Classe: III LICEO
Sezioni coniche
Schemi riassuntivi, definizioni e cenni storici
Docente: Donatiello Angela
Istituto Superiore “E.Fermi” Castellanza (VA)
MAPPA DEL MODULO
SEZIONI CONICHE
CONO A DUE FALDE
INTERSEZIONI CON PIANI
PARABOLA
ELLISSE
CENNI STORICI
CIRCONFERENZA
IPERBOLE
SEZIONI CONICHE
La parabola, la circonferenza, l’ellisse e l’iperbole sono
definite coniche, in quanto è possibile ottenerle tagliando una
superficie conica a due falde con un piano avente diverse
inclinazioni.
a
CONO A DUE FALDE E CONICHE
r
piano
V
r = retta generatrice del cono
a = asse intorno a cui ruota la retta r
V = vertice del cono
 = angolo di apertura della superficie conica
 = angolo di inclinazione del piano


Se

allora si avrà una parabola
Se

allora si avrà un’ellisse
Se
  90 allora si avrà una circonferenza
Se

allora si avrà un’iperbole
circonferenza
ellisse
iperbole
parabola
Le due specie di coniche meglio visualizzabili sono la circonferenza e
l'ellisse, entrambe sono curve chiuse. La circonferenza è un caso
particolare di ellisse relativo alla intersezione di un cono circolare
retto con un piano perpendicolare al suo asse.
Se si interseca il cono con un piano parallelo a una retta generatrice
del cono si ottiene una conica chiamata parabola. Infine una
intersezione con un piano non parallelo ad alcuna retta generatrice
che determina una curva aperta fornisce una cosiddetta iperbole; in
questo caso il piano interseca entrambe le parti del cono, producendo
due curve non connesse.
Vi sono poi casi degeneri ottenuti con un piano che passa per il vertice
del cono: si distinguono tre casi:
la figura ottenuta si riduce a un punto;
la figura consiste in una linea retta (una generatice del cono);
la figura si riduce a una coppia di rette (due generatrici del cono
simmetriche rispetto all'asse del cono).
UN PO’ DI STORIA …
Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Esse risalgono a Menecmo
(350 a.C.) discepolo di Eudosso di Cnido, che scoprì le sezioni coniche nel
tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo, o problema
di Delo. Anche Euclide (360-300 a.C.) si interessò alle coniche sulle quali
scrisse ben 4 libri andati poi perduti; la trattazione fu poi completata,
dal punto di vista teorico da Apollonio di Perga nel famoso trattato 'Le
coniche' (200 a.C.). Si dice che sia stato lo stesso Apollonio ad aver
introdotto i nomi di "ellisse", "parabola", ed "iperbole“ per individuare tali
curve. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze
caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire mancanza, iperbole
significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto”, “confrontare”.
Per maggiori informazioni consulta anche:
http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Apolloni.htm
http://ulisse.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/storia.htm
CURIOSITA’ … CONICHE ED OMBRE
Se illuminiamo un muro con
una torcia elettrica
tenendola perpendicolare
alla parete, la parte
illuminata è all'incirca
circolare. Cominciamo ora a
inclinare la torcia verso
l'alto; il cerchio si deforma
e assume una forma
allungata, come un vassoio o
uno stadio: è un'ellisse.
http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/curve/guida/paginaindice.php?id=2
Se continuiamo a inclinare la
torcia, l'ellisse si allunga sempre
di più. Mentre una delle
estremità resta davanti a noi,
l'altra va via via allontanandosi;
se la parete fosse infinita, l'area
illuminata diventerebbe sempre
più grande, finché per una certa
inclinazione della torcia
diventerebbe infinita. La figura
così ottenuta è una parabola.
Se incliniamo la torcia ancora di
più, l'area illuminata aumenta
ancora, e assume la figura di
un'iperbole.
Le tre figure che si ottengono
successivamente, o meglio le
curve che le delimitano,
prendono il nome comune di
sezioni coniche, dato che si
ottengono sezionando un cono
(nel nostro caso il cono della
luce proiettata dalla torcia)
con un piano (la parete).
Le sezioni coniche si trovano spesso nelle situazioni più
comuni: un lume da tavolo disegna sulla parete due iperboli,
l'ombra di una palla è un'ellisse, un sasso lanciato da una
fionda descrive una parabola. In passato la teoria delle
sezioni coniche era essenziale per la costruzione delle
meridiane. Infatti nel suo moto apparente il sole descrive una
circonferenza; i raggi che passano per la punta dello stilo
della meridiana formano allora un cono, che tagliato dalla
parete dà origine a una sezione conica, alle nostre latitudini
un'iperbole, sulla quale si muove l'ombra della punta dello
stilo.