Teoria della relatività-5
10 novembre 2014
Trasformazionie dell’energia e della QM
Trasformazione della densita` di corrente e di carica
Invarianza delle eqq. di Maxwell
Trasformazioni dei campi E e B tra sistemi inerziali
Tensore del campo elettromagnetico
Trasformazioni di p e E
• Si può dimostrare che le tre componenti della
QM e l’energia si trasformano come le tre
coordinate e il tempo
v 


 px '    px  c 2 E 



 py '  py
 p ' p
z
 z
 E '   E  vpx 
2
Trasformazioni di p e E
• Introducendo la variabile p0=E/c, e dette p1=px, p2=py,
p3=pz, abbiamo la forma più simmetrica
 p0 '    p0  p1 
 p '    p  p 
 1
0
1

 p2 '  p2
 p3 '  p3
• Nello spazio-tempo la quaterna (p0, p1, p2, p3) è un
4-vettore e le TdL ne trasformano le componenti tra loro,
in particolare ‘mescolano’ QM ed energia
3
Trasformazioni di j e 
• Si può dimostrare che anche le tre componenti del
vettore densità di corrente j e la densità di carica 
formano un 4-vettore dello spazio-tempo
• Le eqq. di trasformazione sono quindi
j '   j  v 
x
 x
j y '  j y

j z '  j z


v 

'     2 j x 

 c 

4
Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Dal principio di relatività possiamo concludere
che le eqq. di Maxwell devono avere la
stessa forma in ogni sistema di riferimento
inerziale, devono cioè essere invarianti
• Vediamo come da questa affermazione
possiamo ricavare le leggi di trasformazione
dei campi E e B tra due sistemi inerziali
5
Invarianza delle eqq. di Maxwell
• Per invarianza intendiamo che se nel sistema S sono
presenti i campi E e B e le eqq. sono
B
 E  
t
 E    0
 B  0 J  0 0
E
t
 B  0
• allora
nel sistema S’ sono presenti i campi E’ e B’, e


le eqq. devono essere


B'
E '
'  E '  
' B'  0 J '0 0
t'
t'
' E ' '  0
' B' 0


6
Trasformazioni di E e B
• Per semplicità consideriamo le eq. in cui non
compaiono  e J, e usiamo le componenti cartesiane

E z E y
B

 x
y
z
t
By
E x E z


z
x
t
E y E x
Bz


x
y
t
Bx By Bz


0
x y z
• Nella trasformazione di coordinate, dobbiamo

scoprire come esprimere gli operatori differenziali e la
 derivata rispetto al tempo
7
Trasformazioni di E e B
• Vediamo come si trasforma la derivata rispetto a x
 x'  y'  z'  t' 




x x x' x y' x z' x t'
• Dalle trasformazioni di Lorentz
x'
y' z'
t'
v


0
  2
 x x
x
c
 x
 

v  
• Ne segue
    2 
x' c t' 
x


• Allo stesso
modo si trova
 

 




    v 


t'
t
x' 
z z'
y y'
8
Trasformazioni di E e B
• L’eq. di Faraday diviene
Bx
E z E y
Bx 

  
v

 t'
y' z'
x' 
By
E z v E z 
By 
E x
  
 2
v
  

z'
x' c t' 
x' 
 t'


E y v E y  E x
Bz
Bz 
 
 2
   
v



x'
c

t'
y'


t'

x'



• E l’eq. di Gauss per B
Bx v Bx  By Bz
 
 2

0


x' c t'  y' z'
9
Trasformazioni di E e B
• Raggruppiamo i termini nella componente y dell’eq.
di Faraday
E x 
  
v

  E z  vBy       B y  2 E z  
z ' x'
t '  
c

• E imponiamo la condizione di invarianza alla
componente y’ del sistema S’
B'y
E' x E'z


z'
x'
t'
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
E'x 
E x

E'z   E z  vBy



v
B' y   By  2 E z 


c
10
Trasformazioni di E e B
• Possiamo ripetere il calcolo per la componente z
E y v E y  E x
Bz
Bz 
 
 2
   
v


 t'
x' 
x' c t'  y'
• E imporre la condizione di invarianza alla
componente z’ del sistema S’

E'y
B'z
E'x


x'
y'
t'
• Dal confronto delle due eqq. ne segue
E'x  E
x

E'y   E y  vBz



v
B' z   Bz  2 E y 


c
11
Trasformazioni di E e B
• Infine dalla componente z della legge di Faraday
e dalla legge di Gauss
Bx
E z E y
Bx 

  
v

 t'
y' z'
x' 
Bx v Bx  By Bz
 
 2

0

x' c t'  y' z'
• troviamo la legge di trasformazione di Bx


B'x  Bx

12
Trasformazioni di E e B
• Riassumendo
Ex '  Ex

 E y '   E y  vBz 
 E '   E  vB 
z
y
 z

B '  B
x
 x
v 


By '    By  2 E z 
c




v


 Bz '    Bz  2 E y 
c



• Cioè le componenti del campo E in S dipendono
sia dalle componenti di E’ che di B’ in S’
• Idem per le componenti del campo B
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Trasformazioni di E e B
• In forma vettoriale
 E// '  E//
  

 E '   E  v  B


 B// '  B//

 

v



 B '    B  c 2  E 



• ove // e  si
riferiscono
al
vettore velocità






• Nota: v  B  v  B//  B  v  B
• Questa forma può essere applicata anche ad altri
sistemi di riferimento (p.e. cilindrico)


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Relazioni tra E e B
• L’esempio classico della relazione tra un campo E e un
campo B in due sistemi di riferimento è quello di una
particella carica a distanza r da un filo percorso da
corrente
• Mettiamoci nel sistema S in cui il filo e` fermo, c’è una
corrente i dovuta a elettroni e una particella (q>0) in moto
con velocità v rispetto al filo
v
S
i-
Fm
B
• In S c’è campo magnetico e una forza magnetica radiale
 i ˆ
0 i
ˆ
B  0  
F

qv
Fm  qv  B  qvBr
m
2 r
2 r
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Relazioni tra E e B
• Il filo è elettricamente neutro, quindi la densità degli
elettroni (in moto) e quella degli ioni positivi (fermi) è
uguale e contraria
      0
• Mettiamoci ora nel sistema S’ in moto parallelamente
al filo con velocità v, di modo che la particella risulti
(anche se per un solo istante) ferma
• In S’ nonc’è forza magnetica (la particella è
istantaneamente ferma)
S’
i’
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Relazioni tra E e B
• Vediamo qual è la densità di carica nel filo
• Dalle eqq. di trasformazione di j e , moltiplicando
per la sezione a del filo, otteniamo
 j x ' a    j x a  va 
 j 'a  j a  0
y
 y
 jz ' a  jz a  0

  ' a    a  v j x a 

c2


i'   i  v



v 
'     2 i
 c 


17


Relazioni tra E e B
• Per la carica positiva e negativa avremo
rispettivamente le densità


v 
v 
'     2 i  
'     2 i 


c 
c 
• e in totale una densità negativa per il filo

v 
v
v
'  ' '       2 i         2 i   2 i

c 
c
c
• In S’ esiste quindi un campo elettrico e una forza
elettrica radiale diretta verso il filo
1 '
S’
F’e
F 'e  q
2 0 r
rˆ
i’
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Relazioni tra E e B
• Sostituiamo il valore della densità di carica
1 '
1  v i  
1
i 
F'e  q
q
 0 0v 
 2   q
2 0 r
2 0  c r   2 0
r 

0 i 
  qv
  qvB  Fm

2 r 
• Cioè mentre in S c’è un campo magnetico, ma non un
campo elettrico e quindi c’è solo una forza magnetica Fm,
in S’, c’è un campo magnetico, ma non una forza

magnetica, c’è inoltre un campo elettrico e quindi una
forza elettrica F’e
• Queste due forze: Fm (in S) e F’e (in S’) si corripondono
mediante le eqq. di trasformazione delle forze (che non
abbiamo ricavato) e che nel nostro caso si riducono al
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fattore motiplicativo 
Tensore del campo e.m.
• In relatività l’intima relazione tra i campi E e B viene
resa palese
• Si può infatti pensare alle tre componenti del campo
E e alle tre di B come le sei componenti di un unico
ente più complesso, il quadri-tensore (antisimmetrico)
del campo elettromagnetico
F 
0
Ex

Ey
 Ex
0
cBz
 Ey
 cBz
0
 Ez
cBy
 cBx
Ez
 cBy
cBx
0
20