CONSEGUENZE
FONDAMENTALI DELLA
CONTINUITÀ E DELLA
DIFFERENZIABILITÀ
DELLE FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI.
Argomenti della lezione
 Conseguenze della continuità
delle funzioni.
 Conseguenze della
differenziabiltà delle funzioni di
più variabili: continuità,
derivabilità, gradiente.
CONSEGUENZE
DELLA CONTINUITÀ
Un sottoinsieme A  Rn si dice
limitato se esiste un numero
reale r > 0, tale che
A  {x  Rn : |x|<r } = SOr.
Un sottoinsieme K  Rn
limitato e chiuso si dice anche
un insieme compatto.
Teorema
(di Weierstrass)
Ogni funzione continua f : K  Rn  R,
con K chiuso e limitato,
ha un valore massimo e uno minimo.
Un arco di curva continua è una
funzione f : I  Rn , f = (f1 , .., fn)T,
nella quale le singole componenti
f1(t) , .., fn(t) sono funzioni continue.
I = [a,b] è un intervallo della retta
reale, per esempio I = [0,1].
Un sottoinsieme A  Rn si dice
connesso (per archi) se comunque
si prendano due punti x,y  A esiste
un arco di curva continua a valori in
A che congiunge x con y.
f(0)= (f1(0),…, fn(0))T = x
y
x
f(1)= (f1(1),…, fn(1))T = y
Teorema
(degli zeri)
Sia A un insieme connesso in Rn e
f : A  Rn  R, una funzione continua.
Se x e y sono punti di A tali che
f(x) > 0 e f(y) < 0,
allora esiste z  A tale che f(z) = 0.
CONSEGUENZE
DELLA
DIFFERENZIABILITÀ
Teorema
Ogni funzione differenziabile
in un punto x0
è continua
nello stesso punto.
:A
Rn

f
R
si dice differenziabile in
x0 = (x01, x02 ,… x0n)T
se esiste un’ applicazione
lineare L :
Rn  R tale che
f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+e(x)|x-x0|
con e(x)  0 se x  x0.
Un’applicazione lineare
L : Rn  R
si scrive esplicitamente
L(x - x0) = L1(x1- x10)+…+ Ln(xn- xn0)
con L1, …, Ln numeri reali.
lim f ( x) = f (x )
0
xx
0
Teorema
Se una funzione è differenziabile
in un punto x0, essa
ha derivate in ogni direzione
in x0. In particolare, ha tutte
le derivate parziali.
Sia x = x0 + vt l’equazione della
retta per x0 di direzione v.
|x - x0| = |t|  |v| = |t|, poiché
|v| = 1 (v è un versore).
0+vt)-f(x0)
f(x
_____________________
t
= L(v)+e
(x0+vt)
|t|
t
Dunque
∂f (x0) = L(v) = L v +…+ L v
1 1
n n
∂v
In particolare
∂f (x0) = L(e ) = L 0+…+ L 1 +
k
1
k
∂ek
∂f
(x0)
…+ Ln0= Lk =
∂xk
Si dice differenziale di f in x0
dfx0 (x-x0) = L(x-x0) =
∂f (x0)(x - x 0)+…+ ∂f (x0)(x - x 0)
n
n
1
1
∂xn
∂x1
La derivata direzionale si scrive
∂f (x0) = ∂f(x0)v +…+ ∂f (x0)v
n
1
∂xn
∂v
∂x1
Se f, in particolare, è la proiezione
sull’asse k-esimo, f(x1,…, xn) = xk,
le derivate parziali di f rispetto a xi
sono Di f(x0) = ik (0 se i≠k, 1 se i=k),
e perciò il suo differenziale in x0 è
dfx0(x-x0) = xk - xk0.
Dunque: dxk (x-x0) = xk - xk0.
Da ciò nasce la notazione spesso
usata
∂f 0
∂f
0
dfx0 = (x )dx1+…+
(x )dxn
∂xn
∂x1
Il vettore che ha come componenti
le derivate parziali di f in x0 si dice
il gradiente della funzione in x0.
(grad f)(x0) = (f )(x0) =
=((∂f/∂x1)(x0), …, (∂f/∂xn)(x0))T=
=((D1f)(x0) , …, (Dnf)(x0))T
CONCLUSIONE
Se f è differenziabile in x0
f ha derivate in x0 in ogni direzione e
(Dvf)(x0) = (grad f)(x0)v =
= (f)(x0)v = (f)(x0), v
Nota: il simbolo  si legge “nabla”.
Supponiamo |(f)(x0)| ≠ 0. Poiché
(Dvf)(x0) = (f)(x0), v =
|(f)(x0)||v| cos 
Il massimo di (Dvf)(x0) si ha per  =0,
il minimo per  =. Cioè la derivata
direzionale è massima nella direzione
di (f)(x0); minima nella direzione
opposta -(f)(x0).
ULTERIORI CONSEGUENZE
DELLA DIFFERENZIABILITÀ
Se f è differenziabile in x0 vale
f(x) = f(x0)+ L(x-x0)+e(x)|x-x0|
con e(x)  0 se x  x0.
Il valore di f(x) è dato dalla somma di
un termine lineare f(x0)+ L(x-x0) e di
un contributo infinitesimo e(x)|x-x0|
d’ordine maggiore di uno (rispetto
a |x-x0| ).
Il termine lineare f(x0)+ L(x-x0) è in
Rn l’equazione di un “iperpiano”, che
si dice l’iperpiano tangente al grafico
di f in x0.
Equazione dell’iperpiano tangente
al grafico di f in x0.
∂f 0
∂f
0
0
z-z = (x )(x1- x1 ) +…+
(x )(xn- xn0)
∂xn
∂x1
0
Equazione del piano tangente
al grafico di f(x,y) in (x0,y0).
∂f 0
∂f
0
0
z-z =
(x )(x- x ) +
(x )(y - y0)
∂y
∂x
0
4
2
0
-2
-4
2
-6
1
-2
0
-1
y
0
x
-1
1
2
-2