Dai numeri figurati al
concetto di
incommensurabilità:
un possibile percorso!
di
Gemma Gallino e Stefania Serre
Pitagora
I numeri figurati
triangolari
1
36
I numeri figurati
triangolari
6
quadrati
1
4
9
Si può osservare che:
Triangolo acutangolo:
Triangolo ottusangolo:
Triangolo rettangolo:
E’ utile ricordare che…….
La matematica si discosta dalle
altre materie perché dimostra non solo
“quel che c’è”,
ma anche
“quello che sicuramente non c’è”
SCOPRIAMO IN QUALE MODO
SIA POSSIBILE!
Teniamo presenti i numeri figurati di
Pitagora
Se il lato del quadrato si può ricoprire
con un numero intero di palline...
...si potrà fare lo stesso per la
diagonale?
Se il lato del quadrato si può ricoprire
con un numero intero di palline...
...si potrà fare lo stesso per la
diagonale?
Questa non è una soluzione accettabile:
non si possono lasciare spazi vuoti!
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
Non funziona!
Si riuscirà in qualche modo?
GIOCO della SCACCHIERA
GIOCO della SCACCHIERA
Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera
Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera
Utilizzando questi tasselli...
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
E’ possibile coprire tutta la scacchiera ?
Osserviamo che:
Osserviamo che:
Osserviamo che:
• Abbiamo eliminato dalla scacchiera
due caselle bianche
• Ogni tassello copre una casella
bianca e una nera
• Quante sono le caselle bianche?
• Quante sono le caselle nere?
Osserviamo che:
• Abbiamo eliminato dalla scacchiera
due caselle bianche
• Ogni tassello copre una casella
bianca e una nera
• Quante sono le caselle bianche?
• Quante sono le caselle nere?
Sono in numero diverso!
Resteranno sempre libere due caselle nere.
Abbiamo dimostrato che:
E’ impossibile ricoprire
questa scacchiera con i
nostri tasselli
Dimostrare in matematica significa:
- Partire da proprietà accettate come vere.
- Argomentare logicamente i passaggi effettuati.
- Arrivare a una conclusione sicuramente vera:
E’ impossibile ricoprire
questa scacchiera con i
nostri tasselli
Siamo passati da un approccio
sperimentale...
“…proviamo...”
…a un approccio matematico!
“…dimostriamo che è
impossibile...”
Lato e diagonale di un quadrato sono
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
Lato e diagonale di un quadrato sono
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
Lato e diagonale di un quadrato sono
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
Rivediamo la dimostrazione proposta
nel dialogo tra Ippaso e i pitagorici.
Supponiamo che:
n
m
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
Supponiamo che:
C
D
b
a
A
B
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
C
D
Supponiamo che:
b
a
A
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
Teorema di Pitagora
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
a/b è ridotta ai minimi
termini
b è dispari
a=2c
a2=4c2
2b2=4c2
b2=2c2
b2 è pari
b è pari
C
D
Supponiamo che:
b
a
A
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
Teorema di Pitagora
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
a/b è ridotta ai minimi
termini
b è dispari
a=2c
a2=4c2
2b2=4c2
b2=2c2
b2 è pari
b è pari
C
D
Supponiamo che:
b
a
A
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
Teorema di Pitagora
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
a=2c
a2=4c2
2b2=4c2
a/b è ridotta ai minimi
termini
b è dispari
b2=2c2
b2 è pari
contraddizione
b è pari
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
cioè che esista una unità di
misura contenuta a volte nella
diagonale e b volte nel lato...
b
a
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
…. questa affermazione ci porterà a delle
conclusioni contraddittorie.
b è dispari
contraddizione
b è pari
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
…. questa affermazione ci porterà a delle
conclusioni contraddittorie.
Perciò dobbiamo concludere che:
lato e diagonale sono incommensurabili
Una dimostrazione matematica,
per essere soddisfacente,
deve possedere tre qualità:
inevitabilità, imprevedibilità, economia.
Deve somigliare a una costellazione
semplice e ben delineata,
non a un ammasso stellare sparso nella
Via Lattea.
(Hardy)
fine.
fine.
Queste diapositive fanno parte di un
percorso sul significato di dimostrazione
intitolato “L’eredità di PITAGORA”
elaborato per il CE.SE.DI Torino
Le illustrazioni sono tratte dal libro di
Anna Parisi
“Numeri magici e stelle vaganti”
ed. Lapis