Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto del piano un altro
punto del piano stesso.
Ogni punto che si ottiene mediante una trasformazione geometrica viene detto l'immagine del punto di
partenza.
Quando ad un punto corrisponde se stesso il punto viene detto punto unito.
Le proprietà delle figure che non cambiano nelle trasformazioni si chiamano invarianti della trasformazione.
Esistono trasformazioni nel mondo bidimensionale, ma anche trasformazioni nel mondo
tridimensionale.
Simmetria
Dilatazione
Le classificazioni rappresentate nello schema sono via via più restrittive. Vengono identificate in base a
numero e tipo di proprietà mantenute dalle figure dopo una trasformazione.
La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di proiezione".
Un esempio noto di proiettività è l’ombra di un oggetto
sottoposto a una lampadina, fonte di luce
relativamente vicina a noi.
La proiettività avviene mediante delle proiezioni a partire da un punto detto "centro di proiezione".
Un esempio noto di proiettività è l’ombra di un oggetto
sottoposto a una lampadina, fonte di luce
relativamente vicina a noi.
Notiamo che l’ombra del tavolo provocata dalla
lampadina è deformata rispetto alla figura di partenza:
mantiene solo l’allineamento dei punti delle rette e la
convessità (o la concavità) della figura
Le trasformazioni affini sono particolari proiettività che mantengono anche il parallelismo tra rette.
Se consideriamo ancora l’esempio comune dell’ombra, un’affinità è una trasformazione
che può derivare da una fonte di luce molto lontana, tendente all’infinito, come il sole, i
cui raggi sembrano essere paralleli tra loro.
L’omotetia è una particolare affinità che conserva la forma delle figure e, in particolare, la congruenza fra gli angoli; inoltre
fra i segmenti esiste un rapporto costante, detto rapporto di similitudine.
Detto k il rapporto di similitudine:
• se k > 0 l'omotetia si dice diretta.
• se k < 0 l'omotetia si dice inversa.
• se k =1 si ha l'identità;
• se k = −1 si ha la simmetria rispetto all'origine.
B’
Il triangolo rosso è stato trasformato con
l’omotetia in quello blu, un triangolo simile.
Si può applicare lo stesso procedimento anche
a figure più complesse.
B
C’
C
A
A’
Le isometrie sono trasformazioni che conservano le distanze tra i punti, perciò le figure trasformate risultano
congruenti a quelle di partenza.
Sono isometrie le traslazioni, le
rotazioni e le simmetrie.
L' identità è la trasformazione di ogni punto del piano associato a se stesso. In un' identità tutti i punti sono uniti.