Dalla Geometria alle Geometrie
Brunetto Piochi (Università di Firenze)
Da Euclide (300 a.C.)
a Bolyai-Lobacevskij (XIX secolo)
a Hilbert (XX secolo)
Incontrando Aristotele, Dante, Kant,…
ARISTOTELE (384-322 a.C.)
e la SCIENZA
ARISTOTELE :
la SCIENZA e la Dimostrazione
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Nozioni Comuni
Regole generali di Dimostrazione
Termini primitivi
Definizioni
Assiomi / Postulati
Proposizioni
“EVIDENTI”
(Teoremi)
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
Euclide nel dipinto di Raffaello "La scuola di Atene", 1509
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
Nozioni comuni
I. Cose uguali a una medesima cosa sono
uguali anche tra di loro.
II. Se cose uguali vengono aggiunte a
cose uguali, gli interi sono uguali.
III. Se cose uguali vengono sottratte da
cose uguali, i resti sono uguali.
IV. Cose che coincidono l’una con l’altra
sono uguali l’una con l’altra.
V. L’intero è maggiore della parte.
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
Alcuni Termini Primitivi
I. Punto è ciò che non ha parti.
II. Linea è lunghezza senza larghezza.
IV. Retta è la linea che giace ugualmente
rispetto ai suoi punti.
XXIII. Rette parallele sono quelle che,
essendo nello stesso piano e venendo
prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra
parte, non si incontrano tra loro da nessuna
delle due parti.
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
I Postulati
I. Si può tracciare una retta da un punto
qualsiasi a un punto qualsiasi.
II. Si può prolungare indefinitamente una
retta finita.
III. Si può descrivere un cerchio con un centro
qualsiasi e un raggio qualsiasi.
IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
Il V Postulato
V. Se una retta che interseca due altre rette
forma dalla stessa parte angoli interni inferiori
a due angoli retti, le due rette, se prolungate
indefinitamente, si incontrano da quella parte
dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.
La Prima Proposizione
Esiste un Triangolo Equilatero
Tracciato un segmento AB, si traccia la circonferenza
di centro A e raggio AB e la circonferenza di centro B
e raggio AB; sia C uno dei due punti in cui le due
circonferenze si intersecano. Risulta che il triangolo
ABC è equilatero dal momento che i tre lati sono
raggi di una delle due circonferenze che hanno raggi
uguali per costruzione.
DANTE e la Matematica
LOGICA
Francesco venne poi, com' io fu' morto,
per me; ma un d'i neri cherubini
li disse: "Non portar: non mi far torto.
Venir se ne dee giù tra ' miei meschini
perché diede 'l consiglio frodolente,
dal quale in qua stato li sono a' crini;
ch'assolver non si può chi non si pente,
né pentere e volere insieme puossi
per la contradizion che nol consente"
(INFERNO 27: Guido da Montefeltro)
LOGICA e GRANDI NUMERI
Io li credetti; e ciò che 'n sua fede era,
vegg' io or chiaro sì, come tu vedi
ogni contradizione e falsa e vera.
(PARADISO 6 : i dogmi di fede)
L'incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che 'l numero loro
più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla.
(PARADISO 28: il numero degli Angeli)
OTTICA GEOMETRICA
Come quando da l'acqua o da lo specchio
salta lo raggio a l'opposita parte,
salendo su per lo modo parecchio
a quel che scende, e tanto si diparte
dal cader de la pietra in igual tratta,
sì come mostra esperïenza e arte;
così mi parve da luce rifratta
(PURGATORIO 15)
FILOSOFIA, LOGICA, GEOMETRIA
Non ho parlato sì, che tu non posse
ben veder ch'el fu re, che chiese senno
acciò che re sufficïente fosse;
non per sapere il numero in che enno
li motor di qua sù, o se necesse
con contingente mai necesse fenno;
non si est dare primum motum esse,
o se del mezzo cerchio far si puote
trïangol sì ch'un retto non avesse.
(PARADISO XIII : Salomone)
GEOMETRIA: MODELLO di SAPERE
O cara piota mia che sì t'insusi,
che, come veggion le terrene menti
non capere in trïangol due ottusi,
così vedi le cose contingenti
anzi che sieno in sé
(PARADISO 17 : Cacciaguida)
Qual è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,
tal era io a quella vista nova
(PARADISO 33: La Trinità)
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
I Postulati
I. Si può tracciare una retta da un punto
qualsiasi a un punto qualsiasi.
II. Si può prolungare indefinitamente una
retta finita.
III. Si può descrivere un cerchio con un centro
qualsiasi e un raggio qualsiasi.
IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.
EUCLIDE (circa 300 a.C.)
Il V Postulato
V. Se una retta che interseca due altre rette
forma dalla stessa parte angoli interni inferiori
a due angoli retti, le due rette, se prolungate
indefinitamente, si incontrano da quella parte
dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.
Proposizioni Equivalenti al
V Postulato
Gli angoli interni, da una stessa parte, formati da due
rette parallele con una trasversale sono
supplementari (Tolomeo II secolo d.C.)
Se una retta incontra una di due rette parallele,
incontra anche l'altra (Proclo 412-485)
Due rette parallele ad una terza sono parallele tra di
loro (Proclo, 412-485 d.C.)
Dato un triangolo qualsiasi, si può sempre costruirne
un altro simile (cioè con gli stessi angoli) ad esso, di
grandezza arbitraria (Wallis 1616-1703).
La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due
angoli retti (Saccheri 1667-1733).
Proposizioni Equivalenti al
V Postulato
Esiste un rettangolo (Saccheri 1667-1733)
Data una retta ed un punto non appartenente ad
essa, esiste ed è unica una retta passante per il
punto e parallela alla retta data (Playfair, 17481819)
Per un punto interno ad un triangolo passa sempre
una retta secante ambo i lati dell'angolo (Legendre
1752-1833)
Per tre punti non allineati passa sempre una ed una
sola circonferenza (Bolyai 1775-1856)
Si può costruire un triangolo di area maggiore di
qualunque numero assegnato (Gauss 1777-1855)
Negare il V Postulato
Postulato 5 (Playfair)
Data una retta ed un punto non appartenente
ad essa, esiste ed è unica una retta passante
per il punto e parallela alla retta data


N1. Data una retta ed un punto non
appartenente ad essa, esistono almeno 2
(infinite) rette passanti per il punto e
parallele alla retta data.
N2. Data una retta ed un punto non
appartenente ad essa, non esiste alcuna
retta passante per il punto e parallela alla
retta data.
Negare il V Postulato
Sostituendo il quinto postulato con una
delle proposizioni equivalenti:

In un triangolo la somma degli angoli
interni è di 180°
si ha che le negazioni N1 e N2 diventano:


N1. In un triangolo la somma degli angoli
interni è minore di 180°
N2. In un triangolo la somma degli angoli
interni è maggiore di 180°
Negare il V Postulato
KANT: “Critica della
ragion pura” (1781)
I giudizi a priori sono indipendenti dall'esperienza e
derivano dal pensiero in se stesso, si distinguono
per la loro necessità e universalità.
I giudizi empirici o a posteriori derivano
dall'esperienza, pertanto non sono universali ma
contingenti, particolari, dipendono da fatti specifici.
I giudizi analitici sono quelli contenuti
implicitamente nel soggetto di cui si parla, pertanto
non ampliano la nostra conoscenza.
I giudizi sintetici sono quelli che aggiungono al
soggetto di cui si parla qualcosa che non era già
pensato in esso, pertanto ampliano effettivamente la
nostra conoscenza.
GIUDIZI
analitici
A priori
empirici
Analitici a priori
Non esistono
Nessun celibe è
sposato
sintetici
Sintetici a priori
Sintetici empirici
La GEOMETRIA
EUCLIDEA
Tutti voi siete
nati dopo il 1990
KANT afferma che :
Per mezzo di giudizi analitici la nostra conoscenza
non può estendersi punto, ma può invece essermi
reso esplicito e intelligibile il concetto che già
posseggo;
Nei giudizi sintetici io ho bisogno, oltre che del
concetto del soggetto, di qualcos'altro ancora (X),
su cui si appoggi l'intelletto per riconoscere che
gli appartiene un predicato non compreso nel
concetto.
Le vere e proprie proposizioni matematiche sono
sempre giudizi a priori e non empirici, poiché
portano con sé una necessità che non può essere
presa dall'esperienza: es. Postulato IV di Euclide
Geometrie Non euclidee
e Modelli
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Ma allora… quale è VERA?
“Che cosa penso della domanda: la geometria
euclidea è vera? Essa non ha significato. È
come chiedersi … se la geometria delle
coordinate cartesiane è vera e quella delle
coordinate polari è falsa.
Una geometria non può essere più vera di
un’altra; essa può essere solo più
conveniente.”
H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, la Nuova
Italia, Firenze
Nella Matematica attuale…
Gli Assiomi non sono “proprietà” degli oggetti
(che non si conoscono !) ma “definiscono” le
relazioni a cui essi devono soddisfare.
Dunque non si richiede più l’evidenza (Aristotele)
ma la non-contraddittorietà (Hilbert).
I modelli servono a garantire la noncontraddittorietà (relativa) ma:
NON ESISTE UNA NON-CONTRADDITTORIETA’
ASSOLUTA (Godel 1931)