CALCOLO
DIFFERENZIALE
PER FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI.
Argomenti della lezione
 Il teorema del “differenziale
totale” .
 Regole di derivazione e
differenziazione.
 Derivate successive.
IL TEOREMA DEL
“DIFFERENZIALE
TOTALE” .
Teorema
Se f : A  Rn  R, A aperto,
ha derivate parziali continue in A,
allora è differenziabile
in ogni punto x0  A.
Calcoli a parte…
REGOLE D I
DERIVAZIONE E DI
DIFFERENZIAZIONE.
Vista la definizione di derivata
parziale e il suo legame con la
nozione di differenziale messa
in evidenza precedentemente,
possiamo concludere che le regole
di derivazione già note continuano
a valere per le derivate parziali,
direzionali e per il differenziale.
Dunque:
Dk(f + g) = Dkf + Dkg
d(f + g) = df + dg
Dk(fg) = (Dkf)g + f(Dkg)
d(fg) = (df)g + f(dg)
Dk(f/g) =
d(f/g) =
((Dkf)g - f(Dkg))/(g2)
((df)g - f(dg))/(g2)
DERIVAZIONE DI
FUNZIONE COMPOSTA
Teorema
Sia f : A  Rn  R, A aperto,
differenziabile in x0  A, e sia
g(t)=(x1(t),…, xn(t))T derivabile
in t0: g’(t0)=( x1’(t0) ,…, xn’(t0))T,
g(t0) = x0 , allora è derivabile in t0
F(t) =f(g(t)) , e vale
F ’(t0) = D1f(x0)x1’(t0) +…+
+ Dnf(x0)xn’(t0)
con g(t): I  Rn .
Calcoli a parte ...
DERIVATE
SUCCESSIVE.
Sia f : A  R2  R, A aperto, dotata
di derivate parziali rispetto a x e
a y in tutto A o in una sua parte
aperta A1 . Allora D1f: A1  R e
D2f: A1  R , sono funzioni delle
quali ci si può chiedere se sono
derivabili rispetto a x o a y.
Si potranno considerare
∂ ∂f ,
(
)
∂x ∂x
∂ ∂f ,
(
)
∂y ∂x
∂ ∂f
(
)
∂x ∂y
∂ ∂f
(
)
∂y ∂y
e
Si indicherà
2f
∂
∂ ∂f (x0,y0)
___(x0,y0)
=
(
∂x2
∂x ∂x)
∂2 f
∂ ∂f (x0,y0) = ____
0,y0)
(x
(
)
∂x∂y
∂x ∂y
2f
∂
∂ ∂f (x0,y0)
____
0,y0)
(x
=
(
∂y ∂x)
∂y∂x
Più in generale
∂ ∂f
(
)
∂xi ∂xk
(x10,…,
xn0)
2f
∂
= ____ (x10,…,xn0)
∂xi∂xk
Ci chiediamo:
quale relazione c’è tra
2f
2f
∂
∂
____(x0,y0) e ____(x0,y0) ?
∂y∂x
∂x∂y
O tra
2f
∂
____ (x 0,…,x 0)
1
n
∂xk∂xi
e
2f
∂
____ (x 0,…,x 0) , (i≠k) ?
1
n
∂xi∂xk
Altre notazioni per indicare le
derivate successive:
2f
∂
____(x0,y0) = f (x0,y0) =
xy
∂x∂y
= D2xyf(x0,y0) = D212f(x0,y0) =
= ∂2xyf(x0,y0) = ∂212f(x0,y0)
E notazioni analoghe per
∂2 f
____
(x10,…,xn0)
∂xi∂xk
Teorema
(Sull’inversione dell’ordine delle
derivate (di K.H.A. Schwarz) )
Siano fxy e fyx definite su un aperto A,
e siano continue in (x0,y0) A.
Allora fxy (x0,y0)= fyx (x0,y0) .
In generale, per il teorema di
Schwarz, ammesso che siano
continue in un aperto A  Rn , due
derivate, calcolate nello stesso
punto, che differiscono solo per
l’ordine di derivazione sono uguali.