Liceo scientifico “G.Aselli”
classe III E
anno scolastico 2005-2006
Gruppo 4:
BOLLI Elena, DAL RIO Chiara,
FAROLDI Federico, LOFFI Ilaria,
MORANDI Benedetta, PASINO Eleonora
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Le coniche secondo
APOLLONIO di PERGA
“Chi capisce Archimede e Apollonio,
ammirerà meno le conquiste dei più eminenti matematici dei tempi successivi”
(Leibniz)
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LA VITA
I PROBLEMI
MINORI
BIBLIOGRAFIA
LE CONICHE
SITOGRAFIA
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LA VITA
Apollonio non era nativo di Alessandria, dove compì i suoi studi;
ma era nato a Perga in Panfilia.
Non conosciamo con esattezza le date della sua vita, ma la tradizione riferisce
che operò durante la seconda metà del III secolo a.C.
Sono pervenute fino a noi opere di Apollonio che si occupano di diversi campi
della matematica:
-Dizione Rapida
(calcolo approssimato di p al valore di 3,1416)
- Luoghi Piani
- La sezione di un rapporto
- La sezione di un’area
- Sulla sezione determinata
- Tangenze
- Le coniche
INDICE
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I PROBLEMI MINORI
Si deve ad Apollonio l’introduzione di due sistemi alternativi a quelli delle
sfere concentriche: l’uno formato da moti epiciclici, l’altro da moti eccentrici.
Nel primo schema si assumeva che un pianeta P si
muovesse uniformemente lungo un piccolo cerchio
(epiciclo), il cui centro a sua volta si muoveva
uniformemente lungo la circonferenza di un cerchio
più grande (deferente) che aveva il suo centro nella
Terra O.
Nello schema eccentrico il pianeta P si muove
uniformemente lungo la circonferenza di un
grande cerchio il cui centro C’ si muove a sua volta
uniformemente in un piccolo cerchi con centro in
E. Se PC=C’E, i due schemi geometrici saranno
equivalenti come ben sapeva Apollonio.
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nell’opera Luoghi Piani Apollonio definisce il luogo dei punti tali che il rapporto
delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno) è un cerchio,
oggi noto come “il cerchio di Apollonio”.
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LA VITA
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INDICE
LA VITA
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 nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di un’area e Sulla sezione determinata
vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado.
ax –
2
x =
bc
(problema di applicare ad un segmento rettilineo un rettangolo
uguale a un rettangolo meno un quadrato)
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LA VITA
DERIVAZIONE DEL NOME…
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 nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di un’area e Sulla sezione determinata
vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado.
ax + x2 = bc
(problema di costruire su un segmento un rettangolo uguale ad un
rettangolo più un quadrato)
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LA VITA
DERIVAZIONE DEL NOME…
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Il trattato delle Tangenze presenta il problema oggi noto come il “problema di
Apollonio”:
Date tre cose, ciascuna delle
quali può essere un punto,una
retta o un cerchio, tracciare
un cerchio che sia tangente a
ciascuna delle tre cose (dove
tangenza a un punto va intesa
nel senso che il cerchio passa
per il punto). Questo
problema comporta dieci casi,
dai due più facili(in cui le tre
cose sono tre punti o tre rette)
a quello più difficile di tutti
(tracciare un cerchio tangente
a tre cerchi).
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LA VITA
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LE CONICHE
Premettiamo alla presentazione dei problemi riguardanti le coniche
il fatto che Apollonio doveva necessariamente operare con il più
rigoroso, ma molto più ingombrante, strumento dell’algebra
geometrica, a causa della totale mancanza di geometria analitica.
Apollonio, per la prima volta, dimostrò che:
- non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento
del cono
- da un unico cono era possibile ottenere
tutte e tre le varietà di sezioni coniche
semplicemente variando l’inclinazione del
piano di intersezione.
- il cono non doveva necessariamente essere retto, ma anche
obliquo o scaleno.
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 Derivazione
del nome delle coniche
Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici
appellativi, fu Apollonio che introdusse i nomi di ellisse, di parabola e di
iperbole in relazione a queste curve (usati invece in precedenza dai
pitagorici per la risoluzione di equazioni di 2°grado).
Per classificare le diverse curve prendeva in considerazione il parametro:
un segmento perpendicolare all’asse maggiore della conica, passante per
un fuoco, avente gli estremi sulla conica.
È ad Eutocio, commentatore dell’antichità, che risale la responsabilità
dell’opinione, largamente diffusa, ma errata, secondo cui i termini ellisse,
parabola e iperbole furono adottati da Apollonio per indicare le differenti
disposizioni del piano di intersezione rispetto alla seconda falda del cono.
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 ELLISSE (che significa “mancanza”) era stato usato quando un rettangolo
di area data veniva adagiato su un segmento dato – il parametro - in modo che
ne differiva per difetto. Quindi per l’ellisse il quadrato costruito sull’ordinata è
minore del rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro l (y2<lx).
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 IPERBOLE (che significa “lanciare al di là”) era stato adottato per il caso in
cui l’ area da applicare eccedeva il segmento. Per l'iperbole il quadrato
costruito sull’ordinata è maggiore del rettangolo formato dall’ascissa x e dal
parametro l (y2>lx).
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 PARABOLA (che significa “porre accanto” o “confrontare”) era stato
usato per indicare l’assenza sia di eccesso sia di difetto.
La parabola ha la proprietà per cui,qualunque punto della curva si scelga,il
quadrato costruito sull’ordinata è esattamente uguale al rettangolo formato
dall’ascissa x e dal parametro l (y2=lx).
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Nell’opera Le coniche Apollonio affronta varie questioni:
 individua la relazione fondamentale tra quelle che oggi chiameremmo le
coordinate piane di un punto sulla curva espresse dalle tre equazioni y2=lx,
b2 x2
y  lx 
a
e la proprietà dell’iperbole riferite ai suoi asintoti come assi,
proprietà attualmente espressa, per l’iperbole equilatera, dall’equazione xy=k2
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 introduce l’idea dell’iperbole come curva a due rami
 inizia lo studio delle diverse intersezioni tra le varie coniche
 risolve problemi, divenuti famosi nell’antichità, come il “luogo geometrico
rispetto a tre o quattro rette” che risolve riconducendo la soluzione alle sezioni
coniche (in quanto il problema viene risolto mediate un’equazione si 2°grado
nelle incognite x e y)
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 tratta dei segmenti massimi e minimi che si possono tracciare
rispetto ad una conica riducendo questo problema a teoremi sulle
tangenti e sulle normali definendone esattamente la natura
 Studiando i punti di intersezione tra le normali, giunge a definire il
luogo dei punti che oggi identifichiamo con l’evoluta della
conica (per evoluta di una conica si intende la curva su cui
giacciono i centri di curvatura, cioè i centri dei cerchi che meglio
approssimano la curva in ogni suo punto: i cerchi osculatori)
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• cerchi osculatori dell’ellisse
• esempi di evolute di ellissi
• esempio di evoluta di una parabola
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 Notazioni su Le coniche
- è presumibile che Apollonio conoscesse la proprietà delle curve di avere un
fuoco e anche una direttrice, ma di questi non viene fatta alcuna menzione
nelle Coniche, se non indirettamente
- la trattazione antica delle coniche non presentava nessun concetto numerico
che corrispondesse a quella che oggi chiamiamo eccentricità
- i metodi usati da Apollonio nelle Coniche sono, per molti aspetti, molti simili a
quelli moderni. L’impiego di rette di riferimento in generale, e quello di un
diametro e di una tangente all’estremo di una conica in particolare, non è
essenzialmente diverso dall’uso di un sistema di coordinate, siano esse
rettangolari o, più generalmente, oblique
- parlando della geometria greca possiamo dire che le equazioni sono
determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni
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BIBLIOGRAFIA
 APOLLONIO DI PERGA, Les coniques, trad. di P. Ver Eecke,
Desclèe de Brouwer, Bruges, 1924.
 BOYER, CARL B., Storia della Matematica, trad. di A. Carugo,
Mondadori, Milano, 1990.
 KLINE, MORRIS, Storia del Pensiero Matematico, trad. A.
Conte, Einaudi, Torino, 1996.
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SITOGRAFIA
 http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/005sch.htm
 http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Apolloni.htm
 http://www.homolaicus.com/teorici/ipazia/ipazia.htm
 http://digilander.libero.it/diogenes99/Greci/Grecia.htm

http://www.fmboschetto.it/images/galleria_matematica.htm
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