A08
298
Daniele Zaccaria
SCIENZA
DELLE
COSTRUZIONI
STRUMENTI E CONCETTI
Copyright © MMX
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, 133/A–B
00173 Roma
(06) 93781065
ISBN
978–88–548–3454-5
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: settembre 2010
Indice
Premessa
xi
1 Grandezze, vettori e tensori
1.1 Grandezze fisiche e unità di misura . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Algebra delle grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Leggi fisiche, grandezze derivate e dimensioni . . . .
1.1.4 Il Sistema Internazionale di Unità . . . . . . . . . . . .
1.2 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Algebra vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Trasformazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Forme lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gradiente di un campo scalare . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tensori doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gradiente di un campo vettoriale . . . . . . . . . . .
1.4 Rappresentazione algebrica (in componenti) . . . . . . . . . .
1.4.1 Sistema di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Rappresentazione dei vettori . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Rappresentazione dei tensori doppi . . . . . . . . . . .
1.4.4 Tensori doppi definiti dal prodotto e dal doppio prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Rappresentazione dei gradienti di campi scalari e vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
4
6
10
14
15
17
18
20
20
22
25
26
27
28
30
v
32
34
vi
Indice
1.5 Rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.5.1 Tensore rotazione e tensore ortogonale . . . . . . . .
35
1.5.2 Componenti di un tensore rotazione . . . . . . . . . .
38
1.5.3 Trasformazione delle componenti di un vettore e di
un tensore doppio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.6 Direzioni principali di un tensore doppio (simmetrico) . . .
41
1.6.1 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.6.2 Diagonalizzazione della matrice delle componenti . .
42
1.6.3 Alcune proprietà delle direzioni principali . . . . . . .
44
1.6.4 Caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Equazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Calcolo delle direzioni principali . . . . . . . . . . . . .
47
Formule di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Circonferenza di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Alcune proprietà della circonferenza di Mohr . . . . .
53
Proprietà degli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Punti rappresentativi degli assi di riferimento . . .
54
Punti rappresentativi degli assi principali
54
. . . . .
Costruzione della circonferenza . . . . . . . . . . .
54
Valori e direzioni principali . . . . . . . . . . . . . .
55
1.6.5 Caso spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Equazione caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Invarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Traccia e determinante di un tensore doppio . . .
57
Tensori sferici e deviatorici . . . . . . . . . . . . . .
58
Prodotto scalare di due tensori doppi . . . . . . . .
58
Soluzioni dell’equazione caratteristica . . . . . . . . .
59
Tre autovalori distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Un autovalore semplice e un autovalore doppio . .
60
Un autovalore triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Esistenza di un sistema di riferimento principale .
61
Autovalori di una matrice reale simmetrica di dimensione generica . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Arbelo di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Proprietà di estremo dei valori principali . . . . . .
66
2 Modelli meccanici delle strutture
2.1 Componenti elementari delle strutture
2.2 Corpo continuo . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Geometria del corpo continuo .
Corpo microcontinuo . . . . .
2.2.2 Solidi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Terreno . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modelli monodimensionali . . . . . . . .
2.3.1 Geometria delle curve spaziali .
2.3.2 Fili . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Travi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Travi di sezione sottile . . . . . .
2.3.5 Problema di Saint-Venant . . . .
2.4 Modelli bidimensionali . . . . . . . . . .
2.4.1 Membrane . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Lastre . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Travi di sezione sottile . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Indice
vii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
69
72
72
74
74
75
76
77
78
82
82
84
85
86
87
88
89
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
92
92
94
94
97
97
99
101
102
104
104
106
106
107
108
112
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Fondamenti di meccanica dei solidi
3.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Deformazione e spostamento . . . . . . . . . . . . .
Corpi microcontinui . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Gradienti della deformazione e degli spostamenti
3.1.3 Misure di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . .
Dilatazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dilatazione quadratica e dilatazione cubica . .
Scorrimento tra due linee orientate . . . . . . .
Scorrimento tra una linea ed una superficie . .
3.1.4 Proprietà della funzione di deformazione . . . . .
Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iniettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivabilità e invertibilità locale . . . . . . . . .
Preservazione dell’orientazione . . . . . . . . . .
3.1.5 Moto e velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
viii
Indice
3.2.1 Dinamica dei sistemi di particelle . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Estensione al caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . .
Assunzione fondamentale della dinamica del corpo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Massa, quantità di moto e momento della quantità di
moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimostrazione del teorema del trasporto di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cenni alla meccanica dei fluidi . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Forze e momenti delle forze . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Forze e momenti specifici . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forza esterna per unità di volume . . . . . . . . . .
Forza esterna per unità di superficie . . . . . . . . .
Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Momenti specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Equazioni di bilancio in forma integrale . . . . . . . .
3.2.7 Tensioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principio di azione e reazione . . . . . . . . . . . . .
Ipotesi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimostrazione dell’ipotesi di Cauchy . . . . . . . .
Componenti normale e tangenziale di tensione . .
3.3 Piccoli spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . .
3.3.1 Corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Teoria del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Teoria del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Grandi spostamenti e piccole deformazioni . . . . . .
3.3.5 Cinematica linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Moto rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Descrizione del moto rigido . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Ipotesi di piccole rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Campo delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
116
120
121
122
124
124
125
126
127
128
130
130
132
132
134
135
136
137
138
138
139
140
140
142
144
4 Comportamento dei materiali
4.1 Modelli di comportamento dei materiali . . . . . . . . . . . .
Materiali omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Materiali isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
145
146
147
116
118
Indice
ix
4.2 Prova di trazione monoassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Dilatazione vera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Prova di torsione (o di taglio semplice) . . . . . . . . . . . . . 152
4.4 Modelli ideali di comportamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Elasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Plasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4.1 Elasticità lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Modulo di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Modulo di elasticità tangenziale . . . . . . . . . 158
Coefficiente di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4.2 Elasticità non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.4.3 Dominio di elasticità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.4.4 Elastoplasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4.5 Viscoelasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.5 Prove sui materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.5.1 Materiali metallici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.5.2 Calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.6 Duttilità, fragilità e modelli di danneggiamento . . . . . . . . 172
4.7 Verifiche di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Tensioni ammissibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5 Fondamenti di meccanica delle travi
181
5.1 Geometria della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.1 Modellizzazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.2 Riferimento locale lungo l’asse della trave . . . . . . . 184
5.2 Ipotesi cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2.1 Campi di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2.2 Modello cinematico di sezione indeformata . . . . . . 187
5.2.3 Variabili cinematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2.4 Componenti locali degli spostamenti e delle rotazioni 189
Teoria di Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.1 Forze esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.3.2 Caratteristiche della sollecitazione . . . . . . . . . . . 193
x
Indice
5.3.3 Componenti locali delle forze e delle caratteristiche
della sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Relazione tra le componenti delle caratteristiche della sollecitazione e le componenti di tensione . . . . .
5.4 Travi piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vincoli e reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vincoli piani semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizio (doppio doppio pendolo) . . . . . . . . . .
5.5.2 Vincoli piani doppi e tripli . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Cenno ai vincoli Spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Incastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cerniera sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cerniera cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appoggio sferico scorrevole . . . . . . . . . . . . . .
Appoggio cilindrico scorrevole . . . . . . . . . . . .
5.6 Sistemi di travi e vincoli interni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
196
197
199
201
203
204
206
207
207
207
207
208
208
Riferimenti bibliografici
213
Indice analitico
217
Premessa
In questo volume sono descritti in modo organico i principali concetti alla base della Scienza delle costruzioni insieme ad alcuni di quegli
strumenti matematici indispensabili sia per la descrizione stessa che per
la successiva elaborazione della materia. Lo scopo è quello di descrivere
sia le grandezze fisiche oggetto di studio che i modelli fisico matematici
impiegati nella successiva fase di elaborazione teorica per il calcolo di
quelle stesse grandezze fisiche.
Poiché esistono vari ambiti particolari in cui i modelli di uso più comune non forniscono risposte soddisfacenti, si faranno anche alcuni accenni volti a chiarire i limiti delle ipotesi utilizzate e su come costruire
modelli più generali. Per non interrompere il flusso principale del discorso, molte osservazioni e complementi sono demandati alle note a piè di
pagina salvo che non siano di notevole ampiezza. In tal caso sono inseriti nel testo principale sia a corpo più piccolo che nettamente separati
dal resto da un opportuno simbolo grafico.
Stante il ruolo della lingua inglese quale lingua scientifica internazionale, si è inoltre pensato di fare cosa utile indicando in note a piè di
pagina alcuni termini utilizzati in tale lingua a significare i vari concetti
che via via vengono presentati.
Lo scopo di un intero capitolo dedicato ad illustrare alcuni degli strumenti matematici utilizzati nell’ambito della Scienza delle costruzioni è
quello di averne una descrizione in sintonia con l’uso che ne viene fatto
nel seguito ma, non secondario, anche quello di colmare eventuali lacune nelle conoscenze di tali strumenti. Nel caso delle grandezze fisiche,
xi
xii
Premessa
argomento di primaria importanza per tutte le scienze applicate, la necessità di questi richiami risiede nell’aleatorietà delle conoscenze acquisite normalmente in tale campo, spesso demandate non a corsi specifici,
ma agli stessi corsi che ne fanno uso, prassi che tra l’altro spinge a sottovalutarne l’importanza. Per quel che riguarda il concetto di tensore,
questi non sempre è acquisito in modo coerente in corsi precedenti ed
inoltre è in un tale contesto concettuale che meglio si trovano descritte
quelle proprietà tensoriali che sono comuni a tutti i particolari tensori
simmetrici utilizzati nell’ambito della Scienza delle costruzioni (come il
tensore degli sforzi di Cauchy, il tensore di deformazione infinitesima e
il tensore piano di inerzia). Il problema della determinazione dei valori
e delle direzioni principali, così come la descrizione di Mohr (introdotta
originariamente per il solo tensore degli sforzi) sono quindi collocate in
tale contesto.
Capitolo
1
GRANDEZZE, VETTORI E TENSORI
1.1
Grandezze fisiche e unità di misura
1.1.1 Grandezze fisiche
Nel corso della presente trattazione si farà uso di diverse grandezze
fisiche per cui non risulta fuori luogo richiamare brevemente i concetti
correlati.1
Si ricorda anzitutto che con il termine di grandezza fisica2 si indica
ogni proprietà fisica (di un corpo, di una sostanza, di un fenomeno, di un
1
L’uso delle grandezze fisiche e la loro simbologia è stata oggetto di standardizzazione internazionale da parte dell’International Organization for Standardization (ISO)
di Ginevra, che ha pubblicato 14 standard sull’argomento (ISO-31, 1992). Tredici di
questi sono stati recepiti in altrettante norme dall’UNI, Ente Nazionale Italiano di Unificazione. Due di queste norme hanno carattere generale: la UNI CEI ISO 31-0 (1996)
che fornisce informazioni generali sugli aspetti principali delle grandezze fisiche e dei
sistemi coerenti di unità di misura, con particolare riguardo al Sistema Internazionale
di Unità e la UNI CEI ISO 31-11 (1998) che fornisce informazioni generali riguardanti i
segni e i simboli matematici. Le restanti norme riportano le denominazioni, i simboli
e le definizioni delle grandezze e delle relative unità di misura dei vari settori della
fisica. Di rilievo per la presente trattazione sono la UNI CEI ISO 31-03 (2002) per le
grandezze della meccanica e la UNI CEI ISO 31-04 (2001) per le grandezze relative al
calore.
2
Altre grandezze, oltre quelle fisiche, sono per esempio quelle economiche che
esprimono proprietà correlate alla sovrastruttura creata dall’attività economica dell’uomo. Nella letteratura inglese si usano i termini quantity per grandezza e physical
quantity per grandezza fisica.
1
2
Capitolo I
processo o altro) che può essere quantificata. Quantificare una proprietà
significa fondamentalmente istituire delle regole di misura che permettano di definire il rapporto numerico tra due particolari manifestazioni
della proprietà stessa.3 Per semplicità si utilizzerà nel seguito il termine
grandezza particolare4 per riferirsi ad una particolare manifestazione di
una grandezza fisica. È inoltre usuale riferirsi al rapporto numerico tra
grandezze particolari, esito di un procedimento di misura, quale misura
della prima grandezza particolare rispetto alla seconda.
Si ricorda poi che più grandezze si possono spesso ricondurre ad
un’unica grandezza o, in altri termini, possono essere della stessa specie.
Due grandezze sono della stessa specie innanzitutto nel caso in cui ad
entrambe le grandezze si applichino le stesse regole di misura, come per
esempio nel caso della lunghezza di un pezzo di stoffa e dell’altezza di
una persona, entrambe grandezze di tipo lunghezza.5 Ma due grandezze sono più in generale della stessa specie se almeno qualche grandezza
particolare della prima può essere misurata, con lo stesso esito, utilizzando le regole di misura della seconda e viceversa. Per esempio si riesce
in tal modo a rapportare le lunghezze citate precedentemente (lunghezza di un pezzo di stoffa, altezza di una persona) alla distanza tra la terra
e la luna, così come questa alla distanza tra due galassie, che diventano
quindi entrambe grandezze di tipo lunghezza.
Le regole di misura stabiliscono fondamentalmente dei criteri che
3
Alcuni autori, tra cui Sartori (1979, p. 50 e p. 56), considerano tra le grandezze
fisiche delle proprietà che possono essere espresse da un numero ma per le quali non
ha senso il rapporto numerico, come per esempio l’istante di tempo e il livello di temperatura, in quanto il numero ad esse associato dipende dalla scelta di una origine.
È però conveniente riservare sia all’istante di tempo che al livello di temperatura il
ruolo di enti analoghi ad un punto dello spazio e catalogare invece tra le grandezze
esclusivamente l’intervallo di tempo e l’intervallo di temperatura, per le quali ha perfettamente senso il rapporto numerico. Come la scelta di un punto dello spazio preso
quale origine permette di associare ad un punto generico le sue coordinate, misure di
opportune distanze dall’origine, così per esempio la scelta di un dato istante di tempo
quale origine temporale permette di associare ad un istante di tempo generico la sua
coordinata temporale, misura dell’intervallo di tempo che separa l’istante di tempo
generico dalla prescelta origine temporale.
4
Quantity in the particular sense nella letteratura inglese.
5
Si noti che il termine lunghezza è utilizzato in senso generale per indicare tutte le
grandezze della stessa specie delle “lunghezze” vere e proprie.
Grandezze, vettori e tensori
3
consentano sperimentalmente:6
1. di definire l’uguaglianza di due grandezze particolari, ovverossia
di verificare se due grandezze particolari sono uguali, maggiori o
minori una dell’altra;
2. di definire la somma di due grandezze particolari, ovverossia di
ottenere una terza grandezza particolare da due grandezze particolari date.
All’uguaglianza e alla somma si richiede di soddisfare le usuali proprietà formali, ovverossia l’identità, la riflessività e la transitività per
l’uguaglianza, l’associatività e la commutatività per la somma.
Il rapporto numerico tra due grandezze particolari si ottiene suddividendo l’una in un numero opportuno di parti uguali e valutando quante
volte occorra sommare tale parte a se stessa per ottenere una grandezza
particolare immediatamente inferiore oppure superiore all’altra. Si individua in tal modo un intervallo di numeri razionali, più o meno ristretto
a seconda che il procedimento di misura sia più o meno accurato: più la
suddivisione della prima grandezza è fine più il procedimento di misura
è accurato. La successione degli intervalli di numeri razionali individuati
da misure via via più accurate definiscono idealmente un numero reale, inteso quale limite della successione stessa. È conveniente riferirsi a
questo ideale numero reale quale rapporto tra due grandezze particolari
poiché in tal modo l’algebra delle grandezze fisiche si riconduce all’algebra dei numeri reali, con tutti i vantaggi teorici che questa riduzione
comporta.
Data una grandezza fisica, si può adottare convenzionalmente una
grandezza particolare quale sua unità di misura7 per esprimere una qualunque grandezza particolare tramite il rapporto che questa ha con l’unità di misura. Il rapporto tra la grandezza particolare e l’unità di misura
viene detto valore numerico o misura della data grandezza particolare,
restando implicito che la grandezza particolare a cui viene rapportata è
l’unità di misura. È comunque evidente che la misura di una grandezza
particolare dipende dalla unità di misura in cui è espressa.
6
Due testi italiani che trattano estesamente dei problemi legati alla misura sono
Sartori (1979) e Arri e Sartori (1984).
7
Unit of measurement nella letteratura inglese.
4
Capitolo I
1.1.2 Algebra delle grandezze fisiche
Come detto, le regole di misura stabiliscono l’uguaglianza e la somma di grandezze particolari della stessa specie e quindi l’algebra di una
grandezza fisica. È poi possibile definire il prodotto di due grandezze
fisiche, rendendo in tal modo significativo il prodotto di due unità di
misura. Una scrittura del tipo N m indicherà quindi non solo l’unità
di misura del momento di una forza ma anche il fatto che tale unità di
misura sia ottenuta dal prodotto dell’unità di misura N della forza con
l’unità di misura m della lunghezza.8
Si consideri nel seguito una data grandezza fisica G quale insieme
delle sue grandezze particolari g. Se si indica con [g] l’unità di misura della stessa grandezza fisica e con {g} la misura della grandezza
particolare g ∈ G si può allora scrivere simbolicamente:
{g} =
g
.
[g]
(1.1)
Per esempio, se la massa di un pezzo di roccia ha valore numerico 10
rispetto all’unità di misura kg della massa, allora:
{massa del pezzo di roccia} =
massa del pezzo di roccia
= 10.
kg
Il rapporto tra grandezze particolari uguaglia il rapporto tra le corrispondenti misure:9
g1
{g1 }
=
,
g2
{g2 }
per ogni g1 , g2 ∈ G.
(1.2)
Il rapporto di due grandezze particolari è stato definito basandosi sul
loro confronto e quindi sulla definizione di uguaglianza. Ne consegue
8
La norma UNI CEI ISO 31-0 (1996, p. 2) è in accordo con tale uso. Vi sono però alcuni autori, tra cui Barenblatt (1987, p. 21), che ritengono privi di significato operazioni
del genere.
9
Infatti si suddivisa l’unità di misura in n parti e siano m1 /n e m2 /n le misure
immediatamente inferiori delle due grandezze particolari g1 e g2 , nel senso che (m1 +
1)/n e (m2 + 1)/n ne sono delle misure superiori. Ne risulta che m1 /(m2 + 1) =
m1 /n
(m1 +1)/n
è una misura inferiore di g1 rispetto a g2 , così come(m1 + 1)/m2 = m
(m2 +1)/n
2 /n
ne è una misura superiore. L’ideale limite per n → ∞, che definisce la misura come
m1 /n
(m +1)/n
numero reale, dimostra quindi l’assunto, poiché limn→∞ (m +1)/n
= limn→∞ m1 /n .
2
2
Grandezze, vettori e tensori
5
che grandezze uguali hanno la stessa misura:
g1 = g2
⇔
{g1 } = {g2 },
(1.3)
per ogni g1 , g2 ∈ G.
Il rapporto di due grandezze particolari è stato definito basandosi sul
confronto della prima di queste con la somma di un numero opportuno
di parti dell’altra. Ne consegue che la misura della somma di due grandezze particolari coincide con la somma delle misure di tali grandezze
particolari:
g3 = g1 + g2 ⇐⇒ {g3 } = {g1 } + {g2 },
(1.4)
per ogni g1 , g2 , g3 ∈ G.
Il prodotto di un numero reale a per una grandezza particolare g ∈ G
resta definito dalla condizione:
g1 = ag ⇐⇒
g1
= a.
g
(1.5)
Se {g} è la misura di una grandezza particolare rispetto all’unità di misura [g], prendendo {g} volte l’unità di misura [g] si costruisce una
grandezza particolare avente la stessa misura di g e quindi coincidente
con g. Dal punto di vista sperimentale, se m/n è una misura più o meno
accurata della grandezza particolare g, allora prendendo m volte la nesima parte dell’unità di misura [g] si ottiene una grandezza più o meno
accuratamente coincidente con g. Se, come nell’esempio dato più sopra,
la massa di un pezzo di roccia ha valore numerico 10 rispetto all’unità
di misura kg della massa ne consegue:
massa del pezzo di roccia = 10 kg .
Data una grandezza fisica G, si definisce la grandezza fisica inversa
1/G definendo in modo opportuno i rapporti tra le inverse 1/g ∈ 1/G
delle grandezze particolari g ∈ G:
1/g1
g2
=
,
1/g2
g1
(1.6)
per ogni g1 , g2 ∈ G. Analogamente, date due grandezze fisiche G e
Q, si definisce la grandezza fisica prodotto GQ delle date grandezze
6
Capitolo I
definendo in modo opportuno i rapporti tra i prodotti gq ∈ GQ delle
grandezze particolari g ∈ G e q ∈ Q:
!
!
g1 q1
g1
q1
=
,
(1.7)
g2 q2
g2
q2
per ogni g1 , g2 ∈ G e q1 , q2 ∈ Q. Moltiplicando una grandezza fisica
G per l’inversa di un’altra grandezza Q si ottiene poi la definizione del
rapporto G/Q delle due grandezze fisiche:
!
!
g1 /q1
g1
1/q1
g1 /g2
=
=
,
(1.8)
g2 /q2
g2
1/q2
q1 /q2
per ogni g1 , g2 ∈ G e q1 , q2 ∈ Q. Per esempio nel caso di un moto
uniforme di un punto materiale si definisce la grandezza velocità v del
punto quale rapporto tra lo spazio s percorso dal punto (grandezza di
tipo lunghezza) e l’intervallo di tempo t occorso a percorrerlo:
v=
s
.
t
(1.9)
Il significato di tale definizione è che date le velocità v1 e v2 di due punti
materiali che si muovono di moto uniforme, il primo percorrendo lo spazio s1 nell’intervallo di tempo t1 e il secondo lo spazio s2 nell’intervallo
di tempo t2 allora il rapporto delle due velocità è definito, in accordo
con la (1.8), in funzione del rapporto tra gli spazi percorsi e quello tra
gli intervalli di tempo:
s1 /s2
v1
=
.
(1.10)
v2
t1 /t2
1.1.3 Leggi fisiche, grandezze derivate e dimensioni
Una legge fisica esprime in generale un legame tra più variabili fisiche, espressa tramite una uguaglianza tra grandezze diverse. Per esempio, se f è la forza applicata ad un punto materiale di massa m la cui
accelerazione vale a sussiste la relazione:
f = ma.
(1.11)
Il significato di tale legge fisica è che se alla massa m1 e alla accelerazione a1 corrisponde la forza f1 e alla massa m2 e alla accelerazione a2
Bibliografia
Arri, E. e Sartori, S. (1984) Le Misure di Grandezze Fisiche. Manuale di
Metrologia. Paravia, Torino.
Barenblatt, G. I. (1987) Dimensional Analysis. Gordon and Breach, New
York.
Bell, J. F. (1973) The experimental foundations of solid mechanics. In
Encyclopedia of Physics, Volume VIa/1: Mechanics of Solids I (A cura di
C. Truesdell). Springer-Verlag, Berlin.
BIPM (1998) The International System of Units (SI). Bureau International
des Poids et Mesures, 7a edizione.
Bowen, R. M. e Wang, C. C. (1976) Introduction to Vectors and Tensors,
Volume 1: Linear and Multilinear Algebra. Plenum Press, New York.
Carpinteri, A., a cura di (1992) Meccanica dei Materiali e della Frattura.
Pitagora, Bologna.
Colombo, G. (1975) Manuale dell’Ingegnere. Hoepli, Milano, 80a edizione.
Courtney, T. H. (1990) Mechanical Behavior of Materials.
Sciences and Engineering. McGraw-Hill, New York.
Materials
do Carmo, M. P. (1976) Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
213
214
Bibliografia
Gilardi, G. (1994) Analisi Tre. Collana di Istruzione Scientifica, Serie di
Matematica. McGraw-Hill Libri Italia, Milano.
Gilardi, G. (1995) Analisi Uno. Collana di Istruzione Scientifica, Serie di
Matematica. McGraw-Hill Libri Italia, Milano, seconda edizione.
Gordon, J. E. (1976) La Scienza dei Materiali Resistenti ovvero perchè non
sprofondiamo nel pavimento. Mondadori, Milano.
Gordon, J. E. (1979) Strutture ovvero perchè le cose stanno in piedi.
Mondadori, Milano.
Gurtin, M. E. (1981) An Introduction to Continuum Mechanics., vol. 158 di
Mathematics in Science and Engineering. Academic Press, San Diego,
California.
ISO-31 (1992) Quantities and Units.
Standardization, Geneva.
International Organization for
Kittel, C., Knight, W. D. e Ruderman, M. A. (1970) La Fisica di Berkeley 1,
Meccanica. Zanichelli, Bologna.
Lemaitre, J. e Chaboche, J.-L. (1990) Mechanics of Solid Materials.
Cambridge University Press, Cambridge.
Levi-Civita, T. e Amaldi, U. (1949) Lezioni di Meccanica Razionale, Volume
Primo: Cinematica - Principi e Statica. Zanichelli, Bologna.
Lipschutz, S. (1975) Algebra Lineare. Etas, Milano.
Love, A. E. H. (1944) A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity.
Dover, New York.
Nadai, A. (1950) Theory of Flow and Fracture of Solids, Volume 1.
McGraw-Hill, New York, seconda edizione.
prEN 10138-1 (2006) Prestressing steels - Part 1: General requirements.
Sartori, S., a cura di (1979) Le Misure nella Scienza, nella Tecnica, nella
Società. Manuale di Metrologia. Paravia, Torino.
Bibliografia
215
Sedov, L. I. (1971) A Course in Continuum Mechanics Volume I: Basic
Equations and Analytical Techniques. Wolters-Noordhoff, Groningen.
Taylor, B. N. (1995) Guide for the use of the international system of units
(SI). Special Publication 811, NIST National Institute of Standards and
Technology.
Tricomi, F. G. (1970) Istituzioni di Analisi Superiore, Metodi Matematici
della Fisica. Cedam, Padova, seconda edizione.
Truesdell, C. e Toupin, R. (1960) The classical field theories. In Encyclopedia of Physics, Volume III/1: Principles of Classical Mechanics and
Field Theory (A cura di S. Flügge), pp. 226–793. Springer-Verlag, Berlin.
Truesdell, III, C. A. (1991) A First Course in Rational Continuum Mechanics, Volume 1: General Concepts. Academic Press, Boston, seconda
edizione.
UNI CEI ISO 31-0 (1996) Grandezze ed Unità di Misura: Principi Generali.
UNI Ente Nazionale di Unificazione, Milano.
UNI CEI ISO 31-03 (2002) Grandezze ed Unità di Misura: Meccanica. UNI
Ente Nazionale di Unificazione, Milano.
UNI CEI ISO 31-04 (2001) Grandezze ed Unità di Misura: Calore. UNI Ente
Nazionale di Unificazione, Milano.
UNI CEI ISO 31-11 (1998) Grandezze ed Unità di Misura: Segni e Simboli
Matematici da Usare nelle Scienze Fisiche e nella Tecnica. UNI Ente
Nazionale di Unificazione, Milano.
UNI EN 10025-1 (2005) Prodotti laminati a caldo di acciai per impieghi
strutturali - Parte 1: Condizioni tecniche generali di fornitura.
UNI EN 10080 (2005) Acciaio per cemento armato - Acciaio saldabile per
cemento armato - Generalità.
UNI EN 1990 (2006) Eurocodice - Criteri generali di progettazione
strutturale.
216
Bibliografia
UNI EN 1991-1-1 (2004) Eurocodice 1 - Azioni sulle strutture. Parte 1-1:
Pesi per unità di volume, pesi propri e sovraccarichi per gli edifici.
UNI EN 1991-1-3 (2004) Eurocodice 1 - Azioni sulle strutture. Parte 1-3:
Azioni in generale - Carichi da neve.
UNI EN 1991-1-4 (2005) Eurocodice 1 - Azioni sulle strutture. Parte 1-4:
Azioni in generale - Azioni del vento.
UNI EN 1992-1-1 (2005) Eurocodice 2 - Progettazione delle strutture in
calcestruzzo. Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici.
UNI EN 1993-1-1 (2005) Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di
acciaio. Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici.
UNI EN 1998-1 (2005) Eurocodice 8 - Progettazione delle strutture per la
resistenza sismica - Parte 1: Regole generali, azioni sismiche e regole
per gli edifici.
UNI EN 206-1 (2006) Calcestruzzo - Parte 1: Specificazione, prestazione,
produzione e conformità.
UNI EN ISO 15630-3 (2004) Acciaio per calcestruzzo armato e calcestruzzo armato precompresso - Metodi di prova - Parte 3: Acciaio per
calcestruzzo armato precompresso.
Wang, C. C. e Truesdell, C. (1973) Introduction to Rational Elasticity.
Noordhoff, Leyden.