Analisi del merletto a trina di
Koch
a cura di F. Crobu - A. Betti - R. Torchio
Liceo Scientifico “R. Donatelli” - Terni
Costruzione
• Si parte da un segmento
di lunghezza l
• Si divide il segmento in
tre parti uguali
• Si sostituisce la parte
centrale con i due lati di
un triangolo equilatero
• Si itera il procedimento
per ogni nuovo segmento
Calcolo del perimetro
p0  l
4
4
p1  p0  l
3
3
2
4
4
p2  p1    p0
3
3
•
•
•
n
4
4
pn  pn 1    p0
3
3
Calcolo dell’area
3 2
3 2
A1 
l  S1 
l
36
36
1
4
A2  A1  S 2  A1  4 A2  A1  A1
9
9
2
1
4
4

A3  A2  S3  A1  4 A2  16 A3  A1  A1    A1
9
9
9
4
n
1  
k 1
n
1
1
4
9



An  An 1    A1  S n   A1    A1
4
9
9
9
k 1
1
9
n
Considerazioni
n
4
lim pn  lim   l  
n 
n  3
 
n
4
1  
3 2 9
31 2
3 2
lim S n  lim
l

l 
l
n 
n  36
4
5
36
20
1
9
9
Costruzione attraverso
trasformazioni geometriche
• Omotetia di centro O e rapporto 1/3
• Omotetia di centro O e rapporto 1/3 +
curva puòdiessere
+La
Traslazione
vettoreottenuta
v (2l/3,0)applicando l’iterazione delle
seguenti trasformazioni geometriche al segmento iniziale:
• Omotetia di centro O e rapporto 1/3 +
+ Rotazione di centro O e  = 60° +
+ Traslazione di vettore v (l/3,0)
• Omotetia di centro O e rapporto 1/3 +
+ Rotazione di centro O e  = 120° +
+ Traslazione di vettore v (2l/3,0)
Analisi della gerla di Sierpinski
Costruzione
• Si parte da un triangolo equilatero
• Si sottrae al triangolo iniziale il
triangolo avente come vertici i
punti medi di ogni lato
• Si itera il procedimento per
ogni nuovo triangolo
ottenuto
Calcolo dell’area
3
l
l
3 2
2
A0 

l
2
4
2
3
3
A2  A1    A0
4
4
3
3 3 2
A1  A0 
l
4
4 4
n
3
3
An  An 1    A0
4
4
n
3 3 2
lim An  lim  
l 0
n 
n  4
  4
Costruzione attraverso
trasformazioni geometriche
La figura può essere ottenuta applicando l’iterazione delle
• Omotetia di centro O e rapporto 1/2
seguenti trasformazioni geometriche al triangolo iniziale :
• Omotetia di centro O e rapporto 1/2 +
+ Traslazione di vettore v (l/4, 3 l/4)
•Omotetia di centro O e rapporto 1/2 +
+ Traslazione di vettore v (l/2,0)