LE GRANDEZZE INCOMMENSURABILI
I NUMERI IRRAZIONALI
“Gli dei non hanno rivelato ogni cosa
fin dall’origine, ma l’uomo con la sua
ricerca paziente riesce a scoprire
ogni cosa” [Senofane, 540 a. C. ]
PITAGORA E LA STRANA CLASSE DI NUMERI
Pitagora e la sua scuola di matematici pensavano che il
mondo fosse fondato sui numeri, e che i numeri fossero
lo specchio della perfezione. Poi un giorno si
incontrarono con una classe di numeri decimali
assolutamente strana, e Pitagora proibì ai suoi allievi,
pena la morte, di divulgare al pubblico, come facevano
solitamente per la geometria e l'aritmetica, quella
orrenda scoperta. Per la cronaca uno degli allievi,
Ippaso di Metaponto tradì confidando a Platone, il
pettegolo dell’epoca, la tragica scoperta. La
conseguenza fu che morì vittima di un naufragio.
Come si chiama quella classe di numeri, e che cosa
hanno di strano?
Cominciamo a spiegare la
faccenda partendo dal
concetto di classe di
grandezze omogenee
Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezze
omogenee se hanno delle qualità per cui si può stabilire :
una relazione di confronto, cioè, dati due qualsiasi elementi di G è
sempre possibile stabilire fra loro una sola relazione
a<b, a=b, a>b
un’operazione di somma in modo che si può definire in G
l’elemento c per cui
è valida la relazione
c= a+b
I segmenti
costituiscono
una classe
di grandezze omogenee.
Due segmenti si dicono COMMENSURABILI se esiste una
misura comune che sia contenuta un numero intero di volte in
entrambi.
Ad es. due segmenti dei quali uno sia doppio dell’ altro,sono
certamente commensurabili tra loro (il più piccolo funge da
unità di misura u e ha misura 1 rispetto ad u, mentre l’altro ha
misura 2).
In generale, il rapporto tra le misure di due segmenti
commensurabili dà luogo ad una frazione tra due numeri interi
Ad es. ½, 2/3, ¾….
I NUMERI DETTI RAZIONALI SONO QUELLI CHE SI
POSSONO RAPPRESENTARE CON LE FRAZIONI tra
NUMERI INTERI.si possono scrivere senza virgola ,se sono
numeri interi, con la virgola e possono avere un numero finito o
infinito di cifre (ad es. 5, 1,5, 0,3333, 0,142857142857)
Data la lunghezza come qualità di due segmenti
è sempre possibile stabilire se sono uguali, o al contrario, quale dei due è
maggiore,
La LUNGHEZZA,dunque, è
una proprietà confrontabile, nel senso che si può decidere quale dei due
segmenti è più lungo dell’altro,
inoltre possiede la proprietà dell’additività, nel senso che i due segmenti si
possono addizionare o sottrarre.
La bontà di una persona non è una grandezza perché non è confrontabile con
quella di un’altra persona.
DEFINIZIONE: LE GRANDEZZE CHE SI POSSONO CONFRONTARE
E SOMMARE SI DICONO OMOGENEE,quelle che non si
possono confrontare tra di loro si dicono ETEROGENEE
Un’ altra importante proprietà delle grandezze è quella di
avere una MISURA
Definizione: SI DICE MISURA DI UNA GRANDEZZA IL
NUMERO DI VOLTE CHE UN’ ALTRA GRANDEZZA,
OMOGENEA ALLA PRIMA E PRESA COME UNITÀ
DI MISURA E’ CONTENUTA IN ESSA.
Quando ad essere sommata è la stessa grandezza presa
più volte, si avrà un multiplo di tale grandezza. Così ad
es. se riportiamo per tre volte un segmento a
consecutivamente sulla stessa retta otterremo un
segmento b triplo di a, e scriveremo: b= 3a.
Analogamente diremo che a è un sottomultiplo di b
secondo il fattore 3 e scriveremo: a = 1/3 b.
Diremo anche che 3 è il rapporto tra b e a.
Misurare una grandezza significa esprimerla mediante un
numero reale.
GRANDEZZE INCOMMENSURABILI
DEFINIZIONE:
Due grandezze omogenee si dicono
INCOMMENSURABILI quando non esiste
nessuna grandezza che è contenuta un
numero intero di volte in ciascuna di esse.
Segue che il rapporto tra le misure di due
grandezze incommensurabili è un numero
IRRAZIONALE .
Un esempio di grandezze
incommensurabili
• il lato e la diagonale di un quadrato
• il lato e l’ altezza di un triangolo
equilatero
• il lato e l’ apotema dell’ esagono
regolare
• la circonferenza ed il suo raggio
Ragionamento per assurdo
supponiamo che lato e diagonale siano commensurabili, cioè
abbiano un sottomultiplo comune u
Teor.di Pitagora
AC =pu AB =qu
AB²+BC²=AC²
q²u²+q²u²=p²u²
p²=2q²
Possiamo supporre che p e q siano primi fra loro
P² è pari, dunque p è pari, allora q deve essere dispari
pongo p = 2s, allora
4s² = 2q²
2s² = q²
q² pari, dunque q è pari
q dovrebbe essere contemporaneamente pari e dispari, il
che è assurdo.
Dunque il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili
« Esplorare il π è
come esplorare
l'Universo… »
(David Chudnovsky)
Il simbolo π per la costante di Archimede è stato
introdotto nel 1706 dal matematico inglese William
Jones quando pubblicò A New Introduction to
Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato
utilizzato in precedenza per indicare la
circonferenza del cerchio.
il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso
William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di
Pitagora
La costante matematica π è utilizzata
moltissimo in matematica e fisica.
Nella geometria piana, π viene
definito come il rapporto tra la
circonferenza e il diametro di un
cerchio, o anche come l'area di un
cerchio di raggio 1
π è conosciuto anche come la costante di
Archimede (da non confondere con i
numeri di Archimede), la costante di
Ludolph o numero di Ludolph.
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Contrariamente ad un'idea comune, π
non è una costante fisica o naturale,
quanto piuttosto una costante
matematica definita in modo astratto,
indipendente dalle misure di carattere
fisico.
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A causa della sua natura trascendente,
non ci sono semplici espressioni finite
che rappresentano π. Di conseguenza i
calcoli numerici devono usare
approssimazioni del numero. In molti
casi, 3,14 è sufficiente
La conoscenza non lascia nulla di
nascosto. Così nacquero i numeri
irrazionali, che non sono esprimibili
con un rapporto di interi,
come le radici quadrate, il pi greco.
Sono quei numeri il cui
sviluppo decimale procede
all’infinito.
Fu così che l’infinito approdò
sulle rive della matematica e
del pensiero.
Finisce così la teoria
pitagorica che il
NUMERO ha la facoltà
di regolatore del
mondo intero……