Cos’è un numero irrazionale??
• In matematica, un numero irrazionale è ogni numero reale che non può
essere scritto come una frazione a / b con a e b interi ….. I numeri
irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espressione decimale non
termina mai e non forma una sequenza periodica
Secondo la tradizione Ipparco
scoprì i numeri irrazionali mentre
tentava di rappresentare la radice
di 2 come frazione. Tuttavia
Pitagora credeva
nell’incommensurabilità dei numeri
e non poteva accettare l’esistenza
dei numeri irrazionali. Egli non era
in grado di confutare la loro
esistenza, ma le sue credenze non
potevano tollerarne l’esistenza e,
secondo una leggenda, per questo
condannò Ipparco a morire
annegato.
IRRAZIONALE … ma …
Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di
2 è la seguente, che procede per assurdo:
è un numero razionale esisteranno due interi a e b tali che a/b =
•
è una frazione irriducibile a/b tale che a e b sono interi primi tra loro e
(a/b)2=2
• Segue che a2 / b2 = 2 ed a2 = 2b2
• Dunque a2 è pari perché è uguale a 2b2 che è ovviamente pari
• Segue che anche a deve essere pari
• Poiché a è pari, esiste un intero k che soddisfa: a = 2k
• Sostituendo otteniamo: 2b2 = (2k)2, cioè b2 = 2k2
• Poiché 2k2 è pari segue che anche b2 è pari e quindi anche b è pari
• a e b sono entrambi pari, che contraddice il fatto che a / b sia irriducibile
• Se
A volte possiamo confonderci e scambiare i
numeri periodici per i numeri irrazionali …
per evitare ciò dobbiamo trasformare un
numero che ci viene dato in frazione:
Seguendo le istruzioni della
spiegazione illustrata
proviamo a calcolare:
3,7162162162162162162..
• per iniziare scriviamo il numero in
forma periodica
• ora sottraiamo l’intero e
antiperiodo all’intero numero
(37162-37=37125)
• ora mettiamo al denominatore tanti
nove quante sono le cifre del periodo
e tanti zeri quante sono quelle
dell’antiperiodo
• ora cerchiamo di semplificare per
ridurre la frazione il più possibile
Essendo riusciti a scrivere il numero in frazione siamo sicuri
che 3,7162162162162…. NON E’ IRRAZIONALE
Una costruzione classica riguardante i numeri irrazionali e nota come Spirale di
Teodoro permette di costruire geometricamente le radici quadrate dei numeri
interi:
Lavoro: ”La spirale dell’incommensurabile”
Viaggio nel mondo dell’incommensurabile
Professoressa: G. Case
Realizzato da: Carmen Tavolari, Alessia Rossini, Massimo
Barile, Francesco Coviello e Luisa Peciccia
a.s.: 2008/2009
Liceo classico “Socrate”