LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Postulati di euclide
1. Tra due punti qualsiasi è possibile
tracciare una e una sola retta.
2. Si può prolungare una retta oltre i due
punti indefinitamente.
3. Dato un punto e una lunghezza, è
possibile descrivere un cerchio.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
Il V postulato
versione semplificata di Playfair
• “ per un punto P esterno a una retta passa una e
una sola parallela alla retta data”
P
Numerosi matematici cercarono di dimostrare l’assioma delle parallele
senza mai riuscirvi.
Il tentativo più ingegnoso fu compiuto nel settecento da un gesuita
italiano, Gerolamo Saccheri, il quale pensò di dimostrare il V postulato
a contrariis: pose come punto di partenza due ipotesi negative al V
postulato con l’idea di arrivare a incongruenze logiche che avrebbero
dimostrato la sua tesi.
Ipotizzò che
1. per un punto esterno a una retta data non passa nessuna
parallela
2. per un punto esterno a una retta data passano infinite parallele
e dimostrò come assumendo queste ipotesi si pervenisse ad una
contraddizione. Tuttavia l’incoerenza con l’impianto della geometria
euclidea, non implicava la loro falsità dal punto di vista logico.
Questo suggerì ai matematici dell’800 che potevano esistere
geometrie in cui il V postulato veniva sostituito da un diverso assioma
altrettanto valido : stava nascendo una parte nuova della matematica :
Le geometrie non euclidee:
Geometria iperbolica
4 postulati di Euclide
+
Postulato iperbolico
(Infinite parallele)
Modello di Klein
Geometria ellittica
4 postulati di Euclide
+
assioma di Riemann
( nessuna parallela)
Modello sferico
GEOMETRIA IPERBOLICA
Ai piedi dei monti Urali, isolato e lontano dai centri matematici e di
interesse, il russo Nicolaj Ivanovic Lobacevskij sviluppa, attorno al
1800, una teoria completa, ardita e incomprensibile ai contemporanei
che, negando il postulato delle parallele, conduce a rivedere numerosi
risultati ormai universalmente accettati. Contemporaneamente e
indipendentemente da Lobacevski anche l’ungherese Jànos Bolyai nel
1823 partendo dalle stesse ipotesi giunge alle medesime conseguenze.
Postulato di Lobacevskij o postulato iperbolico :
In un piano, data una retta r ed un punto P fuori di essa, esistono
almeno due rette per P che non intersecano r.
GEOMETRIA IPERBOLICA:
MODELLO DI KLEIN
B
A
P
Piano: parte di piano euclideo costituito
dai punti interni della circonferenza
(esclusi i punti della circonferenza
stessa)
Retta: qualunque corda AB priva
di estremi
Punto: qualunque punto interno a C
Segmento: parte della retta AB : RS
MODELLO DI KLEIN
• Postulato iperbolico : data una retta r e un punto P
P
»
»
esterno ad essa esistono infinite
rette per P che non intersecano r
ULTRAPARALLELE
»
Rette limite: PARALLELE
A
»
B
Rette SECANTI
Si può perciò notare che le parallele ad r passanti per P sono infinite, da
qui appunto il termine iperbolico
Il primo a costruire un modello per la geometria iperbolica è Eugenio
Beltrami. Beltrami realizza una superficie in carta del diametro di 1,04 m.
detta la pseudosfera iperbolica. All'epoca un giornale definì il modello in
carta la Cuffia della Nonna, nome che tuttora ritorna nella descrizione del
modello all'Università di Pavia, dove è conservato, ossia Cuffia di Beltrami.
In questo modello i punti sono i punti che stanno sulla superficie della
pseudosfera e per retta passante per due punti si intende la geodetica, cioè
la linea di minima distanza congiungente i due punti:
si può ben osservare che:
GEOMETRIA IPERBOLICA E EUCLIDEA A CONFRONTO
COSA NON E’ PIU’ VALIDO
Qualsiasi enunciato di geometria euclidea la cui dimostrazione implichi
l’uso dell’Assioma di Parallelismo risulta automaticamente falso in
geometria iperbolica.
Ciò significa che risultano falsi tutti i teoremi a partire dal n° 29 in avanti.
Geometria eucllidea
Geometria iperbolica
Teorema : La somma degli angoli
interni di un triangolo è uguale ad
un angolo piatto
Teorema: La somma degli angoli di ogni
triangolo è minore di 180°
Teorema : Se due rette sono
parallele ad una terza , allora
sono tra loro parallele
Teorema : Se due rette sono parallele ad
una terza, non sono tra loro parallele
3 Criteri di congruenza
Criteri di similitudine
Area di un trangolo : A=bh/2
4 criteri di congruenza: i 3 della geometria
euclidea + Teorema: Se due triangoli
hanno rispettivamente uguali i tre angoli,
allora sono congruenti
Non esiste la similitudine perché (Teorema)
Quanto è più grande l’area di un triangolo
iperbolico, tanto minore è la somma dei
suoi angoli.
Area di un triangolo: se considero il
triangolo ABC e le sue tre altezze e provo a
calcolare l’area usando la formula euclidea,
ottengo 3 risultati diversi.
GEOMETRIA ELLITTICA
Verso la metà dell’800 il matematico tedesco Bernhard Riemann,
costruì un altro tipo di geometria egualmente rigorosa e coerente, che ,
mantenendo come l’iperbolica tutti gli assiomi e i primi 4 postulati della
geometria euclidea, sostituiva il V con la sua negazione :
dato un punto e una retta non passante per esso, non esiste alcuna
retta per il punto dato e parallela alla retta data.
Questo assioma detto di Riemann si può enunciare così:
“ Tutte le coppie di rette si intersecano”
oppure
“ Non esistono rette parallele”
MODELLO SFERICO PER LA GEOMETRIA ELLITTICA
Piano
Punto
Retta
Punti
Antipodali
insieme di punti di una
superficie sferica dello spazio
euclideo
punto della superficie sferica
cerchio massimo della superficie
sferica ( si ottiene intersecando
la superficie sferica con un piano
passante per il centro della
sfera)
punti diametralmente opposti
della superficie sferica
GEOMETRIA SFERICA ED EUCLIDEA A CONFRONTO
SULLA NOZIONE DI RETTA
PIANO EUCLIDEO
PIANO ELLITTICO
Esistono rette parallele
Non esistono rette parallele
Vale il I postulato di Euclide
vale il I postulato di Euclide ma:
Le linee rette che congiungono due
punti sono i cerchi massimi come i
meridiani, l’equatore, ma non i
paralleli. I paralleli non sono la
strada più breve per congiungere
due punti e, in corrispondenza dei
poli, divengono puntiformi
SULLA NOZIONE DI RETTA
PIANO EUCLIDEO
Vale il II postulato di Euclide
PIANO ELLITTICO
Cade il II postulato di Euclide:
le rette sono linee chiuse e hanno
lunghezza definita
Due rette euclidee hanno al più
le rette ellittiche hanno 2 punti in
un punto in comune
comune
Valgono gli assiomi di ordinamento
Cadono gli assiomi di ordinamento
dati tre punti su una retta non è vero che uno dei
tre sta sempre tra gli altri due. Infatti nessuno dei
tre punti A,B, e C della retta r sta fra gli altri due,
nel senso che, partendo da uno qualsiasi di essi,
si può raggiungere uno degli altri due restando
sulla retta e senza passare per il terzo punto.
SULLA NOZIONE DI RETTA
PIANO EUCLIDEO
Il rapporto fra circonferenza e raggio è π
PIANO ELLITTICO
Il rapporto fra circonferenza e raggio è
minore di π. Infatti in ( fig. 17) la
circonferenza di diametro AB non ha
centro in C ma in N, perché siamo
sulla superficie di una sfera, e l’arco
AN è maggiore del segmento AC.
Quindi il rapporto fra circonferenza
AB e raggio AN è minore di pigreco
SULLA NOZIONE DI TRIANGOLO
Un altro concetto fondamentale in geometria è quello di triangolo. Come sono i
triangoli sulla superficie di una sfera? Sono oggetti che appaiono… gonfiati!!
TRIANGOLI SFERICI
Nel piano euclideo tre punti non allineati individuano uno e un solo triangolo. Sulla
sfera, invece, due punti non antipodali possono essere collegati da due segmenti,
consideriamo allora solo archi minori. Tre archi minori individuano due regioni di
piano sulla sfera. Chiamiamo triangolo sferico quella regione delle due che ha area
minore. ( fig 18)
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO SFERICO
Proviamo ad osservare il triangolo sferico NAB dove N e S indicano i due poli
geografici ed e è l’equatore
In questo triangolo i due angoli di vertici A e B sono
retti; quindi la somma degli angoli del triangolo NAB
è sicuramente maggiore di un angolo piatto. Cade
così il teorema euclideo sulla somma degli angoli
di un triangolo
Ma c’è di più: mentre la somma degli angoli è
costante per il triangoli euclidei, per i triangoli
sferici tale somma varia al variare del
triangolo. Ce ne rendiamo conto guardando la
figura 20 :
A è un polo per la retta s
AB e AP sono segmenti perpendicolari a s
I triangoli APB che vengono a formarsi al
variare di P su s hanno tutti due angoli retti,
mentre quello in A è variabile. E’ quindi
variabile anche la somma degli angoli.
CONCLUSIONI
Dopo questa trattazione sommaria di quanto accade per le geometrie non
euclidee sorge spontanea la domanda: ma servono a qualcosa le geometrie non
euclidee? E la geometria studiata a scuola non vale più?
La geometria studiata a scuola vale, la usano fisici, ingegneri, architetti. Ma se
allarghiamo la visuale e consideriamo distanze di migliaia di chilometri sulla
Terra, allora la sfericità del pianeta comincia a farsi notare, e la geometria ellittica
diventa importante. I piloti degli aerei sanno benissimo che la rotta più breve fra
due località si trova su un arco di cerchio massimo: è anche per questo che, per
volare fra due aeroporti alla stessa latitudine, gli aerei non seguono la linea
immaginaria dei paralleli, ma descrivono un arco di cerchio massimo!!
Einstein quando concepì la teoria della relatività generale ipotizzò che la gravità
fosse un effetto geometrico dello spazio: la geometria giusta per descrivere
questo fatto è quella iperbolica.