Percorso didattico
sulle geometrie
non euclidee
Realizzato dalle Proff.sse
Astone Maria Rosa
Thiella Catterina Silene
Tonizzo Raffaella
 È possibile collocare il percorso alla fine del
primo anno di scuola superiore per un totale di
10 ore
 Tale percorso può essere eventualmente
ripreso nel corso degli anni scolastici successivi,
nel momento in cui si affronta la crisi del
concetto di teoria scientifica e di significato
di “verità scientifica”.
 Definizione di assioma o postulato.
 Definizione di teorema e dimostrazione.
 Elementi di Geometria Euclidea
(proposizioni del primo libro dell’opera di Euclide).
 Elementi essenziali di Fisica classica.
 Rendere gli studenti consapevoli che la verità non
è sempre quella che appare.
 Scardinare la convinzione del carattere epistemico
delle scienze, in particolare della Geometria
euclidea.
 Sviluppare un nuovo atteggiamento mentale e
cognitivo  promuovere un sapere riflessivo.
Lezione interattiva (“apprendimento attivo”).
Mappe concettuali costruite dai ragazzi alla fine
dell’esposizione della Questione sulle Parallele e alla
fine dell’introduzione alla Geometria Iperbolica.
 Far riassumere ad uno studente dopo ogni lezione i
“concetti fondamentali “ esposti, guidandolo con
domande socratiche al fine di promuovere la
comprensione e la riorganizzazione degli argomenti
spiegati.
Fornire agli studenti appunti o fotocopie del percorso
didattico seguito.
La trattazione dell’argomento proposto nonostante le
indubbie difficoltà di comprensione, in quanto poggia
su riflessioni astratte e lontane dalla vita quotidiana
degli allievi, può costituire un’esperienza molto
stimolante proprio perché nell’adolescenza l’essere
umano è maggiormente portato alla riflessione e tende
a mettere in discussione tutto ciò che è determinato e
imposto dall’esterno.
Svolgimento dei
contenuti
Problema delle
parallele
1. Problema del V° postulato
e sua evoluzione storica
2. Cambiamento concettuale
agli inizi dell’800
Problema del V° postulato
Le prime 28 proposizioni del I libro di Euclide
sono dimostrate senza l’uso del V° postulato,
quasi Euclide volesse servirsene il più tardi
possibile, consapevole della difficoltà della
sua evidenza.
A causa di ciò sin dall’inizio si cerca di
dimostrarlo a partire dagli altri quattro, con la
convinzione che non fosse indipendente da
questi.
I primi tentativi
modificano la definizione di rette parallele,
in modo da far apparire ovvia
l’esistenza di una sola retta,
passante per un punto,
parallela alla retta data.
Percorso storico
Principali tentativi
di dimostrazione
del V° postulato
I° secolo a.C.
Posidonio
1693
Wallis
1733
Saccheri
POSIDONIO (135-50 a.C.)
definisce complanari
due rette equidistanti,
quindi non dà una
definizione
logicamente equivalente
WALLIS (1616-1703)
nel 1693 tenta di ricavare
il V° postulato
introducendo i triangoli simili,
quindi lo sostituisce con uno
equivalente
SACCHERI (1667-1733)
usa un nuovo tipo
di dimostrazione,
quella “per assurdo”
e nel 1733 scrive un’opera
in cui presagisce
la soluzione moderna delle parallele
Il quadrilatero di SACCHERI
costruiti gli angoli retti  e ,
 e  potrebbero essere:
entrambi retti
entrambi acuti
entrambi ottusi
CAMBIAMENTO
CONCETTUALE
agli inizi del 1800, si cerca di dimostrare
la coerenza delle teorie nate dalla
negazione del V° postulato anziché la sua
dipendenza dagli altri quattro
Geometria ellittica
postulato:
non esistono rette
passanti per P,
parallele alla retta
AB
A
Riemann
P
•
B
Geometria iperbolica
postulato:
due sono le rette
passanti per P,
parallele alla retta
AB
P
A
Gauss  Lobacevskij  Bolyai
B
Lo spazio fisico
Rivoluzione dei concetti di spazio assoluto e
di tempo assoluto
Introduzione del concetto di spazio curvo
La relatività di Einstein