Notte dei ricercatori, Parma 27 settembre 2013
Una, nessuna e centomila
(parallele)
Alberto Saracco
Dipartimento di
Matematica e Informatica
Università di Parma
Approvato
dalla rete!
Il V postulato (1)
Dati r e P,
quante parallele
a r per P?
Nessuna
Una
Infinite
Il V postulato (2)
Una! E’ il famoso V postulato di Euclide! (sarebbe l’ assioma di Playfair)
I primi IV postulati…
I
• Per due punti passa una retta
II
• Una retta finita si può prolungare
indefinitamente
III
• Dati un centro e un raggio si può
descrivere un cerchio
IV
• Angoli retti sono uguali tra loro
e il V
Se una retta incidente
ad altre due rette forma
due angoli interni la cui
somma sia minore di
due retti
Le due rette prolungate
indefinitamente si
incontreranno dalla
parte dei due angoli
minori di due retti
ALLORA
Cosa non va nel V postulato?
1
• Non piaceva ad Euclide
• Le prime 28 proposizioni (e la 31) non lo usano
2
• Sembra un teorema
• Il suo inverso è la Prop. 17
3
• La Proposizione 32 implica le proposizioni 16 e 17
• Perchè Euclide le enuncia?
La geometria assoluta
Occorre
dimostrare
il V
postulato
Oppure
sostituirlo
con un altro
assioma
Studiare la
geometria
assoluta,
dove valgono
I, II, III e IV
Teoremi della geometria assoluta
17
31
• In ogni triangolo la somma
di due angoli è minore di
due retti
• Dati un punto P e una retta
r non passante per P, esiste
(almeno) una parallela a r
passante per P
Almeno una!
Dati r e P,
quante parallele
a r per P?
Nessuna
Una
Infinite
Proprietà equivalenti a V
P teorema della
g. euclidea
P=V
V teorema della
g. assoluta + P
Proprietà equivalenti a V
Rette parallele alla
stessa retta sono
parallele
Luogo dei punti
equidistanti da una
retta: retta
Esiste una coppia
di rette
equidistanti
Esistono due
triangoli simili ma
non congruenti
Somma degli
angoli interni di un
triangolo: 180°
Esiste un triangolo
con somma degli
angoli interni 180°
Esiste un
rettangolo
Per un punto
esterno a una retta
passa una e una
sola parallela
…
Girolamo Saccheri
Euclides ab omni
naevo vindicatus
(1733)
Geometria
assoluta
non V
ASSURDO!
Nei quadrilateri birettangoli isosceli
gli altri due angoli
sono acuti
• Equivalente a infinite parallele
sono retti
• Equivalente a 1 parallela (V postulato)
sono ottusi
• Equivalente a nessuna parallela
Le ipotesi
Dell’angolo
acuto
Dell’angolo
retto
Dell’angolo
ottuso
L’ipotesi dell’angolo ottuso
Ipotesi dell’angolo ottuso
V postulato
Assurdo!
L’ipotesi
dell’angolo
ottuso distrugge
sé stessa
L’ipotesi dell’angolo acuto
Ipotesi dell’angolo acuto
Esistono rette
asintotiche
Non bello
(???)
L’ipotesi
dell’angolo
acuto ripugna
all’idea di linea
retta
La geometria iperbolica
Saccheri aveva semplicemente trovato la
geometria iperbolica
Geometria assoluta +
Negazione V postulato =
Geometria iperbolica
Nella geometria iperbolica
Ci sono infinite
parallele ad r
passanti per P
Esistono rette
asintotiche
Somma degli
angoli interni di un
triangolo: <180°
Somma degli
angoli interni di un
triangolo: non
costante
Triangoli simili
sono congruenti
Somma degli
angoli interni +
area del triangolo
= costante!
L’area dei triangoli
è limitata
Esistono rette
incidenti parallele
alla stessa retta
…
Un modello del piano iperbolico
Piano = disco aperto D
Rette = diametri e
circonferenze
perpendicolari al bordo
di D
Angoli tra rette = angoli
tra le tangenti
Distanza = complicata.
Man mano che ci si
avvicina al bordo la
distanza tra punti
aumenta
Limite del cerchio,
M. C. Escher
Altre geometrie…
Negando il V postulato
• Abbiamo ottenuto la geometria iperbolica
Cosa succede se cambiamo altri
postulati?
• Si trovano altre geometrie…
La geometria sferica
Piano = sfera S
Rette =
circonferenze
massime
Angoli tra rette =
angoli tra le
tangenti
Distanza = misurata
sulle circonferenze
come nella
geometria euclidea
Geometria sferica
Vale il V postulato
Somma degli
angoli interni di un
triangolo: >180 °
Somma degli
angoli interni di un
triangolo: non
costante
Triangoli simili
sono congruenti
Somma degli
angoli interni area del triangolo
= costante!
L’area dei triangoli
è limitata
Vale l’ipotesi
dell’angolo ottuso
…
Tutte le rette si
intersecano
E l’assurdo?
Qualcosa non torna, ma cosa?
• Nella geometria sferica non vale il I
postulato (se interpretato come “per due
punti passa una e una sola retta”) e non
vale il II postulato (le rette sono finite)
• Nella geometria sferica dati tre punti su
una retta non ha senso chiedersi quale sta
tra gli altri due
I postulati non postulati
Euclide usa anche delle
“verità” che non
enuncia esplicitamente
Per parlare
correttamente di
“geometria euclidea”,
dovremmo enunciare
tutti gli assiomi
Gli assiomi di Hilbert (20)
Assiomi di
collegamento
Assiomi di
ordinamento
Assiomi di
congruenza
Assioma delle
parallele
Assiomi di continuità
•
•
•
•
•
•
•
Due punti distinti dello spazio individuano una retta.
Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta.
Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano.
Qualsiasi terna di punti non allineati di un piano individua tale piano
Se due punti di una retta giacciono su un piano tutti i punti della retta giacciono su quel piano
Se due piani hanno un punto in comune avranno almeno un secondo punto in comune
Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, ed esistono almeno quattro punti non complanari
•
•
•
•
Se un punto A sta tra B e C, A sta anche tra C e B, ed i tre punti sono allineati
Dati due punti distinti A e B, esistono un terzo e un quarto punto C e D sulla retta passante per A e Btali che A sta tra C e B e B sta tra A e D
Dati tre punti distinti e allineati, ce n'è esattamente uno che giace tra gli altri due
Assioma di Pasch: siano dati tre punti A, B e C non allineati, contenuti in un piano p, ed una retta dcontenuta in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: se d contiene un punto del
segmento AB, allora contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC. (Intuitivamente l'assioma potrebbe essere espresso così: se una retta entra in un triangolo attraverso un lato, allora
deve uscirne da uno degli altri due.)
• Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A' è un punto sulla stessa retta ovvero su un'altra a', si può sempre trovare un punto B', da una data parte della retta a' rispetto ad A', tale che il
segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A'B'. In simboli: AB ≡ A'B'.
• La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB, alloraA′B′ ≡ A′′B′′.
• Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su una retta r′ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C′, allora AC ≡ A′C′.
• Sia ABC un angolo e B'C' una semiretta, esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente all'angolo ABC.
• La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A′B′C′ e A′′B′′C′′ sono congruenti ad ABC, allora A′B′C′ ≡ A′′B′′C′′.
• Se per due triangoli ABC e A′B′C′ si ha che AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, e l'angolo BAC ≡ all'angolo B′A′C′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al triangolo A′B′C′.
• (Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.
• (Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenenteAB una famiglia di punti A₁, A₂, …,An tali che i segmenti AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, An-1An, sono congruenti
a CD e tali che B giace tra A e An.
• (Assioma di completezza ). Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi geometrici in modo che il sistema così generalizzato formi una nuova geometria obbediente a
tutti i venti assiomi precedenti. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, ammesso che si considerino validi i venti assiomi del sistema
assiomatico di Hilbert.
E quindi?
Dati r e P,
quante parallele
a r per P?
Una,
nessuna
e centomila!
(geometria
euclidea)
(geometria
sferica)
(geometria
iperbolica)
Sitografia / Bibliografia
• www2.unipr.it/~saralb74/divulgazione
• Wikipedia
• http://lcalighieri.racine.ra.it/pescetti/ricerca_geo
metrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/sec
onda_parte.htm
• http://www.dmf.unicatt.it/~bibsoft/provatesi/mo
dello_iperbolico.htm
• Le geometrie non euclidee, D. Palladino e C.
Palladino
• Geometrie non euclidee, S. Benvenuti