I NUMERI IRRAZIONALI
a cura di:
• Valeria Crincoli
• Giovanna Altieri
• Anita Mastrogiacomo
V H A.S. 2008/09
«La natura cosmica risulta
dall'accordo di Limite e Illimite»
«Tutte le cose che si conoscono
hanno numero; senza questo nulla
sarebbe possibile pensare nè
conoscere»
Filolao
GENESI DEI NUMERI IRRAZIONALI
Ippaso di Metaponto, fu colui che scoprì i “numeri
irrazionali”.
Si dice che li scoprì mentre cercava di rappresentare la
radice quadrata di 2 sottoforma di frazione.
Pitagora credeva nell'incommensurabilità dei numeri e quindi
non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali.
IL TEOREMA DI PITAGORA
Dopo la scoperta di tali
numeri , Pitagora ideò un
teorema, che è a noi noto
come
il
“Teorema
di
Pitagora”. In realtà il suo
enunciato (ma non la sua
dimostrazione) era già noto
agli egizi e ai babilonesi. Il
teorema dice: «In ogni
triangolo rettangolo, l'area
del
quadrato
costruito
sull'ipotenusa è equivalente
alla somma delle aree dei
quadrati
costruiti
sui
cateti».
La dimostrazione del teorema di Pitagora più immediata e più diffusa
nei libri scolastici consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato
uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo
rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro
copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in
figura.
Le grandezze
incommensurabili
Il teorema di Pitagora portò
i pitagorici alla scoperta
degli incommensurabili. Se
in un quadrato si applica il
teorema
al
triangolo
rettangolo isoscele formato
dai
suoi
lati
e
dalla
diagonale si scopre che la
diagonale del quadrato e il
suo
lato
sono
incommensurabili,ossia
che
diagonale e lato non hanno
alcun sottomultiplo comune.
C
D
d
l
A
Non erano esprimibili
attraverso un rapporto di
due numeri interi. Erano
dunque incommensurabili.
B
Siano d e l la diagonale ed il lato di un quadrato e
supponiamo che siano commensurabili, ossia che il loro
rapporto d/l sia un numero razionale m/n, con m ed n
numeri reali privi di fattori comuni. Per il teorema di
Pitagora si ha che d2= l2+l2 ossia (d/l)2= 2, ma d/l = m/n,
per cui (m/n)2= 2, cioè m2=2n2. Pertanto m2 è pari e quindi
m è pari. Se poniamo m=2p si ha che 4p2=2b2 da cui
otteniamo che anche n dovrebbe essere pari contro l’ipotesi
che m ed n non avessero fattori in comune. Ne segue che
l’ipotesi della commensurabilità tra diagonale e lato di un
quadrato è falsa.
La crisi nel mondo matematico
La scoperta mise in crisi la loro stessa concezione
dell'Universo dove, dicevano, "tutto è numero", cioè tutto
si poteva esprimere tramite numeri interi. L’esistenza di
grandezze incommensurabili e conseguentemente dei nuovi
numeri che si era obbligati a introdurre, gli irrazionali,
era in contraddizione non solo con le convinzioni
filosofiche dei pitagorici, ma metteva anche in crisi il
concetto stesso di infinito della filosofia greca.
I greci pensarono di
riuscire a superare queste
difficoltà passando a un
ragionamento geometrico
indipendente dall'aritmetica
e "interpretando la
geometria come studio del
continuo e l'aritmetica come
studio del discontinuo".
Secondo la leggenda, fu
proibito ai membri della setta
di rivelare ad altri queste
scoperte. Il "traditore" fu il
pitagorico Ippaso di
Metaponto che divulgò il
segreto, un discepolo che mal
tollerava l'autorità di
Pitagora.
Per il suo tradimento,
Ippaso venne messo al bando
dai pitagorici che, si
racconta, gli innalzarono un
monumento funebre, perché
fosse chiaro che per loro era
morto. Si narra anche che lo
stesso Giove, adirato contro
di lui, lo fece perire in un
naufragio.
I numeri irrazionali,
le classi contigue e
la radice quadrata di
due …
I NUMERI IRRAZIONALI
Un numero irreale che non è un numero razionale, cioè’
non può essere razionale è un numero scritto come una
frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. I
numeri irrazionali sono quei numeri la cui espansione in
qualunque base non termina mai e non forma una
sequenza periodica. "Quasi tutti" i numeri reali sono
irrazionali.
Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come √2,
che tratteremo tra poco.
Ma c’è una fine??
le classi contigue
E LA RADICE DI DUE
Scrivere √2 in forma decimale puo’ essere solo un’approssimazione.
Uno dei possibili risultati potrebbe essere 1,41421……questo dimostra
che radice di due non si puo’ scrivere sotto forma di frazione e quindi
è un numero irrazionale.
Cerchiamo la posizione della radice di due sulla linea dei numeri.
√2=1,41421... =› 1‹√2‹2
1
l’1, è il valore
approssimato per
difetto a meno di una
unità
2
il 2, è il valore
approssimato per
eccesso a meno di
una unità.
per cui sicuramente
1
1.4  2  1.5
1,4 1,5
1,4 è il valore approssimato
per difetto a meno
di unità
1
10
2
1,5 è il valore
approssimato per eccesso
a meno
di unità
1
10
Ora confrontiamo le approssimazioni della linea dei numeri calcolate con
un foglio elettronico …
valore per
difetto
Valore per
eccesso
Errore
Max
1
2
1
1.4
1.5
1.41
1.42
1.414
1.415
1
1000
1.4142
1.4143
1
10000
….
….
1
10
1
100
E così abbiamo le classi contigue della radice di due …
Cd  1;1.4; 1.41; 1.414;...
Ce  2; 1.5;1,42; 1,415;...
vediamo che le due classi Cd e Ce
sono separate, cioè ogni elemento della prima classe è
sicuramente minore di ogni elemento della seconda classe:
cd‹ce
Le classi con tali proprietà si dicono contigue .
Nel nostro caso √2 “determina e separa” le due classi Cd e Ce.
Si definisce numero irrazionale l’ elemento separatore di una coppia
di classi contigue di numeri razionali.
Una costruzione classica riguardante i numeri irrazionali e nota come Spirale
di Teodoro permette di costruire geometricamente le radici quadrate dei
numeri interi a partire da un triangolo rettangolo isoscele avente cateti di
lunghezza unitaria.
Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1:
COSTRUZIONE DELLA
RADICE QUADRATA DI
DUE
Per il teorema di Pitagora si ha allora che OB ha lunghezza pari a radice
quadrata di 2. Se ora, come in figura, si costruisce un nuovo triangolo
rettangolo, retto in B, con cateti OB e BC, di cui l'ultimo di lunghezza
unitaria;
sempre per il teorema di
Pitagora è chiaro che
l'ipotenusa OC di OBC ha
lunghezza radice quadrata di
3. Ripetendo ciclicamente il
procedimento si ottengono
facilmente tutte le radici
quadrate dei numeri naturali.
COSTRUZIONE DI
RADICE DI 3
Costruzione geometrica delle radici quadrate dei numeri naturali
LA SPIRALE DI TEODORO
STORIA DI UN
NUMERO FAMOSO:Π
Dai Babilonesi … ai nostri giorni
-In Mesopotamia il ruolo della geometria era
insignificante e quasi sempre legato ad
applicazioni pratiche. Per ottenere l'area del
cerchio usavano la formula A=c2/12,dove c
indica la circonferenza. Ciò equivale ad
usare per π il valore 3.
-Il valore assegnato a p dai babilonesi
era approssimato per difetto. Gli
antichi egizi assegnavano invece a π un
valore approssimato per eccesso
Occorre arrivare al grande Archimede
di Siracusa (287-212 a.C.), per avere
i primi due decimali esatti di π. Egli
cerca di calcolare la lunghezza della
circonferenza per mezzo del perimetro
dei poligoni inscritti e circoscritti.
La circonferenza ha infatti una
lunghezza compresa tra il perimetro di
un poligono inscritto e quello di un
poligono circoscritto ad essa. Per tale
via, egli riesce quindi a stabilire due
valori tra cui π è compreso: (3+10/71)
< π< (3+1/7). Il primo dei due valori
vale 3,1408... e il secondo vale
3,1428...
Sono occorsi quasi due millenni per
passare da una a tre cifre esatte del
nostro numero.
Non basterà invece il tempo passato e
futuro dell'umanità per trovare tutte
le altre cifre
E' stato dimostrato infatti da Lambert nel 1761 che p
è un numero irrazionale. Perciò le sue cifre decimali
sono illimitate e non periodiche e nessuno potrà mai
scriverle tutte. Successivamente, nel 1882, Lindemann
dimostrò che p è un numero trascendente, ponendolo in
una particolare categoria di numeri irrazionali, che si
distinguono rispetto a quelli cosiddetti algebrici .
I Romani, non dedicavano molti
sforzi allo studio delle scienze
(che non fossero quelle
giuridiche o militari). Essi si
limitarono alla conoscenza,
senza ulteriori
approfondimenti, delle opere
dei greci.
Gli uomini del Medioevo
dovevano risolvere problemi di
stretta sopravvivenza (del
corpo e dell'anima) e non
potevano certo dedicarsi agli
studi.
- François Viète
- John Wallis
- Gottfried Wilhelm von Leibniz
- William Jones
- Leonhard Euler
«i Pitagorici credono di scorgere nei
numeri più che nel fuoco o nella terra o
nell'acqua, un gran numero di
somiglianze con le cose che esistono e
sono generate [...] pareva loro evidente
che i numeri fossero l'essenza
primordiale di tutto l'universo fisico»
metafisica
L'evoluzione è la legge della vita. Il
numero è la legge dell'universo. L'unità
è la legge di dio.
Pitagora