Approssimazione di derivate
Data una funzione (teoricamente analitica) f: R  R
campionata ad intervalli regolari di ampiezza h, si può
approssimare la sua derivata in un punto di campionamento
mediante le differenze finite fra i valori in punti di
campionamento vicini:
Approssimazione all’indietro:
Approssimazione in avanti:
Approssimazione di derivate
Approssimazioni centrali:
Approssimazione di derivate
Approssimazione di derivate
Approssimazioni analoghe valgono per la derivata seconda:
Ancora rilevamento dei contorni
Alcune delle approssimazioni viste prima sono
utilizzate nel rilevamento dei contorni. Dopo (o
assieme a) un filtraggio, si convolve l’immagine con
una maschera che fornisce la derivata parziale fx
rispetto a x.
Con tali valori si costruisce una matrice (una
immagine ausiliaria) di tipo appena più piccolo della
immagine originaria (a causa dell’impossibilità di
centrare la maschera su tutti gli elementi del bordo).
Analogamente, si costruisce una terza matrice
contenente i valori della derivata parziale fy rispetto
ad y.
Ancora rilevamento dei contorni
Si costruisce una quarta matrice in cui ogni elemento
è la norma euclidea del gradiente di f relativo alla
stessa coppia di indici:
Gli elementi appartenenti al contorno sono quelli per
cui tale norma risulta massima, o comunque superiore
ad una soglia fissata.
Ancora rilevamento dei contorni
Algoritmo di Canny:
le derivate parziali si ottengono mediante convoluzione
con le maschere
o anche, con le dovute modifiche alla sommatoria,
Ancora rilevamento dei contorni
Algoritmo di Sobel:
la variante relativa al calcolo delle derivate parziali è
rappresentata dalle maschere
Algoritmo di Roberts:
le derivate vengono calcolate rispetto ad altre direzioni
Rilevamento degli angoli
Con opportuni accorgimenti, è possibile rilevare
caratteristiche (features) più sofisticate.
Come esempio, indichiamo un metodo per rilevare angoli.
Per ogni elemento dell’immagine (sufficientemente
discosto dal bordo) consideriamo i valori di fx ed fy
relativi agli elementi di un suo intorno prefissato.
Costruiamo la matrice 2x2, simmetrica e semidefinita non
negativa
Rilevamento degli angoli
Tale matrice ha autovalori a1 a20.
Se nell’intorno prefissato dell’elemento considerato la
funzione f è costante, gli autovalori sono entrambi nulli.
Se l’elemento si trova su un contorno rettilineo
(nell’ambito dell’intorno prefissato), allora a1 è positivo
ma a2 è nullo.
Gli angoli sono dunque individuati da quegli elementi
per cui a2 è positivo (e sufficientemente lontano dallo
zero).