Le Coniche dalle origini ai giorni nostri Prof. Roberto Capone Generalità Menecmo, Archita da Taranto, Aristeo il vecchio,Euclide sono i primi grandi precursori degli studi sulle coniche. Le coniche furono scoperte nel tentativo di risolvere i tre famosi problemi: Trisezione dell’angolo Duplicazione del cubo Quadratura del cerchio Menecmo Quando un triangolo rettangolo ruota intorno ad un cateto fissato fino a ritornare alla sua posizione iniziale, la figura così racchiusa è un CONO Triangolo rettangolo isoscele Cono retto Rotazione intorno al cateto minore Cono ottusangolo Rotazione intorno al cateto maggiore Cono acutangolo Oxitome Ortotome Amblitome Costruiamo il cono Se da un certo punto V si traccia alla circonferenza di un cerchio non situato nello stesso piano del punto una retta prolungata da una parte e dall’altra e se, restando fisso il punto, la retta riprende la posizione da cui ha iniziato a muoversi, io chiamo superficie conica quella che, descritta dalla retta, è composta di Un cono due falde si costruisce facendo duea superfici opposte nel vertice, dove ciascunaruotare retta intorno a uncresce asseverso cosìl’infinito come si vede in figura Apollonio fu il primo a studiare in modo organico le coniche. una Intersechiamo il cono con un piano Ellisse Iperbole parabola Sezioni Coniche Ellisse Sezioni Coniche Parabola Sezioni Coniche Iperbole Sezioni Coniche Coniche degeneri Coniche come Luoghi di Punti Ellisse È il luogo dei punti P del piano tali che la distanza di P da un punto fissato F (fuoco) è in rapporto costante e < 1 con la distanza di P da una retta fissata r (direttrice). Tale rapporto e è l’eccentricità. r F P Coniche come Luoghi di Punti Parabola È il luogo dei punti P del piano tali che la distanza di P da un punto fissato F (fuoco) è in rapporto costante e = 1 con la distanza di P da una retta fissata r (direttrice). P r F Coniche come Luoghi di Punti Iperbole È il luogo dei punti P del piano tali che la distanza di P da un punto fissato F (fuoco) è in rapporto costante e > 1 con la distanza di P da una retta fissata r (direttrice). Tale rapporto e è l’eccentricità. r P F Coordinate Cartesiane Un punto nel piano può essere individuato mediante una coppia di numeri: le “distanze” da due rette ortogonali (in una fissata unità di misura). (x,y) 1 Punti del Piano Coppie di Numeri (x,y) Figure nel Piano Relazioni tra Numeri Geometria Algebra Coniche e Algebra Teorema. Una conica nel piano cartesiano consiste dei punti le cui coordinate (x,y) risolvono un’opportuna equazione di secondo grado: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Viceversa, “quasi sempre”, le soluzioni (x,y) di un’equazione di secondo grado in due incognite sono le coordinate dei punti di una conica. Coniche e Algebra Esempi notevoli: caso non degenere x2 + y 2 - 1 = 0 x2 - 2y = 0 x2 - y 2 - 1 = 0 Coniche e Algebra Esempi notevoli: caso degenere x2 + y 2 = 0 x2 = 0 x2 - y 2 = 0 Riconoscere una Conica Che tipo di conica è quella descritta da x2 - 6xy + 2y2 + 5x - y - 7 = 0 ?? Coniche e Matrici Alla conica Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 si associano le matrici A B D B C E D E F A B B C Richiami sulle Matrici Determinante e Traccia 22 a11 a12 det aaaaaa = a11a22 - a12a21 a21 a22 a11 a12 .tr aaaaaa = a11 + a22 a21 a22 Richiami sulle Matrici Determinante 33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 detaaaaaaaaaaaaaaa a31 a32 a33 = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 - a13a22a31 - a23a32a31 - a12a21a13 Richiami sulle Matrici Determinante 33: Esempio 1 0 1 detaaaaaaaaaaaaaaa -1 2 0 -2 0 =2 +0 +0 - (-4) -0 -0 =6 1 Invarianti di un’Equazione… …di secondo grado in 2 incognite: Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 I1 = tr A B B C A I3 = det B D I2 = det B C E D E F A B B C Invarianti e Coniche Teorema: Le proprietà geometriche della conica Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Sono completamente descritte dai tre invarianti I1 I2 I3 Identificare la Conica… … Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 mediante gli invarianti. Caso non degenere: I3 ≠ 0 I2 > 0 e I1I3 < 0 Ellisse I2 =0 Parabola I2 <0 Iperbole Identificare la Conica… … Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 mediante gli invarianti. Caso degenere: I3 = 0 I2 >0 1 Punto I2 =0 2 Rette Parallele I2 <0 2 Rette Incidenti Identificare la Conica… … Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 mediante gli invarianti. Caso eccezionale I3 ≠ 0, I2 > 0 e I1I3 > 0 Ellisse Immaginaria Identifichiamo la Conica… … 2x2 + xy + y2 - 3y = 0. La matrice dell’equazione è calcoliamo 2 1/2 I3 = det 1/2 0 I2 = det 1 -3/2 2 1/2 1/2 1 0 -3/2 = -9/2 ≠ 0 0 = 7/4 > 0 I1 = tr 2 1/2 1/2 1 =3>0 Identifichiamo la Conica… … x2 - 2xy + y2 + 4x -5 = 0. La matrice dell’equazione è calcoliamo I3 = det I2 = det 1 -1 2 -1 1 0 2 0 -5 1 -1 -1 1 =0 = -4 ≠ 0 Identifichiamo la Conica… … 3x2 + 5xy + 2y2 - x - y = 0. La matrice dell’equazione è calcoliamo 3 5/2 I3 = det 5/2 2 -1/2 -1/2 I2 = det 3 5/2 5/2 2 -1/2 -1/2 = 0 0 = -1/4 < 0 Approfondimenti: Forma delle Coniche Osservazione: data una conica non degenere Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 la distanza L del fuoco dalla direttrice e l’eccentricità e determinano completamente la forma della conica. I parametri geometrici L ed e devono allora potersi esprimere in termini degli invarianti I1 I2 I3 Approfondimenti: Forma delle Coniche data una conica non degenere Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 L’equazione caratteristica è t 2 - I1t + I 2 = 0 e le relative soluzioni I1 I1 - 4 I 2 t = 2 2 Approfondimenti: Forma delle Coniche Teorema: L= I3 tI 2 t+ (t+ - t- ) e= t+ - tt+ L= I3 3 I1 Ellisse, Iperbole Parabola Coniche e realtà Esercizio Cosa puntiamo torcia muro Chesuccede “forma”seha il fascioladiluce lucediseuna punto unacontro torcia ilcon il ? braccio braccioinclinato perpendicolare rispettoalalmuro? muro? Risposta: si forma un’ellisse una circonferenza Risposta: forma un cono di luce osi un iperbole Circonferenza Ellisse Iperbole Cono Applicazioni Le coniche nella realtà “concreta” Sfere di Dandelin. Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una conica. Una sezione conica possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà: Una sfera di Dandelin e’ tangente sia al piano che al cono. Sfere di Dandelin Iperbole Parabola Ellisse o circonferenza due sfere di Dandelin una sfera di Dandelin Proprietà: “Il punto nel quale una sfera tocca il piano è un fuoco della sezione conica”
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