Grandezze omogenee
La Misura
Misurare una grandezza significa
confrontarla con un’altra scelta come
un’unità di misura e associare ad essa,
mediante il confronto, un numero che
permetta di ricostruire la grandezza
data.
U
A
B
AB=3U
3 è la misura di AB rispetto ad U
Ad ogni grandezza AB possiamo associare
una misura?
Ma se con la misura U non ricopriamo
interamente AB….
U
A1
A
AA1 < AB < AB1
3U < AB < 4U
B
B1
Dividiamo U in parti più piccole , ad esempio in
dieci parti. U1=U/10
U1
A1
A
AB=36U1 = 3,6 U
B
B1
Ma se nemmeno con la misura U1 ricopriamo
Interamente AB….
U1
A2
A1
A
AA1 <
B2
B
AA2 < AB < AB2 < AB1
B1
Possiamo continuare questo
procedimento e possono
verificarsi due casi:
1. Il procedimento ha
termine…abbiamo trovato la
misura di AB rispetto un
sottomultiplo di U
Ad esempio AB=3,678 U
2. Il procedimento non ha
termine….
Nel secondo caso determino due insiemi
di grandezze
- AA1, AA2, AA3, AA4,….
- AB1, AB2, AB3, AB4,….
A2 A3B3B2
A
A1
B
B1
Tali che le misure delle prime sono tutte più
piccole delle misure delle seconde
( infatti i punti A1, A2, A3…precedono tutti i
punti B1, B2, B3….)
Quale sarà la misura di AB?
Un numero tale da essere
o il massimo delle misure della prima
classe
o il minimo delle misure della seconda
classe.
A2 A3B3B2
A
Esiste tale numero?
A1
B
B1
Richiamo : Postulato di Dedekind (continuità della retta)
“Due parti complementari e separate di una retta
hanno sempre l’elemento di separazione”



Complementari: l’unione da tutta la retta
Separate: ogni punto della prima precede i punti della
seconda
Elemento separatore: l’ultimo punto della prima parte
o il primo della seconda
Postulato di Dedekind per le grandezze
“Divisa una classe di grandezze in due insiemi
complementari e separati, o il primo insieme ha
massimo o il secondo insieme ha minimo.”
A2 A3B3B2
A
A1
B
B1
Quindi la misura di AB esiste ed è o la
grandezza massima del primo insieme o
la grandezza minima del secondo….
Questo numero può essere:
1. Un numero razionale
2. Un numero irrazionale
Ad ogni grandezza quindi possiamo
associare un numero reale
che è la sua misura rispetto ad
una unità di misura U.
AB=rU con r numero reale
Grandezze omogenee
Grandezze
commensurabili e
incommensurabili
Def. : Due grandezze aventi un sottomultiplo
in comune si dicono commensurabili.
AB/n=CD/m con n e m naturali
In questo caso AB=n/m CD
Ovvero se due grandezze sono
commensurabili la misura di una rispetto
all’altra è un numero razionale.
Teorema
Il lato del quadrato e la sua diagonale non
sono commensurabili.
l
d
Def. : Due grandezze (della stessa specie) si
dicono incommensurabili quando non hanno
sottomultipli comuni.
In questo caso la misura di una rispetto
all’altra è un numero irrazionale
AB = i CD (i numero irrazionale)