Esercizi di ricapitolazione.
work in progress
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Coniche
Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y.
1. Classificare la conica x2 + 2xy + 2y 2 + x + y + 1 = 0. Determinarne il
centro.
Ellisse di centro C(−1/2, 0)
2. Classificare la conica 3y 2 + 2x(2y + 1) = 0. Determinarne il centro e una
forma canonica.
Iperbole di centro C(3/4, −1/2) e con forma canonica 4u2 − v 2 + 3/4 = 0.
3. Classificare la conica x2 + 4xy + y 2 − 1 = 0. Determinarne il centro e una
forma canonica.
Iperbole di centro O(0, 0) e forma canonica u2 − 3v 2 − 1 = 0.
4. Classificare la conica −x2 + 2xy − y 2 + x − y + 1 = 0. Trovarne un asse di
simmetria.
5. Classificare la conica 2x2 + 2y 2 + 2xy + x + y + 1 = 0. Trovarne gli assi di
simmetria.
6. Studiare il fascio di coniche hx2 + 2xy + hy 2 + hy + 1 = 0.
7. Studiare il fascio di coniche (x + y + k)2 = x2 + y 2 .
8. Studiare il fascio di coniche (y − k)2 = x2 + y 2 .
9. Studiare il fascio di coniche (1 − x)2 h2 = x2 + y 2 . Descrivere il luogo dei
centri di queste coniche.
10. Studiare il fascio di coniche (y + k)2 + (y − k)2 + x2 = 1. Trovare la
decomposizione delle coniche degeneri del fascio in prodotto di polinomi
di I grado.
11. Con riferimento all’ esercizio 5 di Geometria lineare, determinare il fascio
di coniche nel piano O, x, y aventi le rette r0 ed s0 come asintoti.
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12. Si consideri la funzione f : R → R2 definita da
(t + 1)2 (t − 1)2
f (t) =
,
.
4t2
4t2
Trovare una equazione per l’ unica conica contenente Im f e dire che tipo
di conica si trova.
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Spazi vettoriali e applicazioni lineari
1. Costruire una applicazione lineare f : R2 → R2 tale che f sia non diagonalizzabile e tale che f 2 = 2f − Id.
Suggerimento: aiutarsi con il teorema di Hamilton Cayley
2. Dimostrare che se V è uno spazio vettoriale su un campo K e f : V → V
è un endomorfismo tale che f 2 = f allora f è sempre diagonalizzabile.
Dimostrare che V è la somma diretta di ker f e Im f .
3. Dato il sottospazio V ⊂ R3 definito da V = {(x, y, z) | x + 2y − z = 0}
dare una formula per l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita come la
proiezione ortogonale su V seguita dalla inclusione di V in R3 . Studiare
la diagonalizzabilità di questa applicazione.
chi ha risolto il quesito precedente, può applicare quello, spiegando perché ciò è possibile.
4. Trovare una base ortogonale del sottospazio V ⊂ R4 definito dall’ equazione
x − y + z = 0.
5. Data l’ applicazione lineare f : R3 → R3 definita da
f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y + z, −x + y + 2z),
si considerino le sue restrizioni fh : Uh → R3 ai sottospazi Uh di equazioni
x − y + hz = 0, con h ∈ R. Determinare, se esistono, i valori di h ∈ R tali
che fh (Uh ) ⊂ Uh .
6. Sia V ⊂ R2,2 il sottospazio delle matrici V = {A ∈ R2,2 | tr(A) = 0}. Si
consideri la matrice
1
0
H=
0 −1
e l’applicazione lineare f : V → V definita da f (A) = HA − AH. Dimostrare che f è ben definita, cioè se tr(A) = 0 allora tr(f (A)) = 0 e
studiare la diagonalizzabilità di f .
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Geometria lineare
1. Dare una formula per la simmetria di R3 rispetto al piano
Π = {(x, y, z) | x + 2y − z = 1}.
2. Calcolare l’ equazione della sfera S 0 simmetrica della sfera S = {(x, y, z) | x2 +
y 2 + z 2 = 1} rispetto al piano π dell’ esercizio precedente.
3. Verificare se le due rette r ed s di R3 definite da r ≡ x + 2y = z = 0 ed
s ≡ (x − y = x + y + z = 0) sono sghembe. Calcolarne la distanza.
4. Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
O, x, y, z. Sia r la retta di equazioni x + z = 0, 2x − y = 0 e sia P (3, 0, 1).
Determinare la retta s passante per P, ortogonale e complanare a r.
s : 2y + z − 1 = x − 2z − 1 = 0.
5. Determinare le equazioni delle proiezioni r0 ed s0 delle rette r ed s dell’esercizio
precedente sul piano O, x, y.
6. (Teorico) Dato un piano Π di equazione ax+by+cz+d = 0 nello spazio con
sistema di riferimento cartesiano O, x, y, z, e dato un punto P = (x0 , y0 , z0 )
esterno al piano, con ax0 + by0 + cz0 + d > 0, si consideri il punto P 0 =
(x1 , y1 , z1 ) simmetrico di P rispetto a Π. Dimostrare che si ha ax1 + by1 +
cz1 + d = −(ax0 + by0 + cz0 + d) < 0.
Significato geometrico: se P appartiene ad uno dei due semispazi determinati da Π allora
P 0 appartiene all’altro semispazio.
7. Si considerino le rette r ed s in R3 aventi direzioni date dai vettori v =
(1, −1, 1) e w = (−1, 0, 1) rispettivamente e passanti per il punto A =
(0, 1, −1). Trovare equazioni cartesiane per la retta l passante per A e
perpendicolare ad entrambe. Trovare anche le rette bisettrici degli angoli
formati da r ed s, in forma parametrica.
Per quest’ultimo punto: trovare vettori direttivi di r ed s aventi la stessa lunghezza ed usarli
in qualche modo...
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