Le coniche
Borghesi Mirko
&
Longhi Andrea
STORIA E applicazioni
Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Sembra che il primo matematico ad
occuparsi delle sezioni coniche sia stato Menecmo (375-325 a.C), un matematico
greco discepolo di Platone e di Eudosso e maestro di Alessandro Magno. Esse furono
scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi di
trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio. Inizialmente
una sezione conica era definita come l’intersezione di un cono circolare retto con un
piano perpendicolare alla generatrice del cono: si ottiene infatti una parabola se
l’angolo al vertice è retto, un’ellisse se è acuto, un’iperbole se è ottuso.
La sistemazione razionale della trattazione delle coniche avvenne circa 150 anni più
tardi grazie ad Apollonio di Perga (c. 262-190 a.C.), conosciuto come il Grande
Geometra, il quale consolidò ed approfondì i precedenti risultati nell’opera Le
Coniche, la cui importanza, paragonabile agli Elementi di Euclide per la geometria
sintetica, non favorì ulteriori sviluppi nei secoli a seguire, almeno dal punto di vista
puramente geometrico. Degli otto libri che componevano l’opera, solo tre sono giunti
fino a noi nella versione originale, di altri quattro ci sono pervenute le traduzioni
dall’arabo e uno è andato perduto. Apollonio fu anche il primo ad attribuire i nomi di
ellisse, parabola, ed iperbole alle coniche. Tali nomi traggono origine dal confronto di
due grandezze caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire “mancanza”, iperbole
significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto". A differenza di quanto si
riteneva in precedenza, Apollonio dimostrò che non era necessario prendere sezioni
perpendicolari a un elemento del cono, e che da un unico cono era possibile ottenere
tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l’inclinazione del
piano di intersezione. Ciò rappresentava un notevole passo in avanti verso la visione
unitaria dei tre tipi di curve. Una seconda importante generalizzazione si ebbe quando
Apollonio dimostrò che non era necessario che il cono fosse retto (ossia, avente l’asse
perpendicolare alla base), ma che poteva benissimo essere anche un cono obliquo.
Infine, Apollonio dimostrò che, sostituendo il cono a una falda con il cono a doppia
falda, si potevano ottenere tutti i tipi di sezioni coniche da un unico cono, al variare
dell’inclinazione del piano intersecante il cono.
Apollonio inoltre fornì un grande contributo all’astronomia greca, applicando modelli geometrici al
moto dei pianeti. Pur risultando interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche
per i Greci aveva scarsi interessi pratici e venne abbandonato per un lunghissimo periodo.
Un campo in cui le coniche rivestirono una notevole importanza fu l’arte, principalmente durante il
Rinascimento e il Barocco. Nel Rinascimento le coniche (diverse dalla circonferenza) non sono più
pure forme geometriche, ma si ritrovano nelle forme prospettiche di pittori e architetti. Quindi
durante il Barocco la forma di ellisse compare negli archi e in alcune costruzioni. Infatti una
caratteristica dell’aarte di questo periodo è l’uso privilegiato che si fece della linea curva: in questo
periodo tutto deve prendere andamenti sinuosi, persino le gambe di una sedia o di un tavolo
devono essere curvi. Le curve che un artista barocco usa non sono mai semplici, quali un cerchio,
ma sono sempre più complesse, come le ellissi. Ne sono un esempio le chiese a pianta ellittica
risalenti a questo periodo.
Le coniche si ritrovano anche in molti settori della matematica e della fisica.
Nel XV secolo lo studio delle Coniche di Apollonio sarà anche di guida a Keplero (1571- 1630) per la
formulazione delle tre leggi sul moto dei pianeti che portano il suo nome. Keplero formulò per le
coniche quello che noi chiamiamo un principio di continuità, nel senso che "vide" i diversi tipi di
sezioni coniche come formanti un insieme privo di interruzioni o salti. Dalla sezione conica formata
semplicemente da due rette intersecantisi, nella quale i due fuochi coincidono con il punto di
intersezione, si passa attraverso un numero infinito di iperboli via via che un fuoco si allontana
sempre più dall'altro senza soluzione di continuità. Quando poi un fuoco è infinitamente lontano,
non si ha più l'iperbole a due rami, ma la parabola. Quando il fuoco, continuando a muoversi,
"oltrepassa l'infinito" e torna ad avvicinarsi dall'altra parte, si passa attraverso un numero infinito
di ellissi fino a che, quando i fuochi tornano a coincidere, si ottiene la circonferenza. Forse possono
sembrare concetti un po’ astratti, ma oggi possiamo comprendere meglio l’idea di Keplero grazie
all’uso delle teconologie informatiche (ad esempio Cabri Géomètre)
L'idea che la parabola abbia due fuochi di cui uno improprio, cioè all'infinito, è dovuta a Keplero,
così come il termine fuoco (dal latino focus, focolare, derivante dalla proprietà fisica già nota ad
Archimede, che, sembra, la utilizzò contro le navi romane che assediavano Siracusa, per cui uno
specchio parabolico concentra i raggi paralleli provenienti dal sole in un punto che è il fuoco
geometrico).
Un'altra importante applicazione è dovuta a Galileo (1564- 1642), il quale dimostrò che il moto di
un proiettile ha come traiettoria una parabola. Inoltre le coniche trovarono importanti applicazioni
nel campo dei fenomeni ondulatori. Per la legge della riflessione della luce, un paraboloide
rotondo, cioè una superficie ottenibile facendo ruotare di un giro completo una parabola attorno
al proprio asse presenta particolari proprietà che gli permettono di essere utilizzato come potente
telescopio, come riflettore, come antenna per le comunicazioni spaziali, come radio telescopi.
L’interesse per le coniche in campo non strettamente matematico ha sollecitato i
matematici del XVII a riprenderne lo studio. Si è sviluppata allora la visione unitaria
delle coniche come proiezione del cerchio su di un altro piano (Desargues 15931662). Sarà questo il primo
passo verso quello studio organico della geometria proiettiva intrapreso poi da
Poncelet
(1822).
I risultati ottenuti da Apollonio per via sintetica, relativi alle proprietà delle coniche
verranno
poi raggiunti, circa 1800 anni più tardi grazie all'introduzione di nuovi metodi algebrici
basati sulle coordinate cartesiane, ad opera di Cartesio e Fermat, che permisero di
risolvere problemi e verificare proprietà in modo più semplice, anche se forse meno
affascinante.
Nell’opera Géométrie, dalla risoluzione del problema di Pappo, Cartesio derivò
l’equazione generica di una conica passante per l’origine, che rappresentava il punto
di vista più unitario che fosse mai stato applicato all’analisi delle sezioni coniche.
Cartesio specificò le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti perché la conica
fosse una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole: tale analisi equivaleva, in un
certo senso, all’analisi della caratteristica dell’equazione di una conica. In seguito,
grazie all’opera di Fermat, si dimostrò che l’equazione di una conica generica è
un’equazione algebrica di secondo grado in x e y.
Nello stesso secolo Blaise Pascal (1623-1662) a 16 anni scrisse il “Saggio sulle sezioni
coniche”, in cui formulò uno dei fondamentali teoremi di geometria proiettiva, noto
come Teorema di Pascal: i sei vertici di un esagramma giacciono su una conica se e
solo se i punti di intersezione delle tre coppie di lati opposti giacciono su una stessa
retta .
Le sezioni coniche sono uno dei più ampi e classici argomenti della matematica ed
uno di quelli che ha stimolato i maggiori progressi in questa scienza. Tuttavia esse non
rimangono confinate nell’ambito puramente matematico, ma nella storia hanno
trovato innumerevoli applicazioni anche in altri campi, che hanno permesso
di comprenderne l’importanza anche ai
non-matematici. Altre applicazioni, derivanti da proprietà geometriche, verranno date
nel corso della trattazione dei contenuti.
I tipi di coniche
In geometria analitica possiamo distinguere 4 tipi diversi di
coniche:
• La circonferenza;
• La parabola;
• L'ellisse;
• L'iperbole.
La circonferenza
Nella geometria analitica, una circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano equidistanti da un punto fisso,
detto centro. La distanza di questi punti dal centro si definisce raggio.
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La Parabola
Nella geometria analitica, una parabola è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano equidistanti da una retta d (detta
direttrice) e da un punto F (detto fuoco) che non è sulla retta d.
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Parabola.ggb
L'Ellisse
Nella geometria analitica, un'ellisse è il luogo dei punti del piano cartesiano la cui somma delle distanze da due punti fissi dati
(detti fuochi) è costante, cioè sempre uguale. Secondo le leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse, con il Sole in uno
dei due fuochi.
Formula generale iperbole ed ellisse:
Formula ellisse:
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Ellisse.ggb
L'Iperbole
In geometria analitica, fissati due punti detti fuochi e un numero reale positivo 2a, con 2a < d(F, F'), si definisce iperbole il luogo
geometrico dei punti del piano cartesiano in cui è costante (e vale 2a) il valore assoluto della differenza delle distanze dai
fuochi.
Formula generale iperbole ed ellisse:
Formula iperbole:
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Le coniche e l’arte
IL Barocco
Un campo in cui le coniche rivestirono una notevole
importanza fu l’arte, principalmente durante il Rinascimento e
il Barocco. Nel Rinascimento le coniche (diverse dalla
circonferenza) non sono più pure forme geometriche, ma si
ritrovano nelle forme prospettiche di pittori e architetti. Quindi
durante il Barocco la forma di ellisse compare negli archi e in
alcune costruzioni. Infatti una caratteristica dell’arte di questo
periodo è l’uso privilegiato che si fece della linea curva: in
questo periodo tutto deve prendere andamenti sinuosi,
persino le gambe di una sedia o di un tavolo devono essere
curvi. Le curve che un artista barocco usa non sono mai
semplici, quali un cerchio, ma sono sempre più complesse,
come le ellissi. Ne sono un esempio le chiese a pianta ellittica
risalenti a questo periodo.
Analizzando con maggior dettaglio il rapporto fra Arte e
Matematica, Guarini rappresenta indubbiamente una delle
figure più interessanti di tutti i tempi. Legato alla tradizione
ma profondamente attratto dalle scoperte scientifiche della
sua epoca, è un intellettuale poliedrico: egli stesso si
definisce teologo, filosofo, matematico oltre che architetto e
pare che proprio la Matematica, al cui studio comincia ad
avvicinarsi a Roma, dove si reca nel 1639 dopo essere
entrato nell’ordine dei Teatini, lo abbia introdotto
all’architettura.
A questo punto propongo un link per far conoscere agli alunni
più curiosi chi era Guarino Guarini:
Le coniche dal barocco in poi
Dal periodo barocco (XVII secolo) in poi, la forma ellittica è
diventata un elemento decorativo che architetti e artisti
hanno molto utilizzato nelle loro opere.
Un esempio per tutti è la pianta ellittica della chiesa di
S. Andrea al Quirinale, di Lorenzo Bernini.
Le coniche nell’architettura moderna
A Larderello, in provincia di Pisa, sono stati costruiti, nel
secondo dopoguerra, impianti per la produzione di
energia elettrica, sfruttando gas vulcanico. Fanno parte
di questa costruzione quattro torri di raffreddamento,
aventi la forma di giganteschi iperboloidi.
Geometricamente, questi iperboloidi sono detti "a
sella" e un qualsiasi piano che passa per il loro asse li
seziona secondo delle iperboli.
In Australia, a Canberra, il palazzo del parlamento ha un
profilo esterno che fa pensare a un'iperbole.