I numeri
irrazionali sono
quei numeri reali,
illimitati non
periodici che non
sono esprimibili
sotto forma di
frazione.
Ippaso di Metaponto
La scoperta dei numeri irrazionali e delle grandezze incommensurabili è
attribuita al pitagorico Ippaso di Metaponto.
Secondo la leggenda Ippaso di Metaponto scoprì i numeri irrazionali nel
tentativo di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione. Altra
scoperta di Ippaso fu quella dell'incommensurabilità e dell'esistenza di
grandezze incommensurabili: egli, infatti, si accorse che il lato e la
diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un
rapporto di numeri interi ed erano pertanto incommensurabili.
La reazione dei Pitagorici
Pitagora, che credeva nell'assolutezza dei
numeri, non potè accettare l'esistenza dei
numeri irrazionali, nonostante non fosse in
grado di confutarla. Tuttavia Ippaso di
Metaponto divulgò queste nozioni
all'esterno della scuola, contrariamente alle
prescrizioni di Pitagora. La reazione dei
pitagorici fu durissima: Ippaso fu esiliato e
gli fu costruito, nonostante fosse ancora in
vita, un monumento funebre. Fu
condannato a morte per annegamento, ma
la leggenda lo vuole vittima di un naufragio
per volere di Zeus adirato.
“I pitagorici narrano che il primo
divulgatore di questa teoria [degli
irrazionali] fu vittima di un naufragio;
e parimenti si riferivano alla credenza
secondo la quale tutto ciò che è
irrazionale, completamente inesprimibile
e informe, ama rimanere nascosto; e se
qualche anima si rivolge ad un tale
aspetto della vita, rendendolo accessibile
e manifesto, viene trasportata nel mare
delle origini, ed ivi flagellata dalle onde
senza pace”.
Il lungo percorso verso
l’accettazione dei numeri irrazionali
Nel 1544 Michael Stifel nella sua Aritmetica integra sostiene che i veri numeri
sono gli interi e i frazionari.
Simone Stevino riconosce agli irrazionali il loro stato di numeri e li approssima
con razionali.
Nel 1628 Cartesio li ammette come numeri astratti che possono rappresentare
grandezze geometriche.
Infine, John Wallis nell’ “Algebra” del 1685 li accetta come numeri reali.
Il XIX secolo fu caratterizzato dal completamento di uno studio scientifico circa
la teoria degli irrazionali, dalla dimostrazione dell'esistenza dei numeri trascendenti,
e dalla bipartizione dei numeri irrazionali in algebrici e trascendenti.
Dalla scuola pitagorica allo scandalo
dell’irrazionale
“Tutto è numero”:
Il motto di Pitagora sembrava la chiave per svelare i segreti dell’universo, i numeri e
loro rapporti.
Alla base della filosofia dei pitagorici risale il concetto di entità matematiche, numeri,
figure geometriche come astrazioni.
Questa concezione, tuttavia, non era presente fin dall’inizio. I primi pitagorici
avevano infatti concepito una teoria monadica.
Aristotele nella Metafisica scriveva così a tal
proposito:
“I cosiddetti pitagorici, avendo cominciato ad
occuparsi di ricerche matematiche ed essendo
grandemente progrediti in esse, furono condotti da
questi loro studi ad assumere come principi di tutte
le cose esistenti quelli di cui fanno uso le scienze
matematiche. E poiché i primi che qui si incontrano
sono, per natura i numeri, sembrò loro di ravvisare in
questi, molte più analogie con ciò che esiste e avviene
nel mondo, di quante se ne possono trovare nel fuoco,
nella terra e nell’acqua […]. Avendo poi riconosciuto
che le proprietà e le relazioni delle armonie musicali
corrispondono a rapporti numerici e che in altri
fenomeni naturali si riscontrano analoghe
corrispondenze con i numeri, furono tanto più
indotti ad ammettere che i numeri sono gli elementi
di tutte le cose esistenti e che il tutto il cielo sia
proporzione ed armonia.”
La scuola pitagorica
affermava la centralità
del numero, inteso come
grandezza
commensurabile, dunque
numero intero e
razionale, cioè esprimibile
come rapporto di numeri
interi, con la parte
decimale espressa dagli
zeri o da cifre periodiche.
La scoperta dei numeri
irrazionali sconvolse però
le loro certezze e portò a
una crisi nel pensiero
matematico.
Questa scoperta fu un vero e proprio scandalo e provocò fra i pitagorici incertezza,
timore e sgomento. Essa non poteva essere accettata dai pitagorici perché:

non garantiva la coerenza dell’ universo, il concetto di ordine cosmico che si
rispecchiava nel numero intero, ovvero il progetto di spiegare la natura in
termini di soli numeri esprimibili mediante rapporti di numeri interi;

I pitagorici fino a quel momento avevano identificato il numero con la
geometria, dunque l’esistenza di grandezze incommensurabili annullava questa
identificazione;

la teoria degli irrazionali sconvolgeva tutto il loro progetto matematico e
filosofico;

la nuova scoperta introduceva un nuovo concetto di infinito nella filosofia
greca;
Questa scoperta fu il più oscuro segreto dei pitagorici; non c’è da
meravigliarsi, dunque, se fu proibito ai discepoli della setta di
rivelarlo, considerandolo blasfemo e sconcertante.
Il matematico Pappo di Alessandria secoli dopo fa la seguente
speculazione:
“ […]tutto ciò che al mondo è irrazionale o inconcepibile deve essere
nascosto. Inoltre, ogni anima che per errore o per sbadatezza scopre
o rivela alcunché di questa natura in questo mondo erra nel mare
della non identità, immerso nel flusso del divenire, in cui non c’è
regolarità né certezza.”
Il Π nella storia
Il Π è il rapporto tra
circonferenza e diametro di
un cerchio. È un numero
trascendente, irrazionale,
impossibile da esprimere
con un numero finito di
interi, frazioni o radici.
Questa conclusione è stata
raggiunta però dopo secoli
di studi e si è evoluta nel
corso della storia.
l’evoluzione del Π
Le prime testimonianze sullo
studio del Π risalgono agli egizi.
In seguito hanno studiato il Π
anche
ebrei
greci
romani
cinesi e indiani
Anche nel Medioevo e nei secoli
seguenti lo studio del pi greco ha
affascinato molti studiosi.
Uno tra questi è stato Archimede di
Siracusa.
l’approssimazione di archimede
Partì dalla considerazione che la lunghezza della circonferenza è maggiore
del perimetro di un qualunque poligono inscritto e minore del perimetro
di un qualunque poligono circoscritto.
Archimede ripeté questo ragionamento inscrivendo e circoscrivendo ad
una circonferenza poligoni regolari con un numero di lati sempre
maggiore, notando che all’ aumentare dei lati diminuiva la differenza fra la
misura dei due perimetri, questo permise di restringere sempre di più l’
intervallo, entro il quale doveva essere compresa la misura della
circonferenza.
Riuscì quindi a stabilire i due valori approssimati fra cui il π è
compreso, ottenendo che:
3+10/71 < π< 3+ 10/70
e cioè: 3,1408 <π < 3,1428
Dove i valori tra cui è compreso,
appartengono a due classi contigue,
C1 e C2.
Le classi contigue sono due
insiemi di numeri che
ammettono uno ed un solo
elemento separatore e sono:
• separati: ogni elemento
della prima classe è sempre
inferiore ad ogni elemento
della seconda classe ;
• indefinitivamente
ravvicinati :preso un
elemento del primo insieme
ed uno del secondo insieme,
la loro differenza è minore
di un qualunque numero
piccolo a piacere
irrazionalità di √2
Supponiamo che √2 sia un numero razionale. Quindi
esisteranno due numeri interi a e b primi fra loro tali che
a/b = √2. Elevando al quadrato si ha a2/b2 = 2 , cioè a2 = 2b2.
Questo implica che a2 è pari, e che quindi a è pari, ossia esiste
un numero, c, intero, tale che a = 2c. Quindi:
a2= 4c2 = 2b2 4c2 = 2b2  2c2= b2
cioè anche b sarà pari, e quindi a e b avranno un fattore in
comune, 2, ma è impossibile perché per ipotesi primi fra loro.
Excel
APPROSSIMAZIONE DI √2
appross. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
appross. 0,001
1,411
1,412
1,413
1,414
1,415
1,416
1,417
1,418
1,419
1
4
9
16
25
36
49
64
81
1,990921
1,993744
1,996569
1,999396
2,002225
2,005056
2,007889
2,010724
2,013561
appross. 0,1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
1,21
1,44
1,69
1,96
2,25
2,56
2,89
3,24
3,61
appross. 0,0001
1,4141 1,99967881
1,4142 1,99996164
1,4143 2,00024449
1,4144 2,00052736
1,4145 2,00081025
1,4146 2,00109316
1,4147 2,00137609
1,4148 2,00165904
1,4149 2,00194201
1,41421<√2<1,41422
appross. 0,01
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,9881
2,0164
2,0449
2,0736
2,1025
2,1316
2,1609
2,1904
2,2201
appross. 0,00001
1,41421 1,99998992
1,41422 2,00001821
1,41423 2,00004649
1,41424 2,00007478
1,41425 2,00010306
1,41426 2,00013135
1,41427 2,00015963
1,41428 2,00018792
1,41429 2,0002162
Teodoro di Cirene
Teodoro di Cirene è un
matematico del V secolo
a.C., ricordato come
maestro di Platone.
Gli si attribuisce la
dimostrazione dell’
irrazionalità di radici
quadrate di numeri non
quadrati di altri numeri,
già nota ai pitagorici per
la radice di 2
La spirale di Teodoro
La Spirale di Teodoro si costruisce
disegnando inizialmente un
triangolo rettangolo isoscele con i
cateti lunghi 1 unità e in
successione gli altri triangoli
rettangoli aventi ciascuno il
cateto minore lungo sempre 1
unità e il cateto maggiore
coincidente con l’ ipotenusa del
triangolo precedente.
Le ipotenuse dei triangoli
rettangoli avranno i valori delle
radici quadrate della successione
dei numeri naturali.
Realizzata da:
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•
Maria Trigiante;
Alessandra De Santis;
Denise Lotito;
Viviana Basanisi.
V H A.S. 2008/2009