Tra fantasia e scienza…
Tra irrazionalità e
razionalità…
C’erano
una volta … gli
Intorno al
5° secolo
a.C. i più grandi intellettuali
greci erano convinti che dietro
ogni costruzione geometrica,
ogni
fenomeno celeste o
astrologico, si celasse un
rapporto fra numeri sempre
calcolabile o individuabile.
Coloro che più di tutti sostenevano questa teoria erano i “Pitagorici”,
seguaci delle dottrine di Pitagora di Samo. Ovviamente ben presto
si dovettero scontrare con un ostacolo insuperabile: gli irrazionali.
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Gli irrazionali sono numeri decimali illimitati aperiodici, che quindi
non si possono scrivere sotto forma di frazione.
Un bel giorno infatti, studiando il rapporto fra un lato di un
quadrato e la sua diagonale, si resero conto che lo stesso non era
rappresentabile tramite numeri razionali. Tentarono invano di
celare la loro scoperta, ma come sempre la realtà venne a galla,
questa volta per colpa di Ippaso di Metaponto.
Egli infatti dimostrò l’incommensurabilità della radice
quadrata di 2, facendo crollare tutte in una volta le
certezze dei Pitagorici, che lo costrinsero al suicidio.
2=1,414213...
Purtroppo per i Pitagorici e ancor più per tutti gli studenti da quel
giorno in poi, gli irrazionali “spopolarono”,
andando a costituire un insieme assai più vasto di quello dei numeri reali.
« Esplorare pi greco è come esplorare l'Universo… »
Il simbolo π per la costante di Archimede è stato introdotto nel
1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A
New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo
fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la
circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune
dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima
lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura
attorno» in greco. Inoltre il simbolo π venne usato all'inizio
dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di
Pitagora (l'iniziale di pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π,
ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola).
Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Eulero usava il simbolo p.
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Nell‘antichità:
550a.C.: Nell‘Antico Testamento si dice (non esplicitamente)
che il π è uguale a 3;
• *III secolo a.C.: Archimede, utilizzando l'esaustione e il metodo di
compressione, calcola su poligoni di 96 lati che 223/71 < π < 22/7, e
trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441 = 3,14163.
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Nel Medioevo:
*1220: Fibonacci usa il valore 3,141818.
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Misure moderne:
•
• 1621: Willebrord Snell perfeziona il metodo di Archimede;
• 1655: John Wallis trova un prodotto infinito razionale per π e
Isaac Newton scopre il calcolo infinetesimale e calcola il π fino alla 16ª
cifra decimale;
1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde;
1775: Eulero deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e
ipotizza che π possa essere trascendente.
Misure contemporanee:
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1976: Eugene Salamin e Richard Brent svilupparono indipendentemente un
algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del Pi greco,
algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli
integrali ellittici di Carl Friedrich Gauss;
2002: Yasumasa Kanada, 1 241 100 000 000 cifre (1,2 bilioni) calcolate in
più di 600 ore utilizzando 64 computer Hitachi SR8000/MPP.
Ecco come da ciò possiamo ancora osservare un
chiaro esempio di una mente declinabile a qualsiasi tipo
di oggetto matematico.
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C’erano una volta
le classi contigue
Un tempo vi erano 2 classi contigue che vivevano con i propri zii.
Questi erano alquanto bizzarri, e venivano chiamati per la loro follia
simpaticamente “irrazionali”.
Tra queste 2 classi vi erano continuamente dissapori. Una delle
due classi infatti si vantava con l’altra e la derideva sostenendo di
essere la più importante, in quanto conteneva tutti gli elementi che
superavano √2 per eccesso.
E l’altra in risposta, cosciente di essere inferiore rispetto a sua
sorella, poiché conteneva tutti gli elementi i cui valori erano
approssimati per difetto, si lamentava tutto il giorno.
Un bel giorno allora il capo degli irrazionali, un tale √2, stufo di
sentire la prima classe che si pavoneggiava 24/24h e la seconda
che si lamentava giorno e notte, decise di indire una gara.
Disse loro che questa gara serviva a trovare la migliore tra le due
classi, ma in realtà lo scopo era far capire loro che erano entrambe
indispensabili al mantenimento della tribù degli irrazionali.
Dopo essersi scontrate in tutte le sfide possibili, e tuttavia senza
successo
il√2, ormai stufo, disse:
“E’ giunto il momento di dirvi quello che avrei dovuto dirvi da
tempo. Saprete tutto. Vi chiedo solo un po’ di pazienza. Avrete
modo di urlare…di fare quello che volete…quando avrò finito.
Non ve lo impedirò.”
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E dopo quest’inizio trionfale, essendosi accorto di avere catturato la
loro attenzione, raccontò loro
TUTTO
Narrò loro di come i loro parenti, i numeri irrazionali, non erano
affatto “folli”, ma erano la stirpe più potente nella razza dei
numeri, in quanto in età ellenistica misero in ginocchio persino i
più affermati filosofi greci.
Le definì poi come due classi di numeri i cui elementi sono gli
infiniti valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso
di √2.
E Dio solo sa, sentendosi in tal modo definite, come si sentirono
importanti… e della stessa utilità 
Svelò poi loro il misterioso significato di cosa vuol dire l’essere
“SEPARATE”, cioè che ogni elemento della prima classe è
sicuramente minore di ogni elemento della seconda classe
(e qui partì un’occhiataccia dalla seconda alla prima classe)
Ed infine raccontò loro della cosa che avevano sentito più parlare
nella loro vita, senza comprenderne mai veramente appieno il
significato…
Disse loro dell’AVVICINAMENTO INDEFINITO, cioè della
possibilità di una scelta di un elemento della prima classe e di uno
della seconda in modo che la loro differenza sia minore di un
numero qualunque.
Lo mostrò anche praticamente :”scelgo un numero piccolissimo, ad
esempio 0,000001 (un milionesimo): posso prendere un numero
nella prima classe ed un numero della seconda classe tali che la
differenza sia ancora più piccola.
Basta prendere due numeri con piu' di 6 cifre decimali, ad esempio
prendo quelli con 7 cifre decimali
3,0000001
2,9999999
la loro diffferenza vale
3,0000001 - = 0,0000002
cioe' due decimilionesimi che e' meno di un milionesimo”
All’udire queste parole le 2 classi capirono di essere entrambe utili
alla matematica e all’umanità intera, e in quel momento decisero di
chiamare l’irrazionale per eccellenza,
il √2, poiché aveva finalmente loro separato da litigi e screzi,
appunto l’ELEMENTO SEPARATORE delle classi contigue.
E da allora il √2, le classi contigue e gli irrazionali tutti
continuano a tediare milioni di studenti in tutto il mondo!
Costruzione geometrica delle
radici quadrate dei numeri naturali
La spirale di Teodoro
La spirale di Teodoro è una costruzione classica che
riguarda i numeri irrazionali. Essa permette di
costruire geometricamente le radici
quadrate dei numeri interi partendo da un triangolo
rettangolo isoscele avente i cateti di lunghezza unitaria.
Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1:
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Per il teorema di Pitagora abbiamo allora che OB ha
lunghezza pari a radice quadrata di 2. Se ora, come in
figura, costruiamo un nuovo triangolo
rettangolo, retto in B, con cateti OB e BC, di cui l'ultimo
di lunghezza unitaria...
…sempre per il teorema di Pitagora è chiaro che
l'ipotenusa OC di OBC ha come lunghezza la radice
quadrata di 3.
Se ripetiamo questo procedimento possiamo ottenere
facilmente tutte le radici quadrate dei numeri naturali.
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Ed ora concludiamo il nostro studio
con…
…la determinazione del valore della radice quadrata di 2
fino alla 5° cifra decimale, mediante l’uso di un foglio
elettronico.
Alla stesura di questo lavoro hanno collaborato:
Cavone Marco
Del Core Enrico
Sgobba Fabrizio
V Internazionale
A.S. 08/09