Trasformazioni geometriche nel
piano
• La trasformazione nel piano è una
corrispondenza biunivoca dell’insieme dei
punti del piano con se stesso. Indicando
con “t” una generica trasformazione nel
piano α, mediante una particolare
relazione un generico punto P ϵ α si
trasforma in un altro punto P' ϵ α.
• t: P
P'
• Considerato un piano di riferimento cartesiano
xoy, la trasformazione t trasformerà un
generico punto P(x;y) in un punto P' (x';y')
poiché t è biunivoca, esisterà una trasformazione
tˉ¹ inversa che trasformerà P' in P.
• In particolare se F è una figura geometrica,
applicando una stessa trasformazione t ad ogni
punto si ottiene una nuova figura geometrica F'
costituita dai trasformati dei punti di F
Se consideriamo una curva γ di equazione
F(xy)=0 e se applichiamo a ciascun punto di γ una
stessa trasformazione, la curva γ si trasforma
in una curva γ'di equazione G(x' y')=0.
Per costruire la trasformata G(x' y')=0 della
F(xy)=0 è necessario scrivere le equazioni
“equazioni della trasformazione” cioè quelle
equazioni che indicano la legge con cui
determinare le coordinate x' e y' del
trasformato di un punto P(xy)
Alcune trasformazioni sono pertanto descritte
da un sistema di equazioni che legano le
coordinate dei punti del piano a quelle dei loro
trasformati.
t traslazione di vettore
v(1;-2)
x'=x+1
x=x'-1
y'=y-2
y=y'+2
γ : y=x²-2x
y'+2= (x'-1)²-2(x'-1)
y'+2=x'²+1-2x'-2x' +2
γ': y'=x²-4x' +1
ISOMETRICHE ( conservano le distanze
per cui un segmento si trasforma in un
segmento congruente a quello dato e
conserva gli angoli)
• Trasformazioni
NON ISOMETRICHE (non conservano le
distanze).
Traslazioni di vettore V (a,b)
ISOMETRIE
Simmetrie centrali di centro P(x0y0)
ISOMETRIE
asse x
{
asse y
{
x' = x
y' = -y
x' = -x
y' = y
Simmetria assiale con asse la retta
asse y =x
{
asse y =-x
{
x' = y
y' = x
x' = -y
y' = -x
DILATAZIONI con centro
e rapporto h e k
{
P(x0 y0)
x' = h(x-x0)+x0
y' = k(y-y0)+y0
TRASFORMAZIONI NON
ISOMETRICHE
OMOTETIA con centro
e rapporto k
{
x' = K(x-x0)+x0
y' = k(y-y0)+y0
P(x0 y0)
Nella dilatazione una figura può allungarsi o comprimersi solo un
una direzione o in direzioni diverse.
Nella omotetia una figura si allunga o si contrae nello
stesso rapporto in tutte le direzioni
Le trasformazioni dei punti P(xy) del piano nei
punti P'(x' y'), dello stesso piano sono
descritte da un sistema di equazioni che
legano le coordinate dei punti del piano x e y,
a quelle dei loro trasformati x', y'.
Si chiamano AFFINITA’
quelle
corrispondenze biunivoche fra punti del piano
che mantengono l’allineamento dei punti e il
parallelismo
Ad esempio l’ombra proiettata dai raggi del sole è una
trasformazione affine
Le ombre proiettate da una lampada non è un affinità
perché pur mantenendosi l’allineamento, non si mantiene
il parallelismo.
Le trasformazioni affini sono descritte dal sistema
P(xy)
P'(x'y')
T0
{
x'=ax+by+c
y=dx'+ex'+f
Al variare del valore dei coefficenti a,b,c,d,e,f si ottengono le
diverse trasformazioni
x'=-x
Es: a=-1 b=c=0 d=f=0 e=-1
T
y'=-y
{
Simmetria rispetto O (isometria
perché mantiene le distanze)
Es: a=e=1
b=d=0
T
{
x'=x+c
y'=y+f
Traslazione di vettore
V(c,f) (isometria perché
mantiene le distanze)
a=d=k
b=c=0
e=f=0
{
T
x'=kx
y'=y+f
Omotetia di rapporto K
a=h
d=k
b=c=e=f=0
T
{
x'=hx
y'=kx
Dilatazione (non è una isometria)
Data l’ellisse x²/9 + y²/4=1 con
centro O(0;0)
Applicando una dilatazione
{
x'=x/3
y'=y/2
Si ottiene la circonferenza di
centro O(0,0) e rapporto=1