 Q1
con :
ossia:
W2
W1

 k
Q2
Q1
k  4186,8 J / Cal
U.Gasparini, Fisica I
“equivalente meccanico
della caloria”
1
Trasformazioni cicliche
Se un sistema termodinamico compie una “trasformazione ciclica” (trasformazione
in cui lo stato termodinamico iniziale è uguale a quello finale), scambiando
globalmente con i sistemi con i quali interagisce il lavoro W ed il calore Q ,
il rapporto tra queste due quantità è sempre:
W
 k
Q
indipendentemente dalla trasformazione ciclica compiuta (ossia dal valore di W ).
Esempio:
p
B
un gas si espande
C
dallo stato A allo stato B
e successivamente viene
A
ricompresso nello stato A,
V
compiendo globalmente un lavoro W(I) scambiando il calore Q(I) (ciclo I : ABA);
nel ciclo II : ACA il gas compie il lavoro W(II)
W( II )
W( I )
e scambia il calore Q(II) ; si verifica sempre:

 k
Q( II )
U.Gasparini, Fisica I
Q( I )
2
Relazione tra calore e lavoro scambiati in un ciclo
Se si assume la convenzione di misurare il calore con la stessa unità di misura del
lavoro (Joule), ponendo:
1Cal  4186,8 J
W
1
Q
la relazione tra calore e lavoro scambiati in un ciclo diventa:
Allora:
p
(I)
B
(I )
( II )
(I )
( II )
W  WAB
 WBA
 Q  QAB
 QBA
( II )
( II )
(I )
(I )
 QBA
 WBA
 QAB
 WAB
Qualsiasi sia la trasformazione (I), si puo’
sempre considerare un ciclo in cui la
trasformazione (II) sia reversibile :
( II )
Q AB
( II )
WAB
U.Gasparini, Fisica I


( II )
 QBA
( II )
WBA
(II)
A
V
p
(I)
B
(II)
A
( II )
( II )
(I )
(I )
QAB
 WAB
 QAB
 WAB
V
3
Primo principio della Termodinamica
Per una qualsiasi trasformazione termodinamica nella quale vengano
scambiati il lavoro W ed il calore Q, la quantità Q - W non dipende dal tipo
di trasformazione compiuta, ma unicamente dagli stati termodinamici iniziale
e finale del sistema :
è possibile allora definire una funzione di stato “energia interna”,
tale che la sua variazione tra due stati qualsiasi A e B sia :
DU AB  U ( B)  U ( A)  QAB  WAB “Primo principio
della Termodinamica”
Se una trasformazione è reversibile, tale relazione può essere espressa in forma
infinitesima ( considerando stati termodinamici infinitamente vicini tra loro, tra i
quali si passa con scambi di quantità infinitesime di lavoro dW e calore dQ ):
dU  dQ  dW
differenziale
della funzione di stato U
U.Gasparini, Fisica I
quantità infinitesime di calore e lavoro
scambiati (non sono differenziali di funzioni)
4
Energia interna del gas ideale
L’ esperienza di Joule sull’ “espansione libera” di un gas ideale (e successivamente
gli esperimenti di Rossini e Fradsen (1932) effettuati con sensibilità adeguata per
misurare la variazione
U  0
p
in gas reali) mise in evidenza che l’energia interna di un gas ideale è funzione
unicamente della temperatura del gas: U = U(T)
La variazione di energia interna tra due
stati qualsiasi (p0,V0) e (p,V) è:
p
( p0 ,V0 )
isoterma
A
DU AB  U ( B)  U ( A) 
 U ( B)  U (C)  U (C)  U ( A) 
 0.
C
isocora
( p,V )
B
 DU CB  QCB  WCB  QCB  ncV (TB  TC )  ncV (TB  TA )
 0.
DU12  ncV (T2  T1 )  ncV DT
U.Gasparini, Fisica I
In forma inifinitesima:
dU  ncV dT
5
V
Relazione di Mayer
Come conseguenza del 1o Principio e del fatto che, per un gas ideale, DU = n cVDT ,
si ricava la “relazione di Mayer” tra i calori specifici molari a pressione e volume
costante di un gas ideale:
c P  cV  R
Infatti, dal 1o Principio applicato ad una trasformazione isobara:
Q  DU  W  ncV DT  pDV
 nc p DT
(definizione di calore
specifico molare a pressione
costante)
 nRDT
(dall’equazione di stato: pV  nRT
differenziando per una isobara (p costante):
D( pV )  pDV  nRDT )
nc p DT  ncV DT  nRDT
e quindi:
U.Gasparini, Fisica I
c p  cV  R
6
Energia cinetica media delle molecole
Dal modello cinetico del comportamento (a livello microscopico, ossia molecolare)
del gas ideale, si ricava che per una gas in equilibrio termodinamico alla temperatura T,
l’energia cinetica media di ogni singola molecola è:
per un gas monoatomico:
per un gas biatomico:
 E k 
 E k 
3
kT
2
5
kT
2
Tali relazioni sono casi particolari del “principio di equipartizione dell’energia”
(dimostrabile nell’ambito della “Meccanica Statistica” sotto condizioni molto generali):
ad ogni termine quadratico dell’espressione dell’energia di una singola molecola di
un sistema termodinamico corrisponde, all’equilibrio termodinamico del sistema alla
temperatura T, un contributo al valor medio dell’energia delle molecole pari a
1
kT
2
con k =R / NA=1,38 1023 J/K “costante di Boltzmann”
Per un gas monoatomico (di molecole non interagenti) , l’energia è espressa da 3 termini
quadratici (corrispondenti ai 3 gradi di libertà traslazionali della molecola):
E  Ek 
1
1
1
mv x2  mv 2

mv z2
y
2
2
2
Per un gas biatomico, si hanno 5 termini quadratici (3 associati ai gradi libertà traslazionali
e 2 a quelli rotazionali della molecola)
U.Gasparini, Fisica I
7
Modello cinetico del gas ideale ed energia interna
Dal modello cinetico di un gas ideale, l’energia interna è espressa come la somma
delle energie cinetiche delle N molecole che costituiscono il gas (essendo nulle le
Forze di interazione intermolecolari e quindi non essendovi alcuna energia potenziale
di interazione):
per un gas monoatomico:
energia cinetica media delle singole molecole
U  N  E k  N
3
3 R
3
kT  nN A
T 
nRT
2
2 NA
2
numero di molecole
del gas
dU 
D’altra parte, vale la relazione termodinamica:
Confrontando le due espressioni:
cV
In definitiva, per un gas ideale monoatomico:
cV 

3
R
2
3
R
2
c p  cV  R 
5
R
2
3
nRdT
2
dU  ncV dT
 
cp
cV

5
 1,67
3
Analogamente, per un gas biatomico:
cV 
U.Gasparini, Fisica I
5
R
2
c p  cV  R 
 
7
R
2
7
 1,4
5
8
Trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale
L’ equazione di una trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale
è anch’essa ricavabile dal 1o Principio:
trattandosi di una trasformazione reversibile, si può utilizzare l’espressione del
1o principio in forma differenziale:
dU  dW  dQ  0
ncV dT  pdV  0

 
posto:

cp
cV
nRT
V
dT
RdV
dV
 
 (c p  cV )
T
V
V
cV
Ti
ln
Tf
dT
dV
 (  1)
T
V
 1
 1
TV

T
V
i i
f
f
 (  1) ln
Vf
Vi
Vf 

 ln
 Vi 
 1
T V-1 = costante
Utilizzando l’eq.di stato del gas ideale (T = pV/nR) :
p V  = costante
o anche ( V= nRT/p) : p1- T  =costante
U.Gasparini, Fisica I
Tp
(1-) / 
= costante
p
isoterma
pV 
adiab.rev.
pV   costante
cost.
9
V
Lavoro in una trasformazione adiabatica reversibile
Per una trasf.adiab.rev. di un gas ideale :
Vf
W 

Vf
p(V )dV 
Vi
piVi

V
Vi
p

Vf
 piVi

V

dV   piVi
Vi
piVi

1 
V
1
f
 Vi1
i
dV 

V  1
 1
)  1 1  p
adiab.rev.
pV 

f
Vf
Vi
Vi

f
costante
1
Vf Vf
Vf
 piVi  Vi1
V
)
piVi   p f V f
1
1 
W( ad .rev . g .id .) 
Alternativamente, dal 1o Principio:
W  Q  DU   ncV (T f
0.=
W 
cV
R
U.Gasparini, Fisica I
pV
i
i
 pf Vf
essendo:
p
f
V f  piVi
)
pf Vf 
 piVi
 Ti )  ncV 


nR 
 nR
)   1 1  p V
i
i
 pf Vf
)
cV
cV
1
1



R
c p  cV
c p / cV  1
 1
10
Gradiente di temperatura dell’atmosfera
Esempio: espansione adiabatica di una colonna d’aria ascendente (  si trascurano
gli scambi termici con l’atmosfera circostante, data la bassa conducibiltà termica
dell’aria)
T p (1-) /  = costante
1 
k 
d Tp k  p k dT  Tkp k 1dp  0 con

)

dp

dT

p
 1 T
dT
dp
 k
T
p
D’altra parte, dalle legge di Stevino:
( infatti:
pV  nRT 
peso molare dell’aria
dp( z)
M
   ( z) g  
p( z) g
dz
RT
massa d’aria nel volume V
m
V
M
RT 
M
RT
p

M
In definitiva:
Confrontando le due espressioni:
dT ( z )
(  1) Mg
 
dz

R
U.Gasparini, Fisica I
RT
 
Mp
RT
=
)
dp( z )
M
 
gdz
p
RT

dT ( z )
M
 
gdz
 1
T
RT
Per l’ aria (miscela di gas biatomici):
  c p / cV  7 / 5  1,4
M  28,9  103 Kg
dT ( z)
 9,7  10  3 K / m  9,7 K / Km
dz
11