Le coniche
Le coniche
Lo studio delle curve piane chiamate coniche, e cioè le ellissi, le parabole e le iperboli, risale
all'antichità. Un’analisi pressoché completa delle proprietà di tali curve è redatta dall'altro grande
matematico greco, dopo Euclide e Archimede: Apollonio di Perga (circa 262-190 a. C.).
Nella sua opera Sezioni coniche
Apollonio definisce le coniche come
le curve ottenute dall'intersezione di
un cono circolare retto infinito con
un piano; le diverse inclinazioni del
piano generano le diverse coniche.
Più precisamente: sia data nello
spazio una circonferenza Γ di centro
O, e la retta a perpendicolare al
piano di Γ e passante per O. Sia V un
punto della retta a distinto da O, e P
un punto della circonferenza Γ.
Mentre P varia su Γ, la retta VP descrive nello spazio una superficie
che chiamiamo cono infinito (o semplicemente
cono).
Il punto V è detto vertice del cono, la retta a è
l'asse del cono, le rette VP, al variare di P sulla
circonferenza, sono dette generatrici del cono.
Indichiamo con θ l'angolo acuto formato dall'asse
del cono con una generatrice.
Se intersechiamo la superficie del cono con un
piano α, non passante per V, otteniamo curve
diverse a seconda dell'inclinazione di α rispetto all'asse
del cono. Più precisamente: sia n il versore
perpendicolare al piano α, e sia φ l'angolo acuto
formato dal piano α con la retta a, cioè il
complementare dell'angolo formato da n con la retta a.
Se φ è un angolo compreso tra θ e 90°, allora la curva
che si ottiene dall'intersezione di α con il cono infinito
è una curva chiusa chiamata ellisse. Nel caso
particolare φ=90°, cioè se α è perpendicolare all'asse
del cono, si ha una circonferenza.
Se φ= θ allora si ottiene una curva illimitata chiamata
parabola.
Se φ è un angolo compreso tra 0 e θ si ottiene una
curva composta da due rami illimitati, chiamata
iperbole (si pensi ad esempio all'iperbole ottenuta dal
grafico dell'equazione y=1/x).
Le Sezioni coniche di Apollonio testimoniano la
raffinatezza raggiunta dalla matematica greca nel III
secolo a. C.
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Laura Citrini
Le coniche
Per esempio Apollonio dimostra un'interessante
proprietà che è comune a tutte le coniche.
Illustriamo tale proprietà per l'ellisse: se si
tracciano tutte le corde parallele a una direzione
data, i punti medi di tali corde appartengono
tutti ad una stessa retta d, detta diametro della
conica. Nel caso dell'ellisse della figura la retta
AB è il diametro relativo alle corde tracciate.
Se ora si tracciano le corde parallele al diametro d, i punti medi di tali
corde appartengono tutti ad una retta d', detta diametro coniugato
della retta d che ha la stessa
direzione delle corde tracciate
inizialmente; ogni diametro
biseca le corde parallele al
proprio diametro coniugato; il punto di intersezione tra ogni
coppia di diametri coniugati è il centro (centro di simmetria)
dell'ellisse. L'ellisse ha due assi di simmetria, che sono i diametri tra loro coniugati e
perpendicolari, e che si intersecano nel centro dell'ellisse.
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diametro
Nel caso della parabola un diametro, cioè il luogo dei punti medi
delle corde aventi una data direzione, è una retta parallela all'asse
di simmetria della parabola. In questo caso le corde parallele al
diametro trovato non hanno lunghezza finita, non è quindi
possibile costruire il diametro coniugato, e nemmeno il centro
della parabola.
Apollonio dimostra inoltre che la retta tangente ad una conica in
un punto P (cioè la retta che ha con la conica il solo punto P di
intersezione) è strettamente legata alla proprietà precedente;
qualunque sia la conica, per P passa un diametro, che è il luogo
dei punti medi di un insieme di corde parallele: la retta tangente in
P alla conica è la retta parallela a tali corde.
asse di simmetria
Nel caso di un'iperbole, che è formata da due rami, le corde possono essere interne, cioè contenute
in un ramo, o esterne, cioè tra i due rami. Il diametro relativo alle corde interne non ha punti di
intersezione con l'iperbole, e il suo coniugato interseca l'iperbole in due punti ; anche per l'iperbole
il punto di intersezione tra ogni coppia di diametri coniugati è il centro dell'iperbole. Come per
l'ellisse i due assi di simmetria sono i diametri tra loro coniugati e perpendicolari .
Laura Citrini
Le coniche
Osservazione: Quando in matematica è possibile dare diverse definizioni, tutte equivalenti, di uno
stesso oggetto, allora significa che quell’oggetto può essere caratterizzato in molti modi, e quindi
possiede molte proprietà. Questo è ciò che accade per le coniche, di cui sono possibili quattro
definizioni diverse:
come intersezioni tra un piano e un cono infinito (che è la prima definizioni che abbiamo
dato),
• come luoghi di punti per i quali è costante la distanza da un punto e da una retta,
• come luoghi dei punti per i quali è costante la somma, oppure la differenza da due punti dati
(per l’iperbole e per l’ellisse),
• come luoghi di punti le cui coordinate soddisfano un’equazione di secondo grado.
Vedremo ora come utilizzare le altre definizioni.
•
Le coniche come luoghi di punti
Lo studio della geometria piana è lo studio delle proprietà delle figure geometriche, ciascuna delle
quali è definita come un sottoinsieme del piano, o anche come un luogo, cioè l'insieme, dei punti
del piano che soddisfano determinate proprietà. Più precisamente in luogo geometrico (o più
semplicemente luogo) è l'insieme di tutti e soli i punti che soddisfano una data proprietà.
Abbiamo già visto, per esempio, che la retta passante per un punto P ≡ (x0, y0) e che ha la direzione
→
a 
del vettore v =   è il luogo dei punti X ≡ (x, y) del piano tali che il vettore PX risulti proporzionale
b 
→
al vettore v, cioè per cui risulta PX =kv. In modo analogo la retta passante per P e perpendicolare al
→
c 
vettore w =   è il luogo dei punti X del piano tali che il vettore PX sia perpendicolare a w, cioè
d 
→
per cui sia PX ⋅w = 0.
Dal punto di vista analitico, la seconda delle due caratterizzazioni della retta corrisponde ad
un'equazione di primo grado nelle variabili x e y che individuano il punto generico del luogo, la
prima invece corrisponde ad un sistema lineare di due equazioni con un parametro k:
In generale, per determinare le equazioni (o disequazioni) che individuano un luogo, si considera il
generico punto X ≡ (x, y) di coordinate variabili e si impongono alle coordinate le condizioni
algebriche che traducono le proprietà caratterizzanti i punti del luogo stesso.
Un luogo di punti, nel piano, può essere rappresentato in vari modi, mediante equazioni di grado
opportuno nelle due variabili x e y, o con disequazioni, o con sistemi di equazioni e disequazioni,
con o senza parametro.
È anche possibile definire luoghi di punti per via geometrica, cioè mediante costruzioni, per
esempio fatte con righe compasso.
Osserviamo che, considerati due luoghi F1 e F2 caratterizzati mediante equazioni, disequazioni o
sistemi di equazioni o disequazioni, il luogo dei punti del piano intersezione dei due luoghi F1∩ F 2
è caratterizzato dal sistema di tutte le equazioni o disequazioni che individuano i due luoghi;
l'intersezione peraltro può essere vuota.
È più complesso caratterizzare l'unione di due luoghi F1 e F2, a meno che ciascuno non sia
individuato da una sola equazione:
F1: ƒ1(x, y) = 0 e F2: ƒ2(x, y).
In questo caso, per la legge di annullamento del prodotto, l'unione è individuata dal prodotto delle
due equazioni:
ƒ1(x, y)⋅ƒ2(x, y) = 0
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Laura Citrini
Le coniche
Vediamo singolarmente le equazioni dei luoghi di punti rappresentati dalle coniche; magari in modo
piuttosto rapido visto che le coniche su un argomento di studio della scuola superiore.
Circonferenza
Chiamiamo circonferenza il luogo dei punti X del piano che hanno da un
punto fisso C ≡ (x0, y0) distanza costante r. Il punto C è detto centro della
circonferenza, la costante r è detta raggio.
Equazione di una circonferenza:
→
|| CX ||=r
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = r .
Se in particolare il centro C è l'origine degli assi coordinati, l'equazione prende la forma più
semplice x 2 + y 2 = r .
Osserviamo che, se r < 0, non esiste alcun punto appartenente al luogo, poiché per definizione una
distanza non può essere negativa, mentre per r = 0 il luogo si riduce al solo centro, dal momento che
solo il vettore nullo ha modulo 0. Per ogni altro valore di r i due membri della relazione hanno lo
stesso segno, quindi sono uguali anche i loro quadrati; l'equazione diventa x 2 + y 2 = r 2 .
Il centro della circonferenza è dunque centro di simmetria, e ogni retta passante per il centro è asse
di simmetria. Nel caso generale si ottiene
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = r 2
da cui si ha:
x2 + y2 − 2x0x − 2y0y + x02 + y02 − r2 = 0
cioè una equazione del tipo
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.
Inversamente data un'equazione del tipo precedente osserviamo che:
i coefficienti dei termini di primo grado sono legati alle coordinate del centro della
circonferenza: x0 = −a, y0 = −b.
il termine noto dipende sia dalle coordinate del centro che dal raggio:
r = x02 + y02 − c = a 2 + b 2 − c
Proprietà delle circonferenze
Una retta si dice rispettivamente, secante, tangente, esterna alla circonferenza a seconda
che ammetta 2, 1 o nessuna intersezione con essa e si dimostra facilmente che la sua distanza
dal centro è rispettivamente minore del raggio, uguale al raggio, maggiore del raggio.
La tangente a Γ in un suo punto P risulta perpendicolare al raggio che
passa per P.
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Le coniche
Le due tangenti ad una circonferenza da un punto esterno P sono
simmetriche rispetto alla retta PC, e sono perpendicolari ai raggi CA e
CB, per cui i triangoli rettangoli PAC e PBC sono simmetrici rispetto
alla retta PC, quindi risulta PA = PB.
La circonferenza si può esprimere in forma parametrica,
attraverso il seno e il coseno dell'angolo θ che il generico raggio
 x = x 0 + r cos θ
 x − x0 = r cos θ
, cioè 
.
forma col vettore i: 
 y = y 0 + r sin θ
 y − y 0 = r sin θ
Fasci di circonferenze
Consideriamo ora due circonferenze Γ1 e Γ2, di centri rispettivamente C1 e C2 e raggi r1 e r2;
supponiamo che sia r1 ≥ r2 e poniamo d = C1C2 .
Le due circonferenze possono avere :
due punti in comune (se r1 − r2 < d < r1 + r2 )
secanti (a),
un solo punto in comune (se d = r1 − r2 o d = r1 + r2) tangenti (b, c)
nessun punto comune (se d < r1 − r2 o d > r1 + r2)
esterne (d, e).
a
b
c
d
e
Dal punto di vista analitico, se Γ1 : x2 + y2 + a1x + b1y + c1 = 0 e Γ2 : x2 + y2 + a2x + b2y + c2 = 0 sono
le equazioni delle due circonferenze, i punti di intersezione sono le soluzioni del sistema tra le due
equazioni, che è di quarto grado, ma ammette al massimo due soluzioni, infatti è equivalente al
sistema

x 2 + y 2 + a1 x + b1 y + c1 = 0

(a 2 − a1 ) x + (b 2 − b1 ) y + c 2 − c1 = 0
La combinazione lineare delle due equazioni rappresenta un insieme, denominato fascio, (che può
essere di rette, di piani o, in questo caso, di circonferenze). Infatti l'equazione
h(x2 + y2 + a1x + b1y + c1) + k(x2 + y2 + a2x + b2y + c2) = 0
rappresenta (salvo che per h =−k) una circonferenza, se invece h = −k si ha una retta detta asse
radicale.
Un fascio non ammette asse radicale solo nel caso in cui sia costituito tutto da circonferenze
concentriche.
L'asse radicale passa per i punti comuni alle due circonferenze Γ1 e Γ2 le cui equazioni sono state
utilizzate per determinare l'equazione del fascio, se tali punti esistono, o per il punto di tangenza
delle due circonferenze, nel qual caso è la tangente comune a tutte le circonferenze del fascio; se le
circonferenze non si intersecano, l'asse radicale non ha punti comuni con nessuna delle
circonferenze del fascio. Il Gli eventuali punti comuni alle due circonferenze Γ1 e Γ2, detti punti
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Laura Citrini
Le coniche
base del fascio, appartengono a tutte le circonferenze del fascio, e viceversa.
I centri delle circonferenze appartengono tutti ad una stessa retta, detta retta dei centri; per
motivi di simmetria tale retta deve risultare perpendicolare all'asse radicale.
Le coniche come luogo di punti
Per determinare, nel piano cartesiano, le equazioni dei vari tipi di coniche, consideriamo alcune loro
proprietà, che le caratterizzano nel piano come luogo di punti, ed utilizziamole come definizioni.
Fissati, nel piano, una retta d e un punto F che non appartenga a d, chiamiamo conica il luogo dei
punti P del piano tali che il rapporto delle distanze PF di P dal punto F e Pd di P dalla retta d sia
costante:
PF
=e
Pd
La retta d è detta direttrice, il punto F è detto fuoco, il numero reale positivo e è detto
eccentricità.
• se 0 < e < 1 la conica è detta ellisse
• se e = 1 la conica è detta parabola
• se e > 1 la conica è detta iperbole.
0<e<1
e>1
e=1
La definizione data comporta che tutte le coniche risultano necessariamente simmetriche rispetto
alla retta r perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco, dato che il fuoco appartiene a tale
retta e la direttrice è perpendicolare, quindi tutte le coniche hanno per asse di simmetria la retta r.
La parabola taglia l'asse di simmetria in un punto equidistante dal fuoco e dalla direttrice; tale
proprietà individua un solo punto sull'asse, quindi la parabola ha una sola intersezione con l'asse;
tale punto è detto vertice della parabola.
L'ellisse e l'iperbole invece hanno due intersezioni con l'asse, e quindi due vertici, situati in
posizioni differenti rispetto alla direttrice: entrambi sulla stessa semiretta del fuoco per l'ellisse, uno
su una semiretta e uno sulla semiretta opposta nel caso della iperbole.
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Laura Citrini
Le coniche
Utilizziamo la definizione di conica come luogo di punti per determinare le equazioni di parabola,
ellisse e iperbole. La definizione data è di tipo sintetico, cioè non è legata ad un particolare sistema
di riferimento cartesiano nel piano; si potrebbe quindi pensare di scegliere gli elementi in modo
generico, come abbiamo fatto per il centro della circonferenza, di considerare cioè la generica retta
del piano come direttrice e il generico punto come fuoco. Tuttavia è preferibile scegliere il sistema
di riferimento in modo opportuno, per determinare l'equazione più semplice possibile per ogni
conica (detta equazione canonica), anche perché la semplicità della equazione facilita lo studio
delle proprietà; con opportune isometrie si possono determinare l'equazione generale di ogni conica.
Le orbite dei pianeti
800 anni più tardi Johannes Kepler (1571-1630) enuncerà un'importantissima legge empirica in cui
compare una delle curve studiate da Apollonio: ogni pianeta che ruota intorno al Sole descrive
un'orbita ellittica.
Da allora in poi le coniche si ritroveranno in molti settori della matematica e della fisica.
In particolare le coniche giocano un ruolo essenziale nell'ottica e nella costruzione delle lenti.
La cosiddetta prima legge di Keplero, che è una legge empirica (cioè fondata sui dati osservativi),
afferma che le orbite dei pianeti sono ellittiche, e il Sole occupa uno dei fuochi di tali ellissi.
Successivamente Isaac Newton (1642-1727) dimostra che un corpo soggetto ad una forza centrale,
cioè diretta sempre verso uno stesso punto (nel caso dei pianeti è la forza gravitazionale diretta
verso il Sole) si muove lungo un'orbita ellittica.
Tutte le successive osservazioni astronomiche, da allora e fino ad oggi, hanno confermato tale
teoria: le orbite dei pianeti sono curve chiuse, e quindi necessariamente ellittiche. Ma i pianeti non
sono gli unici oggetti a orbitare intorno al Sole: ogni anno, infatti, sono avvistate nuove comete, che
sono oggetti del sistema solare.
pianeta
eccentricità
Le traiettorie delle comete possono essere
0.206
ellittiche: in questo caso la cometa è periodica, come ad esempio la Mercurio
Venere
0.007
cometa di Halley (la periodicità di questa cometa fu scoperta da
0.017
Edmund Halley, 1656-1742, fisico e astronomo amico di Newton), Terra
Marte
0.093
che transita per il vertice dell'ellisse più vicino al Sole (il perielio)
Giove
0.048
circa ogni 76 anni (l'ultimo passaggio è stato nel 1986);
orbite aperte (paraboliche o iperboliche): la cometa ha una velocità Saturno
0.056
troppo elevata per essere catturata dal Sole, e dopo essere passata
Urano
0.047
al perielio si allontana definitivamente.
Nettuno
0.009
Plutone
0.247
Che tipo d’ellissi descrivono i pianeti e le comete? Sono ellissi molto
"schiacciate"? Il parametro che fornisce la "schiacciatura" di un’ellisse è l'eccentricità, e
l'eccentricità di un’ellisse può variare da 0 (in questo caso l'ellisse è una circonferenza) a 1 (1
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Le coniche
escluso). Già Keplero aveva determinato con ottima approssimazione le eccentricità dei pianeti,
presentate nella tabella. Come si vede sono eccentricità in generale molto piccole; l'orbita di
Plutone, che è la più eccentrica, difficilmente si distingue da una circonferenza. Le orbite delle
comete sono invece generalmente molto eccentriche. Per esempio la cometa di Halley ha
eccentricità e=0.97. Il perielio della cometa di Halley è molto vicino al Sole (circa 70 milioni di km,
poco più del raggio medio dell'orbita di Mercurio). L'afelio (il vertice più lontano dal Sole) è invece
quasi uguale al raggio medio dell'orbita di Plutone (circa 5000 milioni di km).
Parabola
Dalla definizione generale di conica risulta che la parabola è il
luogo dei punti del piano che hanno ugual distanza dal fuoco e
dalla direttrice.
Scelto l'asse simmetria come asse y e posto il vertice nell'origine,
sia ad esempio F ≡ (0, ƒ) e d abbia equazione y = −ƒ.
L'equazione della parabola diventa del tipo
y = ax2
ove a è un parametro legato alla distanza ƒ del fuoco dal vertice
1
1
dalla relazione a =
e quindi f =
.
4f
4a
La parabola è concava verso l'alto o concava verso il basso a
seconda che sia a > 0 o a < 0.
Se l'asse è parallelo all'asse y, ma il vertice non è nell'origine, l'equazione della parabola diventa:
y = ax2 + bx + c.
Ellisse e iperbole
Anche l'ellisse e l'iperbole ammettono un asse di simmetria; anche in questo caso scegliamo tale
asse come asse y. A differenza della parabola, l'ellisse e l'iperbole ammettono due vertici, poniamoli
in posizione simmetrica rispetto all'origine. Se poniamo F ≡ (0, c) e supponiamo che la direttrice
abbia equazione y = h, a conti fatti si ricava che le equazioni canoniche delle due coniche sono
rispettivamente:
h2 x 2 + k 2 y 2 = 1
o
− h2 x 2 + k 2 y 2 = 1
la prima delle quali rappresenta una ellisse, la seconda una iperbole.
Le equazioni evidenziano che le curve hanno un secondo asse di simmetria, che è l'asse x, poiché le
incognite compaiono solo con gradi pari; essendo simmetriche rispetto a due assi perpendicolari,
sono simmetriche rispetto alla loro intersezione che è l'origine degli assi
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Le coniche
Per quanto riguarda l'iperbole i due assi di simmetria si comportano in modo diverso: l'asse che
contiene il fuoco (asse focale) interseca l'iperbole, e quindi è chiamato asse trasverso, l'altro
asse non interseca, quindi è chiamato asse non trasverso.
L'esistenza di due fuochi F1 e F2 per ellisse e iperbole consente una diversa caratterizzazione delle
due coniche come luogo di punti. Precisamente:
Fissati nel piano due punti distinti F1 e F2 detti fuochi ed un numero reale positivo k, si chiama
ellisse
iperbole
il luogo dei punti P tali che sia PF1 + PF2 = k
il luogo dei punti P tali che sia PF1 − PF2 = k
A conti fatti si ottengono le due equazioni (del tutto analoghe alle precedenti):
x2 y2
x2 y2
+
=
1
per
l'ellisse
e
−
= 1 per l'iperbole.
a 2 b2
a 2 b2
Alcune osservazioni:
x2 y2
+
= 1 ha, posto c2 = |a2 − b2| :
a 2 b2
come fuochi i punti F1 ≡ (−c, 0) e F2 ≡ (c, 0) se a > b, i punti F1 ≡ (0, −c) e F2 ≡ (0, c) se a < b
come vertici i punti V1 ≡ (−a, 0) e V2 ≡ (a, 0), V3 ≡ (0, −b), V4 ≡ (0, b)
c
c
come eccentricità e =
se a > b, e =
se a < b,
a
b
nell'ellisse di equazione
x2 y2
−
= 1 ha, posto c2 = a2 + b2 :
a 2 b2
come fuochi i punti F1 ≡ (−c, 0) e F2 ≡ (c, 0)
come vertici i punti V1 ≡ (−a, 0) e V2 ≡ (a, 0)
c
come eccentricità e =
a
L'iperbole di equazione
Le coniche in forma generale
Consideriamo la generica affinità di equazioni
 x = mx'+ ny '+ p

 y = qx'+ ry '+ s
in cui abbiamo espresso le variabili di partenza in funzione di quelle di arrivo ogni equazioni di una
cronica si muta in una equazione di secondo grado del tipo
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0.
Viene allora spontaneo chiedersi: ogni equazione di questo tipo rappresenta una conica?
La risposta è negativa: esistono equazioni di secondo grado che non individuano coniche.
In primo luogo è necessario distinguere, tra le equazioni di secondo grado in x e y, le coniche dalle
coppie di rette, che sono chiamate coniche degeneri o anche coniche spezzate in quanto
rappresentano l'unione di due luoghi.
Inoltre esistono equazioni di secondo grado che non rappresentano alcun punto, e equazioni che
rappresentano un punto solo. A parte questi "casi patologici", che indicheremo sempre come
coniche degeneri si può dimostrare che ogni equazione di secondo grado rappresenta una conica.
Chiamiamo discriminante della conica il numero reale ∆ = b2 − 4ac.
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Laura Citrini
Le coniche
In primo luogo si può dire che la conica non degenere di equazione ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
è
• una parabola se ∆ = b2 − 4ac = 0
• una iperbole o una ellisse se ∆ = b2 − 4ac ≠ 0.
Metodo algebrico per il riconoscimento delle coniche.
Data la generica conica di equazione ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0, costruiamo la matrice
a b d 
A=  b c e  ;
d e f 
si può vedere che l'equazione della cronica si ottiene in forma vettoriale come
a b d  x
vTAv = 0 [x y 1] b c e   y  = 0
d e f   1 
Si ottiene dunque, nella classificazione delle coniche che:
Se I3 = detA = 0 la conica è degenere.
a b
2
Se I2 = det 
 = ac – b = 0 la conica è una parabola
b
c


Se I2 > 0 la conica è una ellisse.
Se I2 < 0 la conica è una iperbole.
Se I1 = a + c = 0 la conica è una iperbole equilatera.
Se a = c e b = 0 a conica è una circonferenza
I3 invariante cubico
I2 invariante quadratico
I1 invariante lineare
Fasci di coniche
Combinando linearmente le equazioni di due coniche, si ottiene l’equazione di un luogo geometrico
che chiaramente è ancora una conica.
h(ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f) + k(a'x2 + b'xy + c'y2 + d'x + e'y + f ') = 0
Utilizzando, per la classificazione delle coniche del fascio la teoria degli invarianti appena citata, si
vede che l’invariante cubico dà luogo a un’equazione di terzo grado nelle variabili h e k,
l’invariante quadratico dà luogo a un’equazione di secondo grado e quello lineare ad una di primo
grado, pertanto, in generale:
In un fascio di coniche, in generale, ci sono:
4 punti base
3 coniche degeneri
2 parabole
1 iperbole equilatera
nessuna circonfereza
Qualche proprietà in più:
Se due punti base vengono a coincidere (A ≡ B) le due coniche di partenza sono tangenti in A ad
una stessa retta t, e quindi lo sono tutte le coniche del fascio.
Se le due coniche di partenza sono tangenti negli stessi due punti A e C a due rette r e s, la
proprietà vale per tutte le coniche del fascio, che quindi ha due punti base, ecc.
Esistono fasci di sole parabole: se combino linearmente due parabole con assi paralleli, ho tutte
parabole.
Esistono fasci di sole circonferenze
Esistono fasci di sole iperboli equilatere: se combino linearmente due iperboli equilatere, ho
solo iperboli equilatere.
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Laura Citrini
Le coniche
Se in un fascio esiste una circonferenza, le due parabole del fascio hanno assi di simmetria
ortogonali tra loro.
Forma parametrica delle coniche
Un'ultima osservazione relativa alla possibilità di rappresentare ogni conica in forma parametrica,
cioè rappresentare le due variabili x e y come funzioni di un parametro razionale t. A abbiamo già
 x = x 0 + r cos θ
visto che la circonferenza si può rappresentare in forma parametrica come 
; queste
 y = y 0 + r sin θ
equazioni non sembrano funzioni razionali del parametro θ, ma sappiamo che esistono delle
formule parametriche che rappresentano il seno e il coseno di un angolo θ in funzione della
θ
tangente dell'angolo t = , quindi la circonferenza si può rappresentare come:
2

1− t 2
x
=
x
+
r

0

1+ t 2 .

 y = y + r 2t
0

1+ t 2
In modo del tutto analogo un'ellisse in forma canonica si può rappresentare come

1− t 2
x = a

1+ t 2 .

 y = b 2t

1+ t 2
La parabola in forma canonica, cioè con asse parallelo all'asse y è già rappresentata in forma
parametrica (in cui il parametro alla variabili indipendenti x).
In ogni caso data una conica in forma generale ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, si consideri un
punto P ≡ (m, n) della conica. La generica retta del fascio di rette di equazione y − n = t(x−m)
interseca la conica del punto P e in un altro punto le cui coordinate sono equazioni razionali del
parametro t.
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Laura Citrini
Le coniche
Tracciamento di coniche, per punti, con riga e compasso.
Parabola
Sfruttiamo la definizione di parabola come luogo dei punti equidistanti
da un punto (il fuoco F) e da retta (la direttrice d), che supponiamo
disegnate.
•
Metodo 1
Fissata una distanza k, tracciamo la circonferenza di centro F e raggio k e la retta parallela alla
direttrice a distanza k da essa.
I due punti di intersezione tra circonferenza e retta hanno distanza k sia dal punto F che dalla retta d,
dunque appartengono alla parabola: i due punti sono simmetrici rispetto alla retta passante per il
fuoco e perpendicolare alla direttrice, cioè all’asse del la parabola; quindi possiamo tracciare due
punti della parabola per ogni k, purché k sia maggiore della metà della distanza s tra F e d.
Per k = s/2 l’unico punto d’intersezione è il vertice della parabola.
F
d
•
V
Metodo 2
Si costruisce per un punto P della direttrice la perpendicolare
alla stessa. Si costruisce l’asse del segmento PF. L’intersezione
delle due rette è un punto della parabola.
Ellisse e iperbole
L’ellisse è il luogo dei punti che hanno distanze di somma costante k dai fuochi F1 ed F2 .
L’iperbole è il luogo dei punti che hanno distanze di differenza costante k dai fuochi F1 ed F2
•
Metodo 1 (coi due fuochi)
Tracciando due circonferenze con centri nei fuochi F1 e F2 e di raggi r e k – r , ottenuti per esempio
disegnando un segmento di lunghezza k e prendendo un punto P variabile su tale segmento, e quindi
tale che la distanza dai due estremi siano i due valori richiesti, i loro punti di intersezione hanno
somma delle di stanze dai fuochi uguale a k, e dunque appartengono all’ellisse.
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Laura Citrini
Le coniche
F2
Se tracciamo invece due circonferenze con centri nei fuochi F1 e F2 e di raggi r e k + r, ottenuti, per
esempio, fissando su una retta un segmento AB di lunghezza k per cui se P è un punto variabile sulla
retta, e PB è r, PA è r+k, i loro punti di intersezione hanno differenza delle distanze dai fuochi
uguale a k e dunque appartengono all’iperbole.
Metodo 2 (coi due fuochi)
Si traccia una circonferenza con centro in un fuoco F1 e
raggio maggiore della distanza focale. Per ogni punto P
su di essa si traccia l’asse a del segmento PF2 . Il raggio
PF1 interseca a in punti dell’ellisse. Il triangolo
(arancione nel disegno) è isoscele. per cui la somma delle
distanze dai due fuochi è uguale al raggio della
circonferenza che è fisso.
In modo del tutto analogo, si traccia una circonferenza con
centro in un fuoco F1 e raggio r minore della distanza
focale. Per ogni punto Q su di essa si traccia l’asse a del
segmento QF2 . La retta QF1 interseca a in punti
dell’iperbole. (questo metodo è analogo a quello della ellisse,
con poche differenze.) Infatti il triangolo PQF2 è isoscele (di
base QF2 ), quindi PQ = QF2. Allora PQ - PF1 = PF2 - PF1=
r e questa è la definizione dell’iperbole.
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Le coniche
Metodo 3 (solo per l’ellisse)
a
 x = a cos t
Le equazioni parametriche dell’ellisse sono: 
.
 y = b sin t
A
b
P
B
Allora, prese due circonferenze concentriche di raggi a e b e una retta
che forma un angolo t con l’asse x, dai due punti A e B si portano due
segmenti paralleli agli assi, come in figura. La loro intersezione è un
punto dell’ellisse.
•
t
b
O
a
Metodo 4 (con fuoco, direttrice e eccentricità)
Si disegnano una retta d (direttrice) e un punto F fuori di essa (il
fuoco). Disegnata la perpendicolare a alla direttrice passante per
il fuoco, un vertice V della conica starà tra il fuoco e H = a∩d.
La posizione di V rispetto a F e H individua l’eccentricità. Preso
poi un punto A variabile su a, si considera la retta p
perpendicolare ad a e passante per A.
a
P
p
A
F
Portato da H sulla retta d un segmento lungo come FV e
V
congiunto V col punto B che così si determina, il triangolo HVB
risulta simile al triangolo HAA’ ove la retta AA’ è la parallela alla
H
B
VB; pertanto il rapporto VH/HB=VH/VF risulta uguale a AH/HA’
Quindi la circonferenza di centro F e raggio HA’ taglia la retta p in due punti del luogo.
A'
s
d
Nel caso dell’immagine, essendo VF<FH si ha una ellisse, se fosse maggiore sarebbe una iperbole.
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