“Dall'impossibilità alla certezza:gli irrazionali”
Denis Guedj
Il fondatore della scuola pitagorica:
Pitagora
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Nacque a Samo nel VI secolo a.C.
Fu allievo di Anassimandro e apprese la filosofia
viaggiando in Egitto,Babilonia e India
.
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Fondò la sua scuola a Crotone nel 530 a.C.
A Crotone era considerato un “Cristo eloquente”
Cominciò a ricoprire un' importante carica politica
Le lezioni si tenevano spesso nella “casa delle Muse”:
un tempio di marmo bianco e...
...potevano essere pubbliche: chiunque poteva seguirle poiché
di semplice comprensione, oppure..
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...private: accessibili solo ai membri della scuola che avevano
una preparazione più elevata.
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Gli anziani valutavano la vita privata e le caratteristiche fisiche di ogni singolo candidato
L'iniziazione consisteva in:
3 anni di prova
3-5 anni si era acusmatici
Serie di prove fisiche
Si diveniva matematici
Acusmatici
- allievi al di fuori dalla cerchia degli anziani
-seguivano le lezioni da dietro ad una tenda
-avevano l'obbligo del silenzio durante le lezioni
Matematici
-seguivano le lezioni di Pitagora
-avevano l'obbligo del segreto sulle dottrine
trattate
-trattavano le discipline più complesse
Alla base del rapporto tra i pitagorici c'era:
-segretezza:erano come una famiglia le cui vicende dovevano rimanere private
-regolamento rigido: “astieniti dal fare”,”non spezzare il pane”,
”non mangiare fave”,”non sposarti”
I pitagorici sostenevano:
- la dottrina della metempsicosi:reincarnazione
dell'anima
- nell'orfismo: culto religioso fondato sulla
cosmogonia
-
che l'archè fosse il numero
Nel campo matematico i pitagorici... :
- scoprirono che la somma degli angoli interni di una
triangolo
è pari a due angoli retti
-
formularono l'enunciato del teorema di Pitagora
- elaborarono
la costruzione dei solidi regolari
- scoprirono i numeri irrazionali e l'esistenza delle grandezze
Incommensurabili
Le grandezze incommensurabili sono quelle grandezze che non ammettono
unità di misura comuni.
A
B
d
l
D
l 2+ l 2 = d 2
2l 2 = d 2
d=√2l 2
C
l
√2 era sconosciuto.
Al tempo si conoscevano solo i numeri naturali
positivi e i numeri razionali
d= l√2
Se l=1
d
2 =1 2
+1 2 = 2
d=√2
I pitagorici cercarono di trovare una soluzione per dimostrare
che esisteva un' unità comune tra diagonale e lato del quadrato.
Pensarono quindi a questi due come segmenti costituiti da
infiniti punti.
Dimostrazione:
Aristotele:”Una dimostrazione di questo tipo, ad esempio, è quella che stabilisce l'incommensurabilità della
diagonale [e del lato del quadrato],
che si fonda sul fatto che se si suppone che siano commensurabili, i numeri dispari risultano uguali ai numeri pari”.
a/b =√2
a
Se
2/b 2 =
a/b è una frazione in cui denominatore e
numeratore sono o entrambi dispari o
uno pari e uno dispari.
2
a=2c
4c
2 =2b 2
a e b risultano entrambi pari
Abbiamo contraddetto la costatazione
iniziale
2
a =2b
PARI
2c
pari
2
pari
2 =b 2
PARI
Abbiamo dimostrato che √2 non è un numero
Il lato e la diagonale del quadrato si esprimono con due diverse classi di numeri e
arriviamo alla conclusione che sono due grandezze incommensurabili anche se riportiamo
il lato sulla diagonale...
Ulteriore dimostrazione dell'incommensurabilità della diagonale e lato del quadrato..
Riportando l su d vediamo che l è contenuto
in d una volta con il resto di r …
l<d< 2l
Riportando l/10 su r vediamo che è contenuto
in r 4 volte con il resto di s
1,4<d/l<1,5
Riportando l/100 su s vediamo
1,41<d/l<1,42
Operando così all'infinito non avremo mai un resto nullo
Le cifre trovate all'infinito non daranno mai una numero periodico, quindi non sarà
possibile
risalire ad una frazione generatrice ...quindi la diagonale e il lato del quadrato
sono grandezze incommensurabili.
Conseguenze della scoperta delle grandezze
incommensurabili
La diagonale è lunga √2 ed è la
distanza dall'origine. Per i
pitagorici √2 non esisteva quindi
non trovava posto sulla retta
numerica dove c'erano solo
numeri interi e frazioni.
Ma con questa semplice
rappresentazione capirono che
nei “buchi” erano collocati dei
numeri
Ippaso da Metaponto dopo aver divulgato la scoperta fu cacciato dalla scuola e morì poco
dopo in un naufragio.
I pitagorici non furono mai felici di questa scoperta perché mise in discussione parte
delle loro dottrine.
Geometria e aritmetica si divisero.