La matematica non è un aggregato di formule
astratte, ma rappresenta il cammino del
pensiero dell'uomo.
I numeri Irrazionali..
•Giulia Bellezza
•Anastasia De Giglio
•Alessia Lentano
•Giorgia Ruta
•Roberta
Riflettevo sul
fatto che..
Scusate, mi presento sono
Pitagora
Filosofo un po’ antico
Mileto 375 a.C Metaponto 495 a.C.
Figura maggiore della filosofia rivestito da un
alone di leggenda.
Prototipo del “filosofo antico” propone ai suoi
discepoli:
• uno stile di vita dedicata alla ricerca della
verità
• un isolamento dai problemi della città (biòs
theoreticòs).
Nasce la
matematica = “insegnamento” (in greco);
i matematici (discepoli più esperti nell’insegnamento)
che hanno superato l’iniziazione
gli acusmatici invece possono solo ascoltare
una leggenda narra che Pitagora parlava loro dietro una tenda
1
2
10
3
0,51
124
1009756
i principi della matematica
sono i numeri
I pitagorici si
chiedevano
cosa ci fosse
al principio
dell’universo
(αρχή).
• nei numeri credettero
più che nel fuoco
• capirono che nel numero
vi era l’essenza di ogni realtà:
tutto è numero
tutto è
numeralizzabile
2
10
0,51
1 3 124 1009756
i principi della matematica
sono i numeri
I pitagorici associavano:
• il cosmo, qualcosa di tangibile, illimitato e
concreto alla razionalità dei numeri
• la negatività del chaos all’irrazionalità
dei numeri
Il calcolus o “sassolino” era utilizzato
dai pitagorici per compiere i calcoli...
Due grandezze omogenee
si dicono
incommensurabili
quando non ammettono
una grandezza sottomultipla
comune…
Dimostrazione..
AC e AB sono
incommensurabili?
QUADRATO
AC= DIAGONALE
AB= LATO
Per ASSURDO
Supponiamo che AC e AB siano segmenti
commensurabili: data una grandezza sottomultipla
comune U contenuta m volte in AC e n volte in AB.
n AC = m AB.
Con il teorema di Pitagora sul triangolo ABC si ha
n2= 2 m2.
Si è giunti ad un assurdo perché n2 contiene 2
elevato ad esponente pari, mentre il secondo
membro contiene 2 elevato ad esponente dispari.
Questo è un assurdo.
Ne consegue che AC e AB
sono segmenti incommensurabili.
La definizione di rapporto per le grandezze
commensurabili non ha significato per quelle
incommensurabili.
Grandezze
commensurabili
Grandezze
incommensurabili
Nuovo rapporto
Riprendiamo il caso precedente.
Confrontiamo AC e AB :
AB<AC<2AB
riportando AB su AC si nota che AB è
contenuto una sola volta con il resto di r.
Ripetendo il procedimento possiamo
dedurre che non si avrà mai un resto nullo.
Se ciò accadesse si otterrebbe un numero
irrazionale.
Si viene a costruire così un allineamento
decimale, illimitato, non periodico.
Q+ U I+ = R+
I+
Q+
R+
Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo);
esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili,
irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.
“ Esplorare
π
è come esplorare
l’Universo…”
David Chudnovsky
La storia del π :
Nasce nel 1706 dal
matematico inglese William
Jones
È un numero
irrazionale e
trascendente
È anche
conosciuto
come la
costante di
Archimede
π
Non può essere
scritto come
quoziente di due
interi
Non è una
costante fisica,
bensì matematica
La sua approssimazione
è 3,14
Costruzione geometrica delle
radici quadrate dei numeri
naturali
costruisce geometricamente le
radici quadrate dei numeri
interi a partire da un triangolo
rettangolo isoscele avente
cateti di lunghezza unitaria
Consideriamo
il triangolo
OAB di figura
in cui OA=1
Per il teorema di Pitagora
OB =√2.
si costruisce un nuovo triangolo rettangolo
retto in B con cateti OB e BC, tale che BC=1
l'ipotenusa di OBC
OC =√3
Iterando il procedimento
si ottengono tutte le radici
quadrate
dei numeri naturali (√N)
Si ottiene
inoltre tale
figura:
…ma c’è un numero razionale che al
quadrato fa esattamente due?
La reductio ad absurdum, tanto
amata da Euclide è una delle più belle
armi di un matematico. E’ un
gambetto molto più raffinato di
qualsiasi gambetto degli scacchi: un
giocatore di scacchi può offrire in
sacrificio un pedone o anche qualche
altro pezzo, ma il matematico offre la
partita.”
“
G.H.Hardy
Le grandezze non sempre possono
essere espresse sotto forma di
frazioni.
Per questo esiste un’altra categoria di
numeri chiamati irrazionali.
Questi non possono essere scritti
come decimali, né come decimali
periodici.
La misura esatta della diagonale
del quadrato di lato 1 è √2
ogni tentativo di scriverlo in forma
decimale può soltanto essere
un’approssimazione ad
1,414213562373..
2
1
valore
approssimato per
difetto a meno di
una unità
2
valore
approssimato per
eccesso a meno di
una unità
La ricerca della posizione di √2 all’interno
dell’intervallo avvia un procedimento infinito
e genera due classi di numeri
i cui elementi sono gli infiniti valori
approssimati rispettivamente
per difetto e per eccesso
Cd  1;1.4; 1.41; 1.414;...
Ce  2; 1.5;1,42; 1,415;...
º Le classi sono separate:
Cd<Ce
º Fra le due classi c’è un avvicinamento indefinito
º Le classi si dicono contigue
√
2
determina
separa
Cd
Ce
Si definisce numero irrazionale l’elemento separatore di
una coppia di classi contigue di numeri razionali che
rappresentano i suoi valori approssimati rispettivamente
per difetto e per eccesso.
Grazie per avermi
ascoltato..il mio lavoro
finisce qui…ora torno ai
miei pensieri. Buona
fortuna!