Annamaria Viceconte
Trasformazioni geometriche
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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE1
Introduzione
I concetti relativi alla cosiddetta geometria delle trasformazioni sono argomenti ancora poco affrontati
nella realtà della scuola italiana, anche se ad essi si fa esplicito riferimento in tutti quei programmi che
sono stati fino ad oggi riformati, ad ogni livello di scolarità. Attività sulle trasformazioni geometriche
sono infatti previste negli attuali programmi di tutti gli ordini di scuola, ma sono spesso trascurate o
addirittura assenti nella pratica quotidiana. Forse per mancanza di esperienza, forse per mancanza di
tempo, sta di fatto che gli argomenti legati a questo tema non hanno ancora trovato il loro spazio.
Nei programmi del biennio, in particolare, il discorso sulle trasformazioni non è opzionale e soprattutto
esse vanno integrate nella trattazione della geometria e non pensate come appendice. Integrare vuol dire
individuare obiettivi comuni a più soggetti e usare le potenzialità degli uni e degli altri nel perseguirli.
Un concetto portante nei programmi del biennio è quello di funzione o più in generale di
corrispondenza. Le trasformazioni costituiscono uno strumento utilissimo per mettere a fuoco tale
concetto integrandone la visione analitica. Non sempre però la trattazione che si trova nei libri di testo
favorisce tale processo, poiché accade spesso che lo studio delle trasformazioni venga visto
semplicemente come lo studio delle trasformate delle figure. In tal modo, sempre a discapito
dell’acquisizione del concetto di trasformazioni come corrispondenza, non si sottolinea la loro
specificità di studiare il piano non localmente ma nella sua globalità. Infatti, mentre nella vita quotidiana
se un oggetto viene trasformato in un altro il resto del mondo può non essere soggetto alla stessa
trasformazione, quando si considera una trasformazione del piano come corrispondenza si intende che
essa agisce su ogni punto del piano nella stessa maniera con cui agisce su ciascun punto di una sua
figura.
Le riflessioni precedenti suggeriscono delle domande:
• perché proprio le trasformazioni così “neglette”?
• é vero che “le trasformazioni sono un argomento difficile e astratto,proponibile solo a studenti
molto dotati”?
• é possibile studiare le trasformazioni a partire dalla realtà?
• é possibile studiare le trasformazioni con l'aiuto di materiale didattico?
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A cura di Annamaria Viceconte docente a tempo indeterminato di Matematica e Fisica presso il Liceo Classico
“Marco Terenzio Varrone” di Rieti – Dottoranda in Astrofisica Computazionale presso l’Università di Teramo;
Maria Teresa Perotti docente a tempo indeterminato di Matematica e Fisica presso il Liceo Classico “Marco Terenzio
Varrone” di Rieti.
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TRASFORMAZIONI DEL PIANO E DELLO SPAZIO A LIVELLO
INTUITIVO
L’osservazione della realtà nell’organizzare lo studio delle trasformazioni nel
biennio.
Un importante criterio metodologico al quale far costantemente riferimento per la progettazione di
attività di geometria in generale e riguardo la geometria delle trasformazioni in particolare, consiste nel
cogliere inizialmente le sollecitazioni e gli esempi che provengono dalla osservazione della realtà
fisica. Sarebbe infatti oltremodo riduttivo limitare l’apprendimento in questo settore della matematica
alla semplice memorizzazione della nomenclatura tradizionale e delle formule …E’ invece opportuno
che la costruzione di un quadro organico dei concetti geometrici scaturisca da un atteggiamento di
ricerca e di osservazione della realtà per individuare le caratteristiche geometriche degli oggetti e i
cambiamenti che questi possono subire nello spazio e nel tempo.
Opportuni sono anche la realizzazione di attività legate alla manualità (la piegatura della carta o la
costruzione di modelli concreti di oggetti…) utilizzando anche materiale cosiddetto “povero” e l’uso di
materiale strutturato (la tela elastica…) che offre la possibilità di realizzare trasformazioni in modo
continuo (come è suggerito dallo schema seguente).
Tela elastica
+
Foglio trasparente
Equazioni di
dilatazioni lungo
gli assi cartesiani
Cartoncino bianco
+
Foglio trasparente
Equazioni di
simmetrie rispetto
agli assi cartesiani
Software didattico
L'approccio attraverso il materiale
• stimola l'attenzione
• stimola la creatività
• stimola la collaborazione e il lavoro di gruppo
• favorisce la memorizzazione di proprietà e di risultati
• favorisce un autonomo processo di astrazione.
Attività 1.
Dilatazioni lungo gli assi cartesiani: osservazione di figure
Equazioni di
traslazioni lungo
gli assi cartesiani
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Materiale per osservare che cosa varia e che cosa non varia
• Tela elastica con disegnato un rettangolo
• Tela elastica con disegnato un cerchio
Osservazioni
Dilatare la tela e osservare le nuove figure ottenute:
1. Sul rettangolo
- la figura ha ancora gli angoli retti?
- la figura ha mantenuto i lati della stessa lunghezza?
- la figura ha ancora i lati paralleli?
- la figura ha ancora i lati rettilinei?
- se disegnassi il rettangolo con i lati paralleli al “bordo della tela”,
che figura otterrei? Disegnare la figura prevista.
2. Sul cerchio
- la figura è ancora un cerchio?
- la figura ha mantenuto tutti i raggi della stessa lunghezza?
- i diametri rimangono rettilinei?
Attività 2.
Equazioni di dilatazioni lungo gli assi cartesiani
Materiale
Tela elastica: piano variabile Oxy, sul quale sono fissati dei punti (A e
B)
Foglio trasparente: piano fisso O'x'y', che “conserva la memoria della
situazione iniziale”
Osservazioni
Sovrapporre il piano trasparente alla tela elastica e, curando di mantenere la sovrapposizione degli assi
cartesiani, dilatare la tela nella direzione di uno degli assi cartesiani.
Dopo la dilatazione, leggere le coordinate di un punto:
a. sul piano cartesiano fisso (O'x'y')
b. sul piano cartesiano dilatato (Oxy)
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Attività 3.
Isometrie (traslazioni)
Materiale
Cartoncino: sul quale è disegnato il riferimento O’x’y’
Foglio trasparente: sul quale è disegnato il riferimento Oxy e sono
indicati dei punti (A, B)
Fogli trasparenti: sui quali sono disegnate figure geometriche con assi
di simmetria.
Cartoncino bianco, fogli trasparenti, pennarelli.
Attività 4.
Isometrie (simmetrie assiali)
Materiale
Cartoncino bianco, pennarelli, forbici
Osservazioni
Piegare il cartoncino in due parti uguali e disegnare il contorno di una figura; ritagliare il contorno
disegnato e aprire il cartoncino.
Si farà osservare che, rispetto alla piegatura del foglio le due metà differiscono soltanto per
l’orientamento dei punti: per percorrere il contorno della mezza figura a sinistra dall’alto in basso si
segue il verso antiorario, per percorrere invece il contorno della metà rimanente,sempre dall’alto in
basso, si segue il verso orario.
Le due mezze figure sono simmetriche rispetto alla linea corrispondente alla piegatura del foglio e tale
linea costituisce l’asse di simmetria.
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Esempi di trasformazioni di figure piane o solide nella vita quotidiana
Nella vita quotidiana abbiamo molti esempi di trasformazioni piane e solide.
Esempi comunissimi sono costituiti dalle deformazioni che subiscono i corpi elastici: si pensi alla
deformazione che subisce una gomma per cancellare quando viene piegata o ad un taglio di stoffa
stretch che viene deformato senza che si verifichino lacerazioni o sovrapposizioni.
Il concetto di trasformazione geometrica è poi essenziale in tutti i processi di rappresentazione piana
di un oggetto tridimensionale.
Semplici esempi sono forniti al riguardo dal disegno “dal vero” o dalla fotografia che costituiscono
la rappresentazione in due dimensioni di un oggetto tridimensionale.
Altro esempio è dato dalle carte geografiche la cui realizzazione è legata al problema di
rappresentare su un piano una parte di superficie sferica. La parte di superficie terrestre che si
rappresenta viene trasformata poiché ogni suo punto dovrà essere proiettato sul foglio di carta.
Un altro esempio comune di trasformazione dovuta alla rappresentazione su una superficie di
oggetti tridimensionali è l’immagine riflessa in uno specchio: si ottengono trasformazioni diverse a
seconda che lo specchio sia piano, convesso con curvatura in orizzontale oppure convesso con
curvatura in verticale.
Altri comunissimi esempi di trasformazioni geometriche nella vita quotidiana sono gli
ingrandimenti fotografici e le ombre prodotte da sorgenti luminose puntiformi o estese come il sole.
Esempi analoghi sono costituiti dalla proiezione di diapositive con il proiettore disposto secondo
diverse inclinazioni rispetto alla parete su cui avviene la proiezione.
Esistono poi esempi di trasformazioni anche “più radicali” come quella che si realizza quando
rompiamo un vetro o strappiamo una fotografia in molti pezzi o ancora quando giochiamo al
Tangram.
Esempi curiosi, meno comuni ma interessanti dal punto di vista artistico, sono costituiti dalle
trasformazioni anamorfiche , dette anche anamorfosi. Si tratta di prospettive molto accentuate: le
trasformazioni di questo tipo modificano radicalmente una figura rendendola riconoscibile solo se
osservata da un preciso punto.
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La figura rappresenta un’incisione di M.C.Escher
(1898-1972). Essa fornisce un esempio di
riflessione sulla sfera; è interessante notare che le
linee rette degli spigoli della stanza dove si trova
l’artista sono diventate linee curve.
Un esempio di trasformazione geometrica in un affresco anamorfico del XVII sec. è dato da
S. Francesco di Paola (1642), di J.Francois Niceron, Convento della Trinità dei Monti, Roma.
Nella prima delle figure di cui sopra si può osservare la visione prospettica che si ha all’inizio del corridoio: appare
l’immagine del Santo che prega. L’immagine muta via via che si percorre il corridoio e, nella visione frontale, che si
osserva nella seconda foto, si trasforma in un paesaggio della costa calabra.
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Introduzione al concetto di invariante
La geometria ha per oggetto lo studio di elementi astratti che si formano nella nostra mente
partendo dall’osservazione degli oggetti reali, attraverso il confronto e la ricerca di legami ed
elementi che caratterizzano gli oggetti stessi.
Osservando, ad esempio, un foglio di carta, il piano del tavolo, una porta, lo schermo del
computer…, attraverso l’astrazione, si perviene al concetto di rettangolo quale figura geometrica.
In tale processo di astrazione le caratteristiche delle figure geometriche quali il colore, la bellezza,
la costituzione materiale…sono requisiti del tutto irrilevanti.
Dagli esempi riportati in precedenza emerge che una figura geometrica può essere sottoposta a
molte trasformazioni , per effetto delle quali alcune caratteristiche ovviamente variano mentre altre
rimangono le stesse. La nostra attenzione sarà rivolta agli elementi o alle proprietà che rimangono
immutate piuttosto che alle caratteristiche che invece cambiano.
Negli esempi reali sopra proposti è infatti possibile individuare alcune caratteristiche geometriche
della figura iniziale che rimangono invariate nella trasformazione, nonostante la figura sia mutata.
Nel caso della gomma per cancellare che viene piegata rimane invariato il numero dei sottoinsiemi
disgiunti in cui lo spazio resta diviso. Osservazione analoga può essere avanzata per il taglio di
stoffa stretch che viene teso; in tal caso è inoltre possibile osservare che, nonostante la figura
rettangolare della stoffa e gli eventuali disegni su essa vengano deformati, ogni punto interno al
disegno rimane interno ed ogni punto esterno rimane esterno.
Nel caso dell’ ombra di una figura piana, questa non risulta deformata quando il piano di
proiezione è parallelo a quello della figura d’origine oppure è perpendicolare ad esso ma la sorgente
non è puntiforme (ad esempio il sole). Inoltre, se la sorgente è estesa ed il piano di proiezione è
parallelo a quello della figura d’origine, accade che l’ombra conserva anche la stessa dimensione di
quella.
E’ facile intuire che maggiore è il numero delle trasformazioni che una figura subisce, minore è il
numero delle caratteristiche che rimangono invariate.
Si definisce invariante ogni caratteristica della figura che in una trasformazione non cambia.
Gli invarianti e le traformazioni
Una figura geometrica è un insieme di punti.
Una figura piana è un insieme di punti di un piano; una figura solida è un insieme di punti dello
spazio tridimensionale.
Gli invarianti di una trasformazione geometrica possono essere:
• numerosità dei punti
• “vicinanza”
• allineamento
• birapporto
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•
•
•
•
•
•
•
•
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parallelismo
direzione
rapporto di tre punti allineati
ampiezza degli angoli
orientamento del piano
area
lunghezza dei segmenti
posizione
Si definisce trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca tra i punti di un piano o
dello spazio.
Le trasformazioni geometriche si classificano in base ai loro invarianti in:
1. trasformazioni topologiche
2. trasformazioni proiettive
3. trasformazioni affini
4. trasformazioni simili
5. trasformazioni isometriche
Ciascuno dei suddetti insiemi di trasformazioni con l’operazione di composizione assume la
struttura di gruppo.
Secondo la linea illustrata dal matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) una geometria è
caratterizzata, non solo dagli oggetti che studia, ma anche, e soprattutto, dal gruppo delle
trasformazioni del piano in sé o dello spazio in sé che vengono considerate.
Il merito di Klein fu quello di presentare un’idea unificatrice che permetteva di dare una
classificazione e una visione unitaria delle “varie geometrie” che si erano originariamente
presentate come diverse ed indipendenti tra loro.
Si possono distinguere pertanto diverse geometrie proprio sulla base del gruppo di trasformazioni
preso in esame e degli invarianti corrispondenti.
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PROGRAMMAZIONE U. D.
ISOMETRIE
Prerequisiti
Prima di affrontare tale unità si effettuerà un test di verifica per appurare la situazione di partenza
della classe, ossia il grado di preparazione degli allievi, le loro capacità, i loro interessi e tutti gli
elementi che concorrono al processo di apprendimento. Se gli alunni sono psicologicamente maturi
per il tema da affrontare, allora dovrebbero essere motivati a rendersi partecipi alla "lezione". Se
l’argomento da trattare non fosse adeguato al livello di conoscenza e abilità della classe è opportuno
avviare un’attività di rinforzo in modo che il livello di partenza sia il più omogeneo possibile.
Per poter affrontare lo studio di tale unità è richiesta la conoscenza dei seguenti argomenti:
• relazioni e funzioni;
• proprietà delle principali figure geometriche piane;
• concetto di trasformazione geometrica e invariante;
• metodo delle coordinate cartesiane, distanza tra due punti nel piano e punto medio di un
segmento;
• vettori;
• equazioni e sistemi lineari.
Obiettivi didattici
Gli obiettivi didattici da perseguire si distinguono in:
1.
•
•
•
•
•
obiettivi cognitivi globali:
affinare le capacità logiche;
stabilire una stretta corrispondenza tra problemi geometrici e problemi algebrici;
acquisire capacità di astrazione;
comprendere lo spirito della geometria delle trasformazioni secondo l’impostazione di Klein;
usare ed elaborare linguaggi specifici.
2.
•
•
•
obiettivi cognitivi specifici:
acquisire il concetto di isometria, di invariante e di punto unito;
conoscere le equazioni che rappresentano le isometrie;
conoscere gli invarianti delle isometrie.
3.
•
•
•
•
•
•
obiettivi operativi:
determinare le equazioni delle isometrie;
scoprire le proprietà delle figure che si conservano nelle isometrie;
determinare i punti uniti delle isometrie;
individuare dall’esame delle caratteristiche delle equazioni il tipo di isometria rappresentata;
interpretare per via grafica i risultati che si possono ottenere combinando le varie isometrie
utilizzare software didattico specifico (Cabri – Geometre)
Contenuti
In tale unità didattica tratteremo:
• isometrie: definizione;
• classificazione delle isometrie;
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• traslazioni: equazioni e invarianti;
• rotazioni e invarianti;
• simmetrie assiali: equazioni delle simmetrie rispetto agli assi cartesiani, rispetto alle parallele
agli assi cartesiani e rispetto alle bisettrici del 1° e 3° quadrante e del 2° e 4° quadrante,
invarianti;
• simmetrie centrali: equazioni ed invarianti
Tempi
Per la trattazione di tale unità sono previste 16 ore.
Metodologia
Al fine di far nascere la necessità ed il piacere di affrontare lo studio delle isometrie, si ritiene
opportuno presentare i contenuti partendo da esempi in modo da favorire il confronto, la
discussione e la formulazione di possibili soluzioni da parte degli studenti.
Il percorso didattico che si intende seguire si compone essenzialmente di cinque fasi:
1. introduzione dell’argomento;
2. analisi dell’argomento mediante la proposta di attività manuali e da svolgere in laboratorio di
informatica;
3. studio ed eventuale soluzione dei problemi proposti o con tecniche preesistenti oppure, se
queste insufficienti, con l’introduzione di metodi o concetti nuovi;
4. generalizzazione e formalizzazione del risultato ottenuto;
5. esercitazione in aula e in laboratorio informatico.
Introdotto il concetto di isometria come corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che conserva
la distanza tra coppie di punti corrispondenti, individuati i suoi invarianti ed effettuata la
classificazione in traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali e centrali, successivamente si pone il
problema di rappresentare ogni isometria per via analitica, ossia riferendo i punti del piano ad un
sistema di assi cartesiani.
Nella fase destinata alla ricerca della soluzione del problema posto, dapprima si ricordano le
definizioni, i concetti e le proprietà che potrebbero essere utili e poi si passa alla formulazione di
ipotesi da verificare, correggere e inserire in uno schema finale che, oltre a contenere la soluzione
del problema in analisi, deve comprendere le conoscenze precedenti. In tale fase, sotto la guida
dell’insegnante, sono richiesti e stimolati gli interventi e le considerazioni degli studenti in modo
tale che possano, partecipando alla costruzione del concetto, comprendere i metodi di analisi delle
discipline scientifiche.
Nella quarta fase si organizzano in una struttura logica e chiara le definizioni, i concetti, le
proprietà, i processi risolutivi, la terminologia e le rappresentazioni grafiche.
Nell’ultima fase si presenteranno esempi ed esercizi di tipo applicativo al fine di consolidare i
concetti appresi e i procedimenti applicativi. Sarà destinato un adeguato spazio alla correzione degli
esercizi che gli allievi non sono riusciti a risolvere a casa. È questo un momento fondamentale
dell’attività perché permette di rendere significativo l’errore o la difficoltà come momento di
riflessione, di indagine e migliore acquisizione dell’argomento. L’attività di laboratorio permetterà
di consolidare e approfondire le isometrie stimolando la creatività degli studenti, facendo presente
che il laboratorio sarà utilizzato in tutte le fasi previste, come parte integrante dell’attività didattica,
dal processo intuitivo a quello della formalizzazione.
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Strumenti utilizzati
Libro di testo e manuale.
Schede studio.
Lavagna.
Lavagna luminosa.
Software didattico.
Verifica e valutazione
La fase di verifica e valutazione è parte integrante del processo educativo e permette di monitorare
sia il raggiungimento degli obiettivi prefissati, sia l’efficacia della strategia didattica attuata.
Le verifiche formative si possono effettuare durante lo svolgimento dell’attività didattica tramite la
correzione degli esercizi o una serie di domande concernenti l’argomento trattato rivolte agli allievi
al fine di richiamare e precisare i concetti, riassumere e puntualizzare le possibili applicazioni,
fornire momenti di confronto sulle capacità espressive raggiunte dagli allievi e sulla effettiva e
consapevole comprensione delle isometrie. Esse consentono di informare studenti e docenti sul
grado di preparazione raggiunto dalla classe e permettono di attuare eventuali modifiche del proprio
lavoro in itinere.
La verifica sommativa permetterà di valutare la conoscenza e la comprensione dei concetti specifici
e la capacità di applicazione e di collegamento logico degli argomenti. Tale prova potrà essere
effettuata sia attraverso esercizi di tipo tradizionale sia attraverso l’uso del laboratorio di
informatica, con software specifico.
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SIMMETRIA ORTOGONALE ASSIALE
Osservando da una posizione opportuna un oggetto posto di fronte ad uno specchio, i nostri occhi
rilevano la figura reale e la sua immagine riflessa. Parliamo allora di “immagine speculare” e
diciamo che questa è la simmetrica di quella reale.
Alcuni esempi di simmetria assiale sono rappresentati da oggetti della realtà quotidiana e possono
essere tratti dalla natura e dall’arte. Ne vediamo alcuni nelle figure seguenti:
Nella fig.1 ogni carta da gioco
presenta almeno un asse di simmetria.
Nella fig.2 il caduceo è simmetrico
rispetto ad una retta verticale.
Fig.1
Fig.2
Nella fig.3 i cani tratti liberamente da
un fregio dell’arte persiana sono
simmetrici.
Nella fig.4 la facciata di una casa di
stile vittoriano presenta un asse di
simmetria verticale.
Fig.3
Fig.4
Nella fig.5 i fregi del portale sono
simmetrici rispetto ad un asse
verticale
Nella fig.6 la piazza del
Campidoglio a Roma presenta
diversi assi di simmetria
Fig.5
Fig.6
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Fig.7
Molte foglie e fiori in natura presentano un asse di simmetria: in fig. una foglia di malva, il trifoglio, la felce e la
delicata viola del pensiero.
Fig.8
Il viso umano, anche se non perfettamente, può essere considerato un esempio di simmetria assiale con asse
verticale, come si osserva nella fig.8.
L’attività n. 4 (di cui all’introduzione) può essere considerata un’applicazione manuale del concetto
di simmetria assiale a livello intuitivo, utilizzando figure del tipo di quelle riportate sopra.
Definizione:
In un piano data una retta r ed un punto P, si definisce simmetrico di P rispetto ad r il punto P’ tale
che la distanza di P’ da r sia uguale alla distanza di P da r; la retta r è detta asse di simmetria.
•P
H
•P’
r
Fig.9
La simmetria assiale è una collineazione ossia mantiene l’allineamento dei punti.
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Accanto all’attività di cui sopra, è possibile procedere alla costruzione con carta, squadra e matita,
del simmetrico di un punto rispetto ad una retta, nel modo seguente:
• tracciata la retta r, asse di simmetria, disegnato il punto P, si traccia da P la retta s
perpendicolare ad r e, detto H il punto di intersezione tra le due rette, il simmetrico di P , P’
è quel punto appartenente ad s, che ha da H la stessa distanza di P (fig.9).
Proposte di attività
Le attività che seguono vengono lasciate da svolgere autonomamente agli alunni con lo scopo di far
acquisire loro il concetto di simmetrica di una figura qualsiasi quale applicazione del procedimento
sopra descritto per un singolo punto. In particolare, si fa notare agli studenti che per costruire la
simmetrica di una figura si dovrebbe costruire il simmetrico di ogni suo punto, essendo ciò
materialmente impossibile, in virtù del fatto che la simmetria assiale è una collineazione, si procede
costruendo i simmetrici di punti significativi.
Attività n.1:
Costruzione del simmetrico di un segmento rispetto ad una retta.
Attività n.2:
Costruzione del simmetrico di un poligono rispetto ad una retta.
Attività n.3:
Costruzione della simmetrica di una figura mistilinea rispetto ad una retta.
Gli esercizi che seguono hanno lo scopo di far giungere gli allievi ad individuare autonomamente le
proprietà della simmetria assiale.
Esercizio n.1
B
•
E•
•D
•
A
Costruisci i simmetrici dei punti in figura
rispetto all’asse di simmetria r indicato.
- Quali sono i punti della figura che hanno
per simmetrici se stessi?…………………..
Perché?…………………………………….
- Quali altri punti oltre a quelli evidenziati
hanno per simmetrici se stessi?……………
- Se P’ è il simmetrico di P rispetto all’asse r,
il simmetrico di P’ rispetto allo stesso asse è
………
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C•
r
Fig.10
Una trasformazione geometrica è detta involutoria, se per ogni punto P del piano, detto P’ il suo
corrispondente, il corrispondente di P’ èP.
La simmetria assiale è una trasformazione involutoria.
In una trasformazione geometrica si dice unito ogni punto che ha per corrispondente se stesso.
In una simmetria assiale sono uniti tutti e soli i punti che appartengono all’asse di simmetria.
a
t
r
Fig.11
s
Costruisci le simmetriche delle rette r, s e t rispetto
all’asse r.Osserva la figura ottenuta e completa:
- la retta, simmetrica dell’asse di simmetria è
…………
- le rette che in una simmetria assiale si
“sovrappongono” a se stesse sono quelle…….
….. all’asse.
- la simmetrica di una retta parallela all’asse di
simmetria è …………… sia all’asse che alla
retta data.
- se due rette sono parallele le loro simmetriche
sono………………….
- la direzione della simmetrica della retta s è
…………… da quella di s.
La simmetria assiale
Attività di laboratorio di informatica
Scoprire proprietà e formulare congetture
Una caratteristica importante del Cabri Géometre II è la possibilità di definire relazioni tra oggetti e
di esplorare graficamente le implicazioni.
Poiché questo software consente di modificare molto velocemente le figure disegnate sullo
schermo, ma ne mantiene le relazioni definite (es. un punto su una retta oppure una retta
perpendicolare ad un’altra retta), esso è molto utile per effettuare esplorazioni sulle proprietà delle
figure, osservare relazioni, pervenire autonomamente alla definizione di alcuni concetti e di alcune
proprietà, formulare delle congetture e validare teoremi.
In particolare, la possibilità offerta da Cabri di modificare in modo continuo una figura fornisce
l’occasione di uno studio efficace ed immediato delle trasformazioni geometriche. Utilizzando
questo software lo studente ha infatti la possibilità di vedere “dal vivo” le proprietà delle
trasformazioni. Resta sorpreso nello scoprire il concetto di invariante e viene invogliato alla ricerca
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Trasformazioni geometriche
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dei motivi per cui alcuni elementi della figura risultano immutati rispetto ad una certa
trasformazione.
Cabri può essere utilizzato in parallelo con lo svolgimento della teoria. La trattazione dei diversi
argomenti può anzi iniziare proprio dall’utilizzo del software per fornire agli studenti solide basi
intuitive sugli argomenti trattati e per coinvolgerli in una proficua attività di osservazione e di
ricerca autonoma di proprietà e leggi prima che queste vengano formalizzate.
Ricordiamo che nel programma Cabri la barra degli strumenti contiene una collezione di pulsanti
che consentono la creazione di varie costruzioni geometriche.
In particolare, l’icona degli strumenti Trasforma contiene gli strumenti che consentono di eseguire
i principali tipi di trasformazioni geometriche. Cliccando su tale icona e tenendo premuto il mouse
compare l’elenco delle trasformazioni disponibili.
Il primo strumento associato all’icona Trasforma è Simmetria assiale; esso consente di costruire
l’immagine di un qualsiasi oggetto simmetrica rispetto ad una retta.
In ottemperanza del criterio metodologico di cui sopra, la trattazione della simmetria assiale può
iniziare proprio nel laboratorio di informatica con la somministrazione agli alunni di schede da
svolgere con l’utilizzo di Cabri e da completare sulla base delle osservazioni condotte.
Vediamo in concreto alcune di tali schede.
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Scheda 1
Obiettivo: pervenire alla definizione di simmetria assiale.
Procedura:
1.
2.
3.
4.
5.
aprire Cabri;
tracciare un punto A ed una retta r non contenente A;
fare clic sull’icona Trasforma e tenere premuto il pulsante sinistro del mouse;
scegliere lo strumento Simmetria assiale;
spostare il puntatore del mouse sul punto A e alla comparsa del messaggio “Simmetrico di
questo punto”ciccare con il tasto sinistro;
6. spostare il puntatore del mouse sulla retta r e alla comparsa del messaggio “rispetto a questa
retta”ciccare di nuovo;
7. compare il punto simmetrico di A rispetto ad r al quale dare il nome A’;
8. tracciare il segmento AA’.
Osservazione:
Quale relazione esiste tra AA’ ed r?
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
9. individuare sul segmento AA’ un punto e chiamarlo P;
10. tracciare l’asse del segmento AP (ricordiamo che per tracciare l’asse di un segmento occorre
selezionare lo strumento Asse dell’icona Costruisci, sostare poi il cursore del mouse
accanto al segmento e alla comparsa del messaggio “Asse di questo segmento” fare clic).
Osservazione:
Muovi P fino a farlo coincidere con A’. Cosa osservi?
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………
Sulla base delle osservazioni fatte completa la seguente definizione:
Una simmetria assiale di asse r è una trasformazione del piano che associa ad
un punto A un punto A’ in modo che r sia ……………………. del segmento
AA’.
Esci da Cabri .
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Scheda 2
Obiettivo: individuare le proprietà della simmetria assiale.
Procedura:
1. aprire Cabri;
2. tracciare un punto A ed una retta r non contenente A;
3. costruire il simmetrico i A rispetto ad r e chiamarlo A’;
4. spostare il punto A in diverse posizioni incluse quelle di appartenenza alla retta r;
Osservazione:
Come si comporta il punto A’? …………………………………………………
5. tracciare un punto B;
6. tracciare il simmetrico di B rispetto ad r e chiamarlo B’;
7. tracciare il segmento AB;
8. costruire i simmetrico di AB rispetto ad r;
9. misurare la lunghezza di AB e del suo simmetrico;
Osservazioni:
Cosa osservi riguardo gli estremi del simmetrico del segmento AB?
………………………………………………………………………………………
Che relazione intercorre tra la lunghezza di AB e del suo simmetrico ?
………………………………………………………………………………………
10. tracciare una retta p perpendicolare ad r;
11. costruire la sua simmetrica rispetto ad r;
12. tracciare un punto P sulla retta p;
13. costruire il simmetrico di P e chiamarlo P’;
Osservazioni:
Quale è la simmetrica di una retta perpendicolare all’asse di simmetria?
……………………………………………………………………………
Come si comportano i punti di tale retta nella simmetria?
…………………………………………………………………………….
14. tracciare una retta parallela s alla retta r;
15. costruire la simmetrica di tale retta rispetto ad r e chiamarla s’;
16. muovere la retta s fino a portarla in una direzione incidente la r;
17. misurare l’ampiezza dell’angolo tra le rette s ed r e di quello tra le rette s’ ed r;
Osservazioni:
18
Annamaria Viceconte
Trasformazioni geometriche
19
Quale è la direzione della simmetrica di una retta parallela all’asse?
…………………………………………………………………………….
Che relazione intercorre tra gli angoli formati con l’asse da una retta incidente ad esso e dalla
sua simmetrica?
……………………………………………………………………………………..
18. costruisci il simmetrico di B’ rispetto ad r;
Osservazione:
Quale è la posizione del simmetrico di B’?
…………………………………………………….
Sulla base delle osservazioni fatte completa le seguenti frasi:
I punti che appartengono all’asse di simmetria hanno per trasformati
…………………. ; una simmetria assiale ……. un’isometria. Una retta
perpendicolare all’asse di simmetria ha per trasformata ………….. ma i
suoi punti…………………………Una retta parallela all’asse di simmetria
ha per trasformata ………………………….. Se A’ è il trasformato di A, il
trasformato di A’ è ……….., la simmetria assiale è perciò una
trasformazione involutoria. Una retta incidente l’asse di simmetria ha per
trasformata una retta
………………………………e gli angoli che tali rette formano con l’asse di
simmetria sono tra loro……………………….
Esci da Cabri .
Annamaria Viceconte
Maria Teresa Perotti