FUNZIONI REALI DI DUE
VARIABILI REALI
Ricordiamo che …
Una funzione di due variabili è del tipo
z = f(x , y)
Si definisce funzione reale di due variabili reali una relazione
che associa ad ogni coppia di numeri reali (x,y) appartenenti
al Dominio uno ed un solo numero reale z
Assegnando a x e y due valori del Dominio si ottiene il valore
di z e, quindi, il punto P(x ; y ; z)
x
y
Esempio:
z = 3x-y+9
Se x = 2 e y = 7 si ottiene z = 8
Il punto è P(2 ; 7 ; 8)
z
Questo punto può essere rappresentato nello “spazio”
P(2 ; 7 ; 8)
8
P
2
7
Dominio di una funzione a due
variabili
• Il Dominio è il sottoinsieme del prodotto
cartesiano R X R costituito da tutte le
coppie (x,y) di numeri reali che hanno per
corrispondente un ed un solo numero
reale Z
Dominio di una funzione a due
variabili
Per determinare il dominio di una funzione a due
variabili e’ necessario procedere alla sua
classificazione:
• Funzione intera o Funzione Fratta
• Funzione razionale o irrazionale
• Funzione trascendente : logaritmica, esponenziale
Grafico di una funzione a due
variabili
Rappresentare graficamente una funzione di
due variabili è piuttosto complesso poiché
si tratterebbe di tracciare il grafico di una
superficie in sistema di assi cartesiani x,y,z
e questo non è sempre agevole.
Esistono programmi svolti dal calcolatore che
danno l'idea di queste immagini: sono molto
suggestive, ma non sempre evidenziano
certi comportamenti della funzione.
Piano di equazione
z = -3x+2y+10
z = 2 x2 - y
z = xy
z = x2 + y2 - 25
z = y2 - x2
Linee di livello
E’ possibile avere delle informazioni sul
grafico della funzione tracciando le sue
“linee o curve di livello”.
Le linee di livello sono la proiezione
ortogonale sul piano x,y di tutti i punti
aventi la stessa quota z = K
In pratica è come se si tagliasse la superficie
con dei piani orizzontali a differenti quote e si
trasferisse il risultato di questo “taglio” sul
piano x,y
Per costruire le linee di livello occore partire da un
sistema:
z  f(x, y)

z  k
f(x,y) = k
equazione della generica linea di livello
Assegnando dei valori alla quota z si identificano le varie linee di livello che
sono quindi rappresentabili sul piano x,y ponendo accanto a ciascuna di esse
la relativa quota z
y
k1
k2
k3
x
rappresentazione delle linee di livello sul piano xy senza prospettiva
Clicca per visualizzare le linee di livello
Clicca per visualizzare le linee di livello
Z
piano z = k
linea di livello
Y
piano xy
X
DERIVATE PARZIALI
Nello studio dell’analisi si incontra il concetto di derivata;
data una funzione y = f(x) si definisce la sua derivata come:
f ( x  h)  f ( x )
lim
 y '  derivata
h 0
h
Il rapporto a fianco del simbolo del limite viene detto
RAPPORTO INCREMENTALE
Nel caso di una funzione a due variabili è necessario scrivere due
definizioni
f ( x  h, y )  f ( x, y )
lim
h 0
h
Questa scrittura definisce la
derivata parziale rispetto a
x in quanto la y viene
considerata costante
y’x
f ( x, y  h )  f ( x, y )
lim
h 0
h
Questa scrittura definisce la
derivata parziale rispetto a y
in quanto la x viene
considerata costante
y’y
Esempio :
z = x2 y +2x -y2
Z’ = 2x+2
x
Z’ = -1-2y
y
Ovviamente sono valide tutte le regole
di derivazione applicate nello studio
delle funzioni ad una sola variabile
y = f(x)
DERIVATE SUCCESSIVE
Anche nel caso di funzioni a due variabili è possibile procedere al calcolo
delle derivate successive.
Z’’x x
significa che a partire dalla z’x devo ancora derivare rispetto alla x
Z’’x y
significa che a partire dalla z’x devo ancora derivare rispetto alla y
Z’’ y x
significa che a partire dalla z’y devo ancora derivare rispetto alla x
Z’’y y
significa che a partire dalla z’ y devo ancora derivare rispetto alla y
Teorema di Schwarz
Esso afferma che le due derivate seconde z’’ x y
e
z’’ y x sono uguali
Z’’XY = Z’’ YX
Esempio.
Data la funzione z = 3x2 +5xy-y3
Z’x = 6x+5y
Z’’x y = 5
verificare il Teorema di Schwarz
Z’ y = 5x-3y2
Z’’y x = 5
PIANO TANGENTE
Nello studio dell’analisi matematica è stato più volte ricordato il significato
geometrico della derivata prima, che rappresenta il coefficiente angolare
della retta tangente in un determinato punto alla funzione.
Assegnato un punto P(x0,y0) appartenente ad una funzione y = f(x) è
possibile ricavare la retta tangente a partire dall’equazione del fascio
proprio di rette passante per P
y-y0 = m·(x-x0)
dove è rappresentato dalla derivata prima della funzione f’(x0,y0)
In analogia su quanto detto per le funzioni ad una variabile, è
possibile scrivere l’equazione del piano tangente in un punto
P(x0,y0,z0) ad una superficie:
Z = f(x0,y0)+f’x(x0,y0)·(x-x0) + f’y(x0,y0) ·(y-y0)
Dove f’x e f’y sono le derivate prime parziali della funzione z = f(x,y)
calcolate nel punto di tangenza P(x0,y0,z0)
Il piano tangente può esser utilizzato per approssimare la
superficie nell’intorno dl punto di tangenza.
MASSIMI E MINIMI
Si ricorda la definizione di massimo relativo:
Un punto M è di massimo relativo se esiste un suo intorno o intervallo I nel
quale il punto M > P(x,y) per ogni punto P appartente all’intervallo
Analoga la definizione di minimo relativo.
Se poi la disuguaglianza è valida per tutto il dominio, si avrà un massimo
assoluto o minimo assoluto.
Max assoluto
Max. relativo
Min relativo
Min assoluto
MASSIMI E MINIMI LIBERI
Esistono due metodi per la ricerca dei massimi e
minimi liberi:
A) Metodo delle derivate
B) Metodo delle linee di livello
Metodo delle derivate
Assegnata ala funzione z = f(x,y) si procede al calcolo delle
derivate parziali prime che vengono poste uguali a zero:
 f 'x  0

f' 0
 y
CONDIZIONE NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE
I punti le cui coordinate sono le soluzioni del sistema sono detti PUNTI CRITICI
O STAZIONARI: fra tali punti si devono ricercare i massimi ed i minimi della
funzione. Per decidere se si tratta effettivamente di massimo o di minimo, occorre
esaminare il determinante hessiano.
H
f ''
f ''
xx
yx
f ''
xy
f ''
yy
Ora occorre andare a verificare il valore di H nel o nei punti critici
precedentemente ricavati.
Sia P(x 0, y 0) un punto critico
ƒ''XX(X0, Y0) > 0 in P si ha un minimo relativo
Se H (x0, y0) > 0
.
Se H (x0, y0) < 0
Se H (x0, y0)
e
ƒ''XX(X0, Y0) < 0 in P si ha un massimo relativo
In P si ha un punto di sella
è dubbio il comportamento della funzione in P è dubbio
e bisogna utilizzare un altro metodo o
esaminare la funzione nell’intorno di P
Esempio:
determinare gli eventuali massimi e minimi relativi della funzione
Z = x² – xy + 2y² + 3x + 2y
calcolo delle derivate parziali prime:
Z'X = 2x – y + 3
Z‘y = – x + 4y + 2
Le due derivate prime vengono messe a sistema ponendole uguali a zero:
2 x  y  3  0

 x  4 y  2  0
Le soluzioni del sistema sono:
 x  2

 y  1
Abbiamo ottenuto dunque un solo punto critico o stazionario
Ora si procede al calcolo delle derivate seconde:
Z''XX = 2
Z''YY = 4
Z''XY = Z''YX = – 1
Si procede quindi al calcolo del determinante Hessiano:
2 1
 8 1  7
1 4
In questo caso l’Hessiano ci fornisce già un valore numerico cioè è
puntuale.
Poiché H >0 il nostro punto critico può essere un massimo o un minimo:
Per arrivare alla conclusione si analizza la Z ’’xx che essendo uguale
a 2 ci porta alla conclusione che il punto
P(-2,-1,-4) è un punto di minimo
Metodo delle linee di livello
Il metodo consiste nel tracciare le linee di livello della funzione z = f(x,y):
z  f(x, y)

z  k
Una volta tracciate le linee di livello si andrà ad analizzarle per capire
se esse degenerano in un punto.
In tale punto ci sarà il massimo o il minimo a seconda dell’andamento
del valore della z
MASSIMO E MINIMI VINCOLATI
In molte applicazioni sorge il problema di determinare gli eventuali massimiminimi di una funzione le cui variabili non sono indipendenti ma devono
soddisfare certe condizioni; si parla in tal caso di massimi-minimi vincolati. In
economia ad esempio nell’ottimizzare la funzione dei profitti di un’impresa
che produce e vende un prodotto si tiene conto del vincolo espresso dalla
funzione di domanda del bene.
Dunque un problema di massimo-minimo vincolati si presenta in questo
modo:
Z=f(x,y) da massimizzare – minimizzare con vincolo g(x,y) =0
Esempio
Determinare il massimo-minimo della funzione z = x2+y2 - 4 con il vincolo x + y-2=0
Massimi-minimi vincolati
Esistono sostanzialmente tre metodi di risoluzione
A) Metodo di sostituzione
B) Metodo della funzione Lagrangiana
C) Metodo delle linee di livello tangenti
Metodo di sostituzione
Procedimento :
•
•
Si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile (x o y indifferentemente)
Si sostituisce l’espressione ricavata nella funzione iniziale eliminando dunque
una variabile
• Si procede come per il calcolo di massimi-minimi in una funzione ad una
variabile
Esempio: trovare max.-min della funzione:
x3
z
 xy  8
3
con vincolo
Si esplicita nel vincolo
rispetto ad y
y
2 y  x  12  0
x  12
2
E si sostituisce nella funzione z
ottenendo così una funzione con
una sola variabile:
z
2 x 3  3x 2  36 x  48
6
Il problema ora è diventato un problema di analisi di funzione ad una sola variabile.
Si procede quindi al calcolo della derivata prima che viene posta uguale a zero:
z'  x 2  x  6
x2  x  6  0
x1  2
x 2  3
Si sono ottenuti due punti critici. Ora si può procedere in due modi:
Con lo studio della crescenza/decrescenza o con lo studio della derivata seconda:
+ 0 - - - - - - - 0 + +
-3
Max
z’’= 2x+1
2
min
z’’(2) = 2
min (2,-5,2/3)
z’’(-3)=-5
Max(-3,-15/2,43/2)
Metodo della funzione Lagrangiana
Assegnata la funzione z=f(x,y) e il vincolo g(x,y) si costruisce una nuova
funzione detta FUNZIONE LAGRANGIANA:
Z = f(x,y) + λ·g(X,Y)
λ è detto moltiplicatore di Lagrange e trasforma un problema di massimo –
minimo vincolato in un problema di massimo – minimo libero vincolato.
La funzione Lagrangiana è una funzione a tre variabili: x, y, λ
Condizione necessaria, ma non sufficiente affinchè Z abbia un massimo
(minimo) vincolato è data dal contemporaneo annullamento delle derivate
parziali prime rispetto a (λ, x, y).
Z '  0
 x

Z ' y  0

Z '  0
 
Le soluzioni del sistema sono dette punti critici o punti stazionari
A questo punto si procede al calcolo di un determinante detto Hessiano Orlato:
0
g'
H  g'
Z"
g'
x
y
Z"
x
xx
yx
g'
Z"
Z"
y
xy
yy
Dove g’x e g’y sono le derivati parziali del
vincolo e Z’’xx Z’’xy Z’’yy le derivate parziali
seconde della funzione Lagrangiana
Per ogni punto critico p(x0,y0,λ0) deve essere calcolato il valore dell’Hessiano orlato
e verificare se:
H (X0, Y0, λ0) > 0  in P0 la funzione ha un massimo vincolato
H (X0, Y0, λ0) < 0  in P0 la funzione ha un minimo vincolato
H (X0, Y0, λ0) = 0  non si può dire nulla ed occorre studiare la
funzione nei punti del vincolo prossimi a P0
Metodo delle linee di livello tangenti
•
Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la
relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve
•
Si rappresenta graficamente il vincolo (nello stesso sistema cartesiano)
•
Si cercano, fra tutte le curve di livello che sono tangenti al vincolo: nei punti di
tangenza, se ci sono, si avranno max-min vincolati