La meravigliosa storia della radice quadrata di 2
Numero che, moltiplicato per se stesso, dà 2
Radice quadrata di 2
Lunghezza del lato del quadrato di area 2
d

l
d
2
l
C

d
Capitolo I:
Appunti di storia
Babilonesi
XIX – XVI a.C.
Greci
VI a.C. – III d.C.
Arabi
VIII – XIV d.C.
1900 – 1600 a.C.
Rapporto tra diagonale e lato del quadrato
Costante fondamentale
Incredibile accuratezza
YBC 7289 (Yale Babylonian Collection)
2  1, 41421296
2  1, 4142135623730950...
355

113
Tsu Ch’ung-chih
Scuola Pitagorica di Crotone VI-V sec. a.C.
Pitagora di Samo (VI sec a.C.)
•
esigenza dimostrativa
•
“tutto è numero”
•
aritmogeometria
•
scoperta delle grandezze incommensurabili
“La scoperta dell’incommensurabilità reciproca di certe lunghezze, prima fra tutte la
diagonale del quadrato e il suo lato, dovette rappresentare fin dal primo momento un vero
scandalo logico, uno scoglio temibile, indipendentemente dal fatto che fosse opera del
Maestro o dei suoi discepoli.
[…] Se la scuola pitagorica ebbe mai dei misteri riservati ai soli iniziati, l’incommensurabilità
dovette quindi farne parte”.
Paul Tannery - 1882
Dialoghi platonici
Menone (380 a.C.)
SOCRATE: Coloro che se ne intendono chiamano
questa linea diagonale; sicché, se essa ha nome diagonale,
allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone,
si può ottenere l'area doppia.
RAGAZZO: Certamente, o Socrate.
Teeteto (368 – 365 a.C.)
TEETETO: Teodoro disegnava un qualcosa per noi
intorno alle potenze, per esempio su quella di tre piedi
e su quella di cinque, mostrando che per lunghezza queste potenze
non si possono misurare con la lunghezza di un piede.
E così scegliendo una per ciascuna le potenze
giunse fino alla diciassettesima e in questa si trattenne.
La scuola di Atene - dettaglio
Raffaello Sanzio (1508-11)
EVCLIDE
MEGARENSE
PHILOSOPHO,
SOLO INTRODVTTORE
DELLE SCIENTIE
MATHEMATICE.
Euclide – 300 a.C. ca.
La proposizione 9 del libro X
stabilisce per via geometrica
l’irrazionalità dei numeri di tipo n per ogni intero n
che non sia un quadrato perfetto.
DILIGENTEMENTE RASSETTATO, ET ALLA
integrità ridotto, per il degno professore di tal Scientie
Nicolo Tartalea Brisciano.
SECONDO LE DVE TRADOTTIONI.
CON VNA AMPLA ESPOSITIONE
dello istesso tradottore di nuovo aggiunta.
TALMENTE CHIARA, CHE OGNI MEDIOCRE
ingegno, senza la notitia, ouer suffragio di alcun'altra
scientia
con facilità serà capace a poterlo intendere.
IN VENETIA. Appresso Curtio Troiano 1565
La scuola di Atene - dettaglio
Raffaello Sanzio (1508-11)
Medioevo
(476 caduta di Roma, 1453 caduta di Costantinopoli)
Grande fioritura della cultura islamica (750 – 1400)
traduzioni e commenti dei classici
(Euclide, Tolomeo, Archimede, Apollonio…)
Mohammed ibn Musa al-Khowârizmî (780 – 850)
Astronomo; scrive Al-jabr w’al muqâbala
Omar Al-Khayyam (1048 - 1123)
soluzione geometrica delle equazioni di terzo grado
critica alla teoria euclidea delle parallele
al-Khowârizmî
Al-jabr
“aggiustare”
algoritmo
sequenza finita e non ambigua
di istruzioni che portano
ad un risultato.
Algebra
Don Chisciotte della Mancia
(1605-1615)
algebrista = conciaossa
Diagonale e lato del quadrato
sono incommensurabili
Geometria
Radice quadrata di 2
è la soluzione (positiva)
dell’equazione
x 2
2
Aritmetica
Radice quadrata di 2
è irrazionale
The square root of two = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070
388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999
505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626
036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543
746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156
185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447
015858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003
186480342194897278290641045072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504
018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326802474420629269124859052181004459842150
591120249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518488
472089694633862891562882765952635140542267653239694617511291602408715510135150455381287560052631468017
127402653969470240300517495318862925631385188163478001569369176881852378684052287837629389214300655869
568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040883914292338113206052433629485317049915771
756228549741438999188021762430965206564211827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839
599926521176252698917540988159348640083457085181472231814204070426509056532333398436457865796796519267
292399875366617215982578860263363617827495994219403777753681426217738799194551397231274066898329989895
386728822856378697749662519966583525776198939322845344735694794962952168891485492538904755828834526096
524096542889394538646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720548068540575867999670
121372239475821426306585132217408832382947287617393647467837431960001592188807347857617252211867490424
977366929207311096369721608933708661156734585334833295254675851644710757848602463600834449114818587655
554286455123314219926311332517970608436559704352856410087918500760361009159465670676883605571740076756
905096136719401324935605240185999105062108163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934
984451126922780344913506637568747760283162829605532422426957534529028838768446429173282770888318087025
339852338122749990812371892540726475367850304821591801886167108972869229201197599880703818543332536460
211082299279293072871780799888099176741774108983060800326311816427988231171543638696617029999341616148
786860180455055539869131151860103863753250045581860448040750241195184305674533683613674597374423988553
285179308960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396189314549999906107587049090260883
517636224749757858858368037457931157339802099986622186949922595913276423619410592100328026149874566599
688874067956167391859572888642473463585886864496822386006983352642799056283165613913942557649062065186
021647263033362975075697870606606856498160092718709292153132368281356988937097416504474590960537472796
524477094099241238710614470543986743647338477454819100872886222149589529591187892149179833981083788278
153065562315810360648675873036014502273208829351341387227684176678436905294286984908384557445794095986
260742499549168028530773989382960362133539875320509199893607513906444495768456993471276364507163279154
701597733548638939423257277540038260274785674172580951416307159597849818009443560379390985590168272154
034581581521004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169451035379371568823365932297
823192986064679789864092085609558142614363631004615594332550474493975933999125419532300932175304476533
964706627611661753518754646209676345587386164880198848497479264045065444896910040794211816925796857563
784881498986416854994916357614484047021033989215342377037233353115645944389703653166721949049351882905
806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814424045269137066609777638784866238003392
32437047411533187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014296092832411362752540887…
1 2  2
M1
2
A
4


1 1 3

1 2
1 2
M G  1 2  2
2 2
 MG 
2
1 2 3
MA 

2
2
3 4

2 3
 MA M1
A
Capitolo II: Esperienze sensoriali
2
Cheese!
Duplicazione del quadrato
Duplicazione di qualsiasi poligono
Moltiplicare ogni lato
per 2 equivale a
raddoppiare l’area
del poligono.
Ogni passaggio equivale a dividere per 2 il raggio del diaframma,
quindi a dimezzare l’area del diaframma.
“Quando due cerchi toccano
un medesimo quadrato in quattro punti,
uno è il doppio dell’altro.”
“Quando due quadrati toccano
lo stesso cerchio in quattro punti,
uno è il doppio dell’altro.”
Leonardo da Vinci: Uomo vitruviano – 1490 ca.
Rettangolo diagonale
“Le simmetrie migliori per definire le dimensioni di un atrio,
elemento essenziale dell’abitazione romana, sono tre,
e corrispondono ai rapporti 5/3 per la prima e 3/2 per la seconda;
nel terzo si descriva la larghezza in un quadrato di lati eguali,
e in questo quadrato si tiri la diagonale;
e questo sarà lo spazio della detta linea, tanta sia la lunghezza dell’atrio.”
Marco Vitruvio De architectura
cap 4, libro IV
“Le più belle e proporzionate maniere di stanze,
e che riescono meglio sono sette:
percioche ò si faranno ritonde, e queste di rado: ò quadrate;
ò la lunghezza loro sarà per la linea diagonale
del quadrato della larghezza;
ò d’un quadro & un terzo; ò d’un quadro e mezo;
ò d’un quadro, e due terzi; ò di due quadri”
I quattro libri dell’architettura libro I,
cap. XXI Delle loggie, delle entrate, delle stanze: & della forma loro.
Andrea di Pietro (1508-1580)
4
3
1
2
3
2
5
3
2
Risoluzione 259 – 16/10/10:
Andrea Palladio è il "Padre" dell'architettura americana
Michel Ventrone (1936 – 2001)
Porta di Armonia – 1997
Il rettangolo diagonale
è lungo 9,20 metri e largo 6,50 m.
Si trova ad Annemasse, in Alta Savoia.
1: x  x : 2
x 2

1 x
1
x  2
x
Qual è quel numero che
è uguale al doppio del suo reciproco?
Ogni rettangolo diagonale contiene due rettangoli diagonali
con i lati scambiati di posizione.
1975: formato a norma internazionale ISO126
Massa di un foglio A0 = 80 g
Massa di un foglio A4 = 5 g
141%  2
An  A  n  1
1
71% 
2
An  A  n  1
“Fa diesis non è musica ma matematica,
e cioè la somma di cinques più cinques!”
Alessandro Bergonzoni
" … mentre passava dinanzi all'officina di un fabbro,
per sorte divina udì dei martelli che,
battendo il ferro sopra l'incudine,
producevano echi in perfetto accordo armonico tra loro,
eccettuata una sola coppia.
Egli riconobbe in quei suoni gli accordi di ottava, di quinta e di quarta
e notò che l'intervallo tra quarta e quinta era in se stesso dissonante
ma tuttavia atto a colmare la differenza di grandezza tra i due.
Rallegrato che con l'aiuto di un dio
il suo proposito fosse giunto a compimento,
entrò nell'officina
e dopo molto prove scoperse
che la differenza nell'altezza dei suoni
dipendeva dalla massa dei martelli “
Giamblico - Vita di Pitagora
"Il vero miracolo non è che i numeri hanno effetto sulle cose,
quanto piuttosto che essi possono esprimere la natura delle cose.“
Johannes Kepler (1571-1630)
1597 - Mysterium cosmographicum
1609 – Astronomia nova
1619 - Harmonices mundi
Scala a temperamento equabile
All’interno di ogni ottava si inseriscono undici note intermedie
tali che sia costante il rapporto tra le frequenze associate a due note consecutive
r 2
12
12
1
2
 2
12
2
   2  2
3
12
6
2
12
8
12
10
 2  2  2  2  2  2
12
2
12
4
12
5
12
7
12
9
12
11
2
Clavicembalo ben temperato
1722-1744
Capitolo III: Nemiciamici
rettangolo diagonale
L
 2
l
1: x  x : 2
2
è medio proporzionale tra 1
e il successivo di 1
rettangolo aureo
L 1 5


l
2
1: x  x : 1  x 
 è medio proporzionale tra 1
e il successivo di 
1
x  2
x
1
x  1
x
2
è il doppio del suo reciproco
 è il successivo del suo reciproco
Spirale degli irrazionali
Teodoro di Cirene (465 a.C. - ?)
Spirale logaritmica
Jacob Bernoulli (1654 – 1705)
1
1  x
x
Sviluppo in frazioni continue
1
  1
2  1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2  ...
1
1
1
1  ...
1  x  x2
2  2  2  2  2  2  ...
  1  1  1  1  1  ...
1593: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2




 ...

2
2
2
2
2
François Viète (1540-1603)
1655: Arithmetica infinitorum

2  2  4  4  6  6  8  ...

2 1 3  3  5  5  7  7  9  ...
 2  2  6  6  10 10 
2 


 ...
 1  3  5  7  9 11 
John Wallis (1616-1703)
1682: serie di Gregory-Leibniz

1 1 1 1 1 1 1
 1         ...
4
3 5 7 9 11 13 15
2  1
1
1
1 3
1 3  5



 ...
2 2  4 2  4  6 2  4  6 8
James Gregory (1639-1675)
1748: Introductio in analysin infinitorum

1 1 1 1 1 1 1
 1         ...
3 5 7 9 11 13 15
2 2
   
 
   
 
2
4
4
4
 1           ...
2
1 2 1 2  4 1 2  4  6
2
4
6
Leonard Euler(1707-1783)
www.polymath.it
FINE