La Geometria euclidea
La geometria euclidea ha caratterizzato la matematica e la fisica per oltre venti
secoli; la sua validità costituì uno dei principi fondamentali della filosofia di
Kant. La geometria di Euclide influenzò non solo le dottrine speculative, ma
l’arte, l’architettura e la stessa psicologia dell’uomo, il suo modo di vedere le
cose e di pensare. I risultati fondamentali della sintesi euclidea furono:
lo svincolarsi della geometria dalla materia;
l’introduzione del procedimento dimostrativo.
Prima di Talete (circa 600 a.C.) le entità geometriche erano vincolate agli
oggetti materiali. La concezione astratta degli enti geometrici, svincolata dagli
oggetti materiali e dalla loro rappresentazione, è merito del pensiero greco
sviluppatosi con Euclide. Gli Egizi ed i Babilonesi avevano già stabilito, in
maniera empirica, la validità di molte proprietà geometriche. Il valore
universale delle proposizioni geometriche ed il ragionamento deduttivo (che
collega le varie dimostrazioni e riconduce proprietà geometriche più
complesse a proprietà più semplici) si sono sviluppati con i Greci.
Gli Elementi di Euclide
Euclide (300 a.C.) visse ad Alessandria d’Egitto e della sua vita si sa
poco. La popolarità di Euclide è dovuta alla sua maggiore opera: Gli
Elementi, un trattato che, per numero di edizioni e traduzioni può
competere con La Divina Commedia e, forse, è superato solo dalla Bibbia.
L’opera di Euclide rappresenta una sintesi organica delle conoscenze
matematiche dei suoi tempi ed è ispirata a fini didattici: per molti anni è stato
usato come testo nelle scuole, con ottimi risultati.
Gli Elementi si compongono di 13 libri, nei quali si trova esposta
sistematicamente tutta la geometria elementare. Ogni libro inizia con un
gruppo di proposizioni che possono essere considerate come una specie di
definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da
altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi.
I principi fondamentali esposti negli Elementi si distinguono in tre categorie:
termini o definizioni, postulati (di natura geometrica) e nozioni comuni
(postulati anch’essi, ma di portata più generale).
Il Libro I degli Elementi è il più poderoso ed in esso si trova praticamente tutta
la geometria piana che si studia a scuola. Contiene 23 termini (pseudodefinizioni), 5 postulati e 5 nozioni comuni.
Ai termini del Libro I seguono nel testo originale i 5 postulati:
•Primo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa condurre una linea
retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
•Secondo Postulato di Euclide: risulti postulato che una retta terminata (cioè
un segmento) si possa prolungare continuamente in linea retta.
•Terzo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa descrivere un
cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (cioè raggio).
•Quarto Postulato di Euclide: risulti postulato che gli angoli retti siano uguali
tra loro.
Quinto Postulato di Euclide: risulti postulato che, se una retta venendo a cadere
su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti (cioè
tali che la loro somma sia minore di due retti) , le due rette prolungate
illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli
minori di due retti (cioè la cui somma è minore di due retti).
Quindi, se  +  < 2 angoli retti, allora a incontra b dalla parte di tali angoli.
Nei libri di testo, generalmente, quando si parla di Quinto Postulato si fa
riferimento non all’enunciato nella forma espressa da Euclide, ma a una proprietà
equivalente. Questa proprietà viene chiamata Assioma della Parallela:
Data una retta ed un punto P che non le appartiene, esiste una ed una sola retta
che passa per P e non interseca r.
Paragoni
• Nella storia della filosofia la matematica è
stata generalmente assunta come il modello
della conoscenza certa e garantita. Le novità
nella matematica, se erano riconosciute (es.
Cartesio), erano dichiarate d’autorità della
stessa natura
I postulati di Euclide sono stati in armonia con le comuni intuizioni fisicogeometriche degli oggetti materiali, fino a quando la scoperta delle geometrie
non euclidee ha rivoluzionato questa armonia.
Dei cinque postulati alla base della geometria euclidea, il quinto postulato non
rispecchia la semplicità dei primi quattro, lo stesso Euclide forse ne era
consapevole.
La sua “verità” non è evidente, cioè non è evidente la corrispondenza con i
dati empirici dei fili tesi e dei raggi luminosi. La particolarità di questo
assioma consiste nel fatto che si riferisce a una retta immaginata
indefinitamente estesa nei due versi.
Poiché la massima lunghezza di ogni riga reale, di un filo e anche di un raggio
luminoso è finita, il quinto postulato non potrà mai essere verificato
sperimentalmente. Il fatto che tale postulato non si potesse verificare
sperimentalmente, fece sorgere la domanda se esso fosse o meno
indipendente dagli altri postulati.
I matematici che seguirono Euclide fino all’inizio del diciannovesimo secolo,
tentarono di risolvere i dubbi intorno all’assioma delle parallele.
Furono tentati due approcci: il primo consisteva nel sostituire il quinto postulato
con un enunciato più evidente, il secondo nel tentare di dedurlo dagli altri
postulati di Euclide; se ciò fosse stato possibile, esso sarebbe diventato un teorema
e tutti i dubbi sarebbero svaniti.
Proclo (circa 410-485 a.C.) cercò di eliminare la necessità di un particolare
postulato delle parallele: egli basò la sua dimostrazione del postulato su un
assioma che Aristotele aveva usato per dimostrare che l’universo è finito.
L’assioma dice: ”Se da un punto si prolungano indefinitamente due rette formanti
un certo angolo, le successive distanze fra le due rette finiranno per superare ogni
grandezza finita”.
La dimostrazione di Proclo era sostanzialmente corretta, ma si limitava a sostituire
un assioma discutibile con un altro altrettanto discutibile.
Girolamo Saccheri nel 1733 pubblicò un’opera in due volumi “Euclide
Emendato da ogni macchia”, in cui la problematica del Quinto Postulato veniva
affrontata seguendo tre possibilità:
esiste una sola parallela alla retta data passante per il punto assegnato;
non esiste alcuna parallela alla retta data passante per il punto assegnato;
esistono infinite parallele alla retta data passanti per il punto assegnato.
L’opera di Saccheri rappresenta il tentativo più ingegnoso per affrontare il
Quinto Postulato mediante una dimostrazione a contrariis: si assume come
punto di partenza la negazione del Quinto Postulato; se tale negazione risulta
falsa nel corso del procedimento dimostrativo, allora il Postulato (che
costituisce il suo contrario) risulterà vero.
Egli assume come date le prime 28 proposizioni del libro I di Euclide, le quali
sono indipendenti dal V assioma, e assunta come ulteriore ipotesi la falsità di
quest'ultimo, cerca qualche proposizione da cui scaturisca la verità di esso.
Così facendo prende in considerazione due nuove ipotesi che gli appaiono
possibili e dalle quali sviluppa varie conseguenze in modo logicamente
perfetto e con profondo senso geometrico.
Saccheri parte dalla considerazione di una particolare
configurazione ottenuta innalzando negli estremi A, B di un
dato segmento le perpendicolari e prendendo su esse due
segmenti uguali AD, BC. La figura ABCD che così si ottiene
si chiama quadrilatero birettangolo isoscele. Prima di tutto,
dimostra (mediante una simmetria attorno alla retta MN, asse della base AB),
che i due angoli in C e D risultano uguali.
Successivamente osserva che tali angoli possono essere ottusi, retti, oppure
acuti e chiama queste tre possibilità l'ipotesi dell'angolo ottuso, dell'angolo
retto e dell'angolo acuto, considerandole tutte egualmente possibili, e stabilisce
le seguenti proprietà:
•se per un solo quadrilatero birettangolo isocele vale una delle tre precedenti
ipotesi, altrettanto vale per qualsiasi altro quadrilatero birettangolo isocele;
•corrispondentemente a queste tre ipotesi la somma degli angoli interni di un
triangolo risulta maggiore, uguale, minore di due angoli retti;
•se in un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore, uguale, minore di
due angoli retti, altrettanto avviene per qualsiasi altro triangolo.
Siccome il verificarsi di una di queste tre ipotesi esclude il verificarsi delle
altre due, e una di queste deve sempre verificarsi, se ne deduce che se sarà
possibile escludere l'ipotesi dell'angolo ottuso e quella dell'angolo acuto,
resterà valida quella dell'angolo retto e così verrà dimostrato il V assioma.
La questione delle rette parallele non poteva, dal punto di vista logico, essere
posta in maniera più precisa; però, Saccheri, mentre riesce in maniera rigorosa
ad escludere l'ipotesi dell'angolo ottuso, non altrettanto bene riesce ad
escludere quella dell'angolo acuto. Egli infatti crede di poter affermare
l'impossibilità dell'ipotesi dell'angolo acuto, dimostrando che, se fosse valida,
verrebbero ad esistere rette complanari che si avvicinano indefinitamente senza
incontrarsi. Questo fatto, sebbene appaia in contraddizione con l'intuizione e
con l'esperienza tuttavia non rappresenta un'impossibilità logica rispetto alle
premesse.
Nonostante l'opera di Saccheri presenti un errore logico, essa è di grande
importanza perché viene stabilita per la prima volta una lunga serie di
proposizioni, tutte valide nonostante la negazione del V assioma di Euclide.
Questo modo di ragionare suggerì ai matematici del diciannovesimo secolo il
modo per provare non solo che il Quinto Postulato non era dimostrabile, ma
anche per individuare delle nuove geometrie dette “non euclidee”.
Le tre ipotesi di Saccheri, infatti, corrispondono ai tre tipi classici di tali
geometrie, e precisamente:
•l'ipotesi dell'angolo ottuso alla " geometria ellittica" (o di Riemann) nella
quale da un punto, in un piano, non si può condurre alcuna retta parallela ad
una retta data;
•l'ipotesi dell'angolo retto alla "geometria parabolica" (o di Euclide) nella
quale da un punto, in un piano, si può condurre una sola parallela ad una retta
data;
•l'ipotesi dell'angolo acuto alla " geometria iperbolica" (o di LobacewskjiBolyai) nella quale da un punto, in un piano, si possono condurre due o più
parallele ad una retta data.
Le Geometrie non euclidee
Poiché l’assioma delle parallele era indipendente, doveva quindi essere
possibile, almeno dal punto di vista logico, adottare un enunciato che lo
contraddiceva e sviluppare le conseguenze del nuovo insieme di assiomi.
Il russo Lobacevsckij e l’ungherese Bolyai furono i primi a rendere nota,
rispettivamente nel 1829 e nel 1832, quella che Lobacevsckij chiamò “geometria
immaginaria” e che oggi è chiamata “geometria iperbolica”. Nella geometria di
Bolyai-Lobacevsckij , l’assioma delle parallele è sostituito da un altro assioma
che ammette “l’esistenza di due distinte parallele condotte a una retta per un
punto esterno ad essa”.
Più tardi il tedesco Riemann, nella conferenza inaugurale tenuta nel 1851
all’Università di Gottinga, pose le basi per un nuovo tipo di geometria non
euclidea, detta “geometria ellittica”, in cui l’assioma delle parallele è sostituito
da un altro che afferma “la non esistenza di parallele ad una retta passanti da un
punto esterno ad essa”.
Prima di poter considerare tali geometrie branche legittime della matematica,
occorreva risolvere il problema fondamentale della loro coerenza.
Bolyai e Lobacevskij si erano posti questo problema, ma non erano stati capaci
di risolverlo.
Era necessario costruire “modelli” di una geometria tale da soddisfare
tutti gli assiomi di Euclide, eccetto il Postulato delle parallele. Il più
semplice di tali modelli è dovuto a Felix Klein, il cui lavoro in questo campo
fu stimolato dalle idee dello studioso inglese di geometria Cayley. È doveroso
ricordare che tale modello è dovuto a Beltrami, anche se la funzione distanza
usata in esso fu data da Klein, cosicché il modello viene spesso attribuito a
quest’ultimo.
Quindi il modello di Klein è costruito considerando dapprima gli enti
dell’ordinaria geometria euclidea, e poi “ribattezzando” alcuni di questi enti e
le loro mutue relazioni in maniera tale da generare una geometria non euclidea.
Fondamentali sono le definizioni di distanza e di angolo, definizioni proiettive.
Quindi alcuni concetti di geometria proiettiva permettono di comprendere
meglio tale modello.
D’altra parte il rapporto fra geometria proiettiva e le geometrie non euclidee,
che sono geometrie metriche poiché si servono del concetto di distanza come
concetto fondamentale, fu per molto tempo oggetto di numerose ricerche.
Il modello di Klein mostra che la geometria iperbolica, considerata come un
sistema formale deduttivo, è coerente come la geometria classica euclidea.
Nasce allora il problema di quale delle due geometrie si debba preferire
come descrizione della geometria del mondo fisico, l’esperienza non può
mai decidere se esistono una sola o infinite rette passanti per un punto e
parallele a una retta data. Gauss eseguì un’esperienza con cui intendeva
risolvere il problema: basò tale esperimento sul fatto che nella geometria
euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, mentre si può
dimostrare che nella geometria iperbolica è minore di 180°.
Gauss misurò effettivamente la somma degli angoli del triangolo formato dalle
cime delle tre montagne Brocken, Hohehadel e Inselberg. I lati di questo
triangolo erano rispettivamente lunghi 69, 85 e 197 chilometri. Gauss trovò
che la somma degli angoli superava i 180° di 14,85.
L’esperimento non dimostrò niente, poiché l’errore sperimentale era molto
più grande dell’eccedenza trovata, cosicché la somma corretta avrebbe potuto
benissimo essere uguale a 180° o anche meno.
Come Gauss si rese conto, il triangolo era troppo piccolo e poiché nella
geometria non euclidea il difetto è proporzionale all’area, soltanto un triangolo
molto grande avrebbe potuto eventualmente rivelare una differenza significativa
rispetto ai 180° nella somma negli angoli.
L’esperimento di Gauss mostrò che la geometria euclidea e quella
iperbolica , differiscono molto se si considerano figure grandi; mentre per
figure relativamente piccole, si avvicinano talmente da risultare
sperimentalmente equivalenti.
Quindi finché si propone l’esame di proprietà locali dello spazio, la scelta fra le
due geometrie deve essere fatta soltanto sulla base della semplicità e della
convenienza.
Poiché il sistema euclideo ammette una trattazione un po’ più semplice, è
giustificato il suo uso esclusivo finché si considerano distanze opportunamente
piccole (pochi milioni di chilometri), però non è detto che si adatti a descrivere
l’universo come complesso nei suoi aspetti più vasti.
Si ha una situazione analoga a quella che esiste in fisica, dove i sistemi di
Newton e di Einstein danno gli stessi risultati per distanze e velocità piccole, ma
differiscono quando si considerano grandi dimensioni.
L’importanza rivoluzionaria della scoperta della geometria non euclidea
consiste nel fatto che essa demolì l’opinione che gli assiomi di Euclide
costituissero l’ossatura matematica immutabile a cui dovesse adattarsi la
conoscenza sperimentale della realtà fisica.
Quindi la nascita delle geometrie euclidee diede una profonda svolta agli studi
della matematica, facendo crollare la convinzione che essa fosse una “scienza
esatta”, fondata su verità evidenti ed indimostrabili. In realtà la matematica
scoprì in sé numerose antinomie.
Le geometrie non euclidee sono plausibili in uno spazio che non presenta le
caratteristiche di omogeneità che gli assegnava Newton. Entra così in crisi il
concetto di spazio assoluto, ossia la definizione delle posizioni relative dei
corpi fermi nello spazio, indipendentemente dal tempo.
Unitamente alla crisi del concetto di spazio assoluto, si verificò una profonda
revisione del concetto di tempo assoluto. Entrambi i concetti costituivano i
presupposti fondamentali della matematica e della fisica.
Paragoni
La verità è una “favola”
• Crisi della certezza
(Nietzsche)
Cfr.
• Crisi dei fondamenti
(logicismo, formalismo, intuizionismo)
Paragoni
Il concetto di crisi come chiave di lettura della
cultura contemporanea:
• Che cos’è la verità?
• Come si configura il rapporto tra pensiero ed
essere?
Paragoni
Dalla seconda rivoluzione scientifica:
•Geometrie non euclidee
•Dibattito sui fondamenti delle matematiche
•Teoria della relatività
•Teoria dei quanti
•Genetica e biologia molecolare
Paragoni
• La geometria classica non è più
considerabile come un sapere basato
sull’evidenza dell’intuizione spaziale,
inoltre la coesistenza di più geometrie
pone il problema dell’atteggiamento da
assumere di fronte ad esse cioè del
criterio di scelta.
Paragoni
•Quale modello per la razionalità
occidentale?
•Quali premesse per la dimostrazione? (alla
premessa vera si sostituisce una premessa
“arbitraria”, emerge la distinzione tra sintassi
e semantica)
Paragoni
• Le teorie scientifiche non seguono più il
criterio assiomatico-deduttivo classico ma
seguono il criterio di non contraddittorietà
• Emerge l’idea di complessità
IL MODELLO DI KLEIN
Il modello di Klein si propone di illustrare un modello di geometria
iperbolica, attribuendo ai termini punto, retta, piano, uguaglianza, ecc.
significati diversi da quelli a cui siamo abituati, in modo però che siano
verificati i primi quattro Postulati di Euclide. La constatazione che il
Quinto Postulato non è però verificato nel modello, ne assicurerà la sua
indipendenza dai primi quattro.
Diamo, per iniziare, le prime fondamentali definizioni.
IL PIANO DI KLEIN
 Si definisce piano la ragione interna di una conica (per semplicità, noi
considereremo una circonferenza)
 Si definisce punto un qualunque punto interno alla circonferenza
 Si definisce retta una qualunque corda della circonferenza (estremi esclusi)
 Si definisce segmento la totalità dei punti di una retta compresi tra due suoi
punti assegnati
 Si consideri nel piano di Klein due rette passanti per un punto A. Tale piano
resta così diviso in quattro regioni, ciascuna delle quali è detta angolo.
 Due rette si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano angoli
adiacenti uguali. Tali angoli vengono detti angoli retti.
Definizione Si chiama trasformazione proiettiva (o proiettività) una
trasformazione geometrica che ha come invariante l’allineamento dei punti e il
birapporto
Nella geometria del piano di Klein vengono utilizzate particolari proiettività: le
omologie; quindi è necessario introdurre le proprietà delle omologie e la
definizione di omologia.
Un omologia ha come invarianti
 l’allineamento dei punti
 il birapporto
 in più presenta un punto ed una retta fissa (il centro di proiezione e l’asse)
Le omologie sono particolari proiettività, definite nel seguente modo.
Definizione Si chiama omologia la trasformazione del piano definita dai
seguenti elementi:
una retta fissa u (detta asse dell’omologia)
un punto fisso U (detto centro o polo dell’omologia)
un punto A e il suo corrispondente A’ (con A e A’ allineati con U)
Data una circonferenza  ed un punto U esterno ad essa, costruita la retta u
passante per i punti di contatto delle tangenti condotte da U alla circonferenza
(polare del punto U), si può condurre da U una qualsiasi secante alla circonferenza,
siano A e A’ i punti di intersezione
Si può considerare l’omologia di centro U e asse u e che ha A, A’ come coppia di
punti corrispondenti, tale omologia
a punti sulla circonferenza fa corrispondere punti sulla circonferenza
a punti interni alla circonferenza fa corrispondere punti interni.
Le omologie conservano il birapporto, che viene definito nel modo seguente.
Definizione. Si definisce birapporto (ABMN) di quattro punti propri A, B, M, N
appartenenti ad una stessa retta e nell’ordine considerato, il doppio rapporto:
(ABMN)  AM : AN
BM BN
Per il birapporto valgono le seguenti proprietà:
Il birapporto è invariante per omologie
Il birapporto è negativo o positivo a seconda che la prima coppia di punti separi
o non separi la seconda coppia
PIANO EUCLIDEO
PIANO DI KLEIN
Uguaglianza
Uguaglianza
Due figure sono uguali quando
esiste un movimento rigido
(isometria) che trasforma una figura
nell’altra
Un’isometria:
1) conserva l’allineamento
2) conserva le distanze
Due figure sono uguali quando
esiste una proiettività che trasforma
una figura nell’altra
Particolari proiettività sono le
omologie
Un’omologia:
1) conserva l’allineamento
2) conserva il birapporto
PIANO EUCLIDEO
PIANO DI KLEIN
Distanza
Si può definire la distanza di due
punti, in modo che segmenti uguali
abbiano uguale lunghezza e viceversa
Distanza
Non si può più utilizzare il concetto
di distanza nel senso euclideo
Occorre definire la distanza come
funzione di qualche cosa che si
conserva per omologie
Distanza
d(A,B)  0
Distanza
d(A,B) = 0 se A = B
 AM 


d(A,B) = d(B,A)
 BM 
d(A, B)  k ln(ABMN)  k ln

 AN 
Dati tre punti A, B, C allineati in


 BN 
questo ordine:
con k > 0
d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) proprietà di
additività segmentaria
Non vale la proprietà di additività
NEL MODELLO DI KLEIN I PRIMI QUATTRO POSTULATI DI
EUCLIDE VALGONO ANCORA.
Primo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa condurre una linea
retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
Questo postulato stabilisce l’esistenza di una retta per due punti . L’esistenza (e
unicità) della retta nel piano di Klein per due punti assegnati interni al piano stesso
(corda che è un segmento della retta euclidea per due punti )assicura la validità di
tale Postulato.
La verifica del Primo Postulato di Euclide è quindi
avvenuta supponendo vero il Primo Postulato di
Euclide. Questa non è una tautologia perché si tratta
di verificare che nel modello di Klein valgono i
primi quattro postulati di Euclide, ma non deve
venire esclusa, anzi deve venire ammessa la validità
dell’usuale geometria euclidea. In questo modo, il
modello di Klein è un modello di geometria non
euclidea, costruito, però, a partire dalla geometria
euclidea.
Secondo Postulato di Euclide: risulti postulato che una retta terminata (cioè un
segmento) si possa prolungare continuamente in linea retta.
La retta per Euclide è, in realtà, un segmento prolungabile tanto quanto basta.
Questo accade anche nel modello di Klein: dato un qualsiasi segmento AB, poiché
vi sono sempre, in entrambi i versi, infiniti punti della retta (infatti gli estremi
della corda non appartengono alla retta), è sempre possibile prolungarlo (da
entrambi le parti).
Terzo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa descrivere un cerchio con
qualsiasi centro ed ogni distanza (cioè raggio).
Dato un punto A e un valore r > 0, in ogni semiretta di origine A vi è un solo punto B
tale che AB  r . Il luogo di questi punti B, al variare della semiretta per A, costituisce
il luogo dei punti tali che la loro distanza da A sia il valore fissato r, cioè la
circonferenza di Klein di centro A e raggio r.
Quarto Postulato di Euclide: risulti postulato che gli angoli retti siano uguali
tra loro.
Per verificare la validità di questo Postulato, occorre mostrare che esiste una
omografia che muti un qualsiasi angolo retto PAM fissato, in un qualsiasi altro
angolo retto P’A’M’.
Assioma della Parallela:
Data una retta ed un punto P che non le appartiene, esiste una ed una sola retta che
passa per P e non interseca r.
E’ facile osservare che nel modello di Klein da
un punto P esterno alla retta MN, passano più di
una retta (anzi, infinite!) che non intersecano la
retta data: AB, CD, ME, ecc.
IL MODELLO DI POINCARE’
Sulla base dell’esperienza fatta e tenendo presente che sono possibili più modelli della
geometria iperbolica, dopo aver presentato il modello di Klein, risulterà molto utile fare
un approfondimento sul modello di Poincaré.
A tal proposito si può ricorrere alle opere di Escher.
Nella produzione di Escher, gli anni che vanno dal 1956 al 1970 rappresentano quello
che va sotto il nome di ”Periodo dell’Infinito”. L’opera migliore di questo periodo è il
“Limite del cerchio III” (1959), rappresentato nella diapositiva seguente.
Quest’opera sembra che sia il frutto dell’ammirazione dell’artista per una illustrazione
di un libro di H.S.M. Coxeter.
Questa immagine è una rappresentazione di uno spazio iperbolico, il cui modello è
dovuto al matematico francese Poincaré.
Dall’analisi di quest’opera si possono ricavare informazioni sul suddetto modello.
Le linee bianche sul disco di Escher disegnano una “tassellazione” in triangoli e
quadrilateri iperbolici. I lati dei triangoli e dei quadrilateri sono pezzi di
circonferenze che intersecano perpendicolarmente il bordo del disco, cioè il bordo
del disco e le circonferenze hanno tangenti perpendicolari nei loro punti di
intersezione.
Queste ultime sono le “rette” della geometria iperbolica, nel modello di Poincaré,
“rette” sono anche le intersezioni dell’interno del disco con i diametri di
circonferenze, che intersecano perpendicolarmente il disco. I punti del piano
iperbolico, in questo modello, sono i punti all’interno del disco.
Nel modello usato da Escher, gli angoli
iperbolici corrispondono agli angoli
visti dal nostro occhio euclideo.
L’angolo iperbolico tra due rette
iperboliche passanti per un punto
comune, non è nient’altro che l’angolo
tra le rette tangenti in quel punto alle
circonferenze corrispondenti.
Considerando la figura, le rette BA e BC sono tangenti (in senso euclideo) agli
archi AB e BC.
Per definizione l’ampiezza dell’angolo iperbolico coincide con l’ampiezza
euclidea dell’angolo formato dalle rette tangenti BA e BC.
Si nota subito che gli angoli interni del quadrilatero centrale del disegno di
Escher misurano meno di 90 gradi. Infatti la somma degli angoli interni di un
quadrilatero iperbolico è sempre minore di 360 gradi e per lo stesso principio, la
somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è sempre minore di 180
gradi.
Le distanze del cerchio iperbolico sono completamente diverse da quelle alle
quali noi siamo comunemente abituati. La distanza fra due punti è definita in
modo tale da crescere esponenzialmente quando uno dei due punti è spostato
verso il bordo del cerchio.
Paragoni
Poincaré: convenzionalismo
•La geometria è “più comoda” perché, nella sua
semplicità simbolica permette un miglior
inquadramento dei fatti sperimentali
•Le verità scientifiche sono uno strumento
pratico per interpretare la realtà
Paragoni
Heisemberg: il principio di indeterminazione.
Dal punto di vista teoretico non si può non
considerare come “ridimensionata” la legge di
causalità che dalla certezza passa all’ambito
della probabilità.
“Per la prima volta, nel corso della storia,
l’uomo ha di fronte solo se stesso “
(Heisemberg)
Paragoni
Uno sviluppo della riflessione filosofica:
la ripresa dell’epistemologia
1.Definire i limiti di ciò che è scientifico
2.Riflettere sugli strumenti e i metodi della
scienza
3.Definire lo statuto di verità delle teorie
scientifiche
Paragoni
1. Il circolo di Vienna e il principio di
verificazione
2. Popper e il falsificazionismo (v. Einstein)
3. L’epistemologia post-popperiana (Kuhn,
Lakatos, Feyerabend)