In geometria analitica con
il termine CONICA si
intende genericamente una
curva piana che sia luogo
dei punti ottenibili
intersecando la superficie
di un cono circolare retto
con un piano.
L’equazione generale che
rappresenta le coniche è:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0
Il primo matematico ad
occuparsi delle sezioni coniche
fu Menecmo (375-325 a.C), un
matematico greco discepolo di
Platone maestro di Alessandro
Magno.
Inizialmente una sezione conica era definita come
l’intersezione di un cono circolare retto con un piano
perpendicolare alla generatrice del cono: si ottiene
infatti una parabola se l’angolo al vertice è retto,
un’ellisse se è acuto, un’iperbole se è ottuso.
La sistemazione razionale della
trattazione delle coniche avvenne
con Apollonio di Perga (c. 262-190
a.C.), detto il Grande Geometra,
che consolidò ed approfondì
risultati nell’opera Le Coniche.
Apollonio fu il primo ad attribuire
i nomi di ellisse, parabola, ed
iperbole alle coniche. Tali nomi
traggono origine dal confronto di
due grandezze caratteristiche di
ciascuna curva.
Ellisse :“mancanza”, iperbole
"andare oltre" e parabola,
"mettere accanto".
Apollonio dimostrò che non
era necessario prendere
sezioni perpendicolari a un
elemento del cono, e che da
un unico cono era possibile
ottenere tutte e tre le
varietà di sezioni coniche
variando l’inclinazione del
piano di intersezione.
Un campo in cui le coniche rivestirono
una notevole importanza fu l’arte,
principalmente durante il
Rinascimento e il Barocco. Nel
Rinascimento le coniche si ritrovano
nelle forme prospettiche di pittori e
architetti.
Nel XV secolo lo studio delle Coniche di
Apollonio sarà anche di guida a Keplero
(1571- 1630) per la formulazione delle tre
leggi sul moto dei pianeti che portano il suo
nome.
Keplero formulò per le coniche formavano
un insieme privo di interruzioni o salti.
L'idea che la parabola abbia
due fuochi di cui uno
improprio, cioè all'infinito, è
dovuta a Keplero, così come
il termine fuoco (dal latino
focus, focolare, derivante
dalla proprietà fisica già
nota ad Archimede, che
utilizzò contro le navi
romane che assediavano
Siracusa, per cui uno
specchio parabolico
concentra i raggi paralleli
provenienti dal sole in un
punto che è il fuoco
geometrico).
Un'altra importante applicazione
è dovuta a Galileo (1564- 1642), il
quale dimostrò che il moto di un
proiettile ha come traiettoria una
parabola. Inoltre le coniche
trovarono importanti applicazioni
nel campo dei fenomeni ondulatori.
Per la legge della riflessione della
luce, un paraboloide rotondo, cioè
una superficie ottenibile facendo
ruotare di un giro completo una
parabola attorno al proprio asse
presenta particolari proprietà che
gli permettono di essere
utilizzato come potente
telescopio, come riflettore, come
antenna per le comunicazioni
spaziali, come radio telescopi.
XVII si sviluppò una visione unitaria delle
coniche come proiezione del cerchio su di
un altro piano (Desargues 1593-1662).
Questo è il primo passo verso quello
studio organico della geometria
proiettiva intrapreso poi da Poncelet
(1822).
I risultati ottenuti da Apollonio per via
sintetica, relativi alle proprietà delle
coniche verranno poi raggiunti, circa
1800 anni più tardi grazie
all'introduzione di nuovi metodi algebrici
basati sulle coordinate cartesiane, ad
opera di Cartesio e Fermat, che
permisero di risolvere problemi e
verificare proprietà in modo più
semplice, anche se forse meno
affascinante.
Nell’opera Géométrie, Cartesio
derivò l’equazione generica di
una conica passante per
l’origine, che rappresentava il
punto di vista più unitario che
fosse mai stato applicato
all’analisi delle sezioni coniche.
Cartesio specificò le condizioni
cui dovevano soddisfare i
coefficienti perché la conica
fosse una retta, una parabola,
un’ellisse o un’iperbole. In
seguito, grazie all’opera di
Fermat, si dimostrò che
l’equazione di una conica
generica è un’equazione
algebrica di secondo grado in x
e y.
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐
Contemporaneamente Blaise
Pascal (1623-1662) scrisse il
“Saggio sulle sezioni
coniche”, in cui formulò uno
dei fondamentali teoremi di
geometria proiettiva, noto
come Teorema di Pascal: i sei
vertici di un esagramma
giacciono su una conica se e
solo se i punti di intersezione
delle tre coppie di lati
opposti giacciono su una
stessa retta (vedi figura a
lato).
La parabola fornisce un eccellente modo
per amplificare i suoni provenienti da
una particolare posizione e allo stesso
tempo attenuare tutti gli altri suoni.
Nella parabola, tutte le onde sonore
parallele al suo asse vengono riflesse in
un unico punto detto fuoco. Ponendo un
picccolo microfono proprio in questo
punto si riceverà tutta l'energia che
colpisce il piatto della parabola. Se il
microfono è da solo riceve solo una
piccola parte dell'energia emanata e
inoltre, riceve anche anche altri suoni
indesiderati che non permettono di
isolare il suono desiderato.
Se invece si pone un microfono nel
fuoco di una parabola con piatto di
circa 50 cm di diametro la
situazione è ben diversa. La
superficie che riceve le onde
sonore è infatti circa 5000 volte
maggiore di quella che offre il
microfono da solo. In tal modo,
anche la quantità di energia sonora
che colpisce il microfono viene
incrementata di 5000 volte e
verranno ricevuti solo i suoni
desiderati. Sullo stesso principio si
basano le parabole satellitari poste
sui tetti delle nostre case: non si
tratta più di onde sonore, ma
magnetiche; non c'e più il
microfono ma un apposito
convertitore.
Gli specchi ustori ed i riflettori dei fari
utilizzano lo stesso principio delle antenne
paraboliche ma in modo opposto .
Probabilmente il primo faro ad utilizzare
queste proprietà focali fu il faro di
Alessandria, considerato all'epoca una
delle sette meraviglie del mondo. Si dice
che fosse alto 85 metri e che potesse
esser visto a circa 50 km di distanza. Fu
costruito nel 280 a. C., ovvero nell'epoca
in cui lo studio delle coniche da parte dei
Greci era in pieno sviluppo. Soltanto nel
XVII secolo con la ripresa dello studio
delle coniche venne recuperata anche
questa arte.
Ai nostri giorni anche i fari delle
automobili ed i proiettori in genere
utilizzano lo stesso principio.
Una proprietà dei fuochi di un'ellisse consiste nel fatto che
la perpendicolare all’ellisse in un suo punto qualsiasi divide per
metà l’angolo formato dai segmenti che uniscono questo punto
con i due fuochi. Di conseguenza se si parla, o addirittura si
bisbiglia, in un fuoco di una camera a volta ellittica, le onde
sonore si rifletteranno sulla volta e andranno a concentrarsi
di nuovo nell’altro fuoco, dove possono essere udite da una
persona che occupa quella posizione.