GEOMETRIE NON EUCLIDEE
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LE GEOMETRIE
NON EUCLIDEE
C’è qualche buon motivo per parlarne?
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• la teoria eliocentrica di Copernico
• la legge della gravitazione di Newton
• la teoria dell’evoluzione di Darwin
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LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA
• COME CAMBIA LA MATEMATICA
• NUOVI RAPPORTI CON LA FISICA
• CON LA FILOSOFIA E CON LA
LOGICA MATEMATICA
• VERITA’ E IPOTETICITA’ DELLA
SCIENZA
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ASSIOMI DI EUCLIDE
1. Si ammetta di poter tirare da ogni punto ad
ogni altro punto ,una linea retta
2. Si ammetta di poter prolungare
continuamente per diritto una linea retta
terminata
3. Si ammetta di poter descrivere un circolo
con ogni centro e con ogni distanza
4. Si ammetta che tutti gli angoli retti sono
uguali tra loro
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- i criteri di congruenza dei triangoli
- per un punto si può tracciare una sola retta
perpendicolare ad una retta data
- in un triangolo isoscele gli angoli alla base
sono congruenti
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V assioma
Geometria euclidea
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PROBLEMATICA
– IL V POSTULATO E LE PRIME
CRITICHE dal 300 a.C
– L’OPERA DI SACCHERI (1667-1733)
– L’OPERA DI GAUSS (1777-1855)
– LOBACEVSKIJ (1792-1856) E BOLYAI
(1802-1860)
– L’OPERA DI RIEMANN (1826-1866)
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Proposizioni equivalenti al postulato V
• per un punto esterno ad una retta si può
condurre una sola parallela alla retta data
• la somma degli angoli interni di un triangolo
è uguale ad un angolo piatto
• l’area di un triangolo può superare
qualunque area assegnata grande a piacere
(Gauss 1777-1855)
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Approccio al problema
del V postulato da parte di
Saccheri
Data una retta r e un punto P fuori di essa
allora
a) per P passa esattamente una retta parallela a r
o
b) per P non passano rette parallele a r
o
c) per P passano almeno due rette parallele a r.
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LOB. e BOLYAI
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Se consideriamo i primi
quattro postulati e
l’ipotesi c
• Tutti i teoremi di geometria che
discendono dall’applicazione dei primi
quattro postulati continuano ad essere
teoremi della nuova geometria
Valgono inoltre i seguenti teoremi:
• la somma degli angoli interni di un triangolo
è sempre minore di un piatto
• non si può costruire un rettangolo
• non vale il teorema di Pitagora
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Teoremi
• di due triangoli , quello che ha l’area
maggiore ha la somma degli angoli minore
• detto difetto d la differenza tra 180° e la
somma degli angoli interni di un triangolo,
l’area del triangolo vale kd, dove k è una
costante
• L’area di un qualsiasi triangolo è minore di
k180°
• due triangoli simili sono congruenti
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LE NUOVE GEOMETRIE
• LA NASCITA DI GEOMETRIE
DIVERSE DALLA EUCLIDEA
• GEOMETRIE NON EUCLIDEE:
LA GEOMETRIA IPERBOLICA
LA GEOMETRIA ELLITTICA
• MODELLI DELLE GEOMETRIE e
COERENZA
• INDIPENDENZA DEL V ASSIOMA
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I MODELLI DELLE
GEOMETRIE
• Il piano, la superficie
cilindrica….MODELLI della geometria
euclidea
• ogni postulato della geometria
euclidea continua a valere per le
figure della superficie cilindrica
secondo la seguente interpretazione:
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Dal piano alla superficie
cilindrica
• retta
geodetica
• triangolo
triangolo curvilineo
• cerchio
cerchio
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MODELLO DELLA
GEOMETRIA IPERBOLICA
DI KLEIN
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Interpretazione
• piano
cerchio
parte interna del
• punto
punto interno al cerchio
• retta
corda
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MISURA E
MOVIMENTI
• Definiamo mis (AB)il valore assoluto
del
logaritmo del birapporto (ABPQ)
(detti P e Q le intersezioni della corda AB
con la circonferenza, si definisce
(ABPQ) = (AP/BP).(BQ/AQ).)
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P
X
A
B
Q
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Dimostriamo che la mis(AQ) diviene
infinita : a tale scopo è sufficiente
sottolineare che
Lim (AXPQ)=0 per X → Q ,
perciò
lim │log(AXPQ)│=+∞ per X → Q .
e i movimenti?
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CONSEGUENZE
• Indipendenza del V postulato
• Coerenza della geometria iperbolica
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Trigonometria iperbolica
il teorema dei seni in un triangolo
iperbolico di lati a,b,c e angoli α,β,γ
a
b
c
sinh
sinh
sinh
R 
R 
R
sin 
sin 
sin 
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MODELLO DELLA
GEOMETRIA ELLITTICA DI
RIEMANN
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Interpretazione
• piano
superficie sferica
• punto
• retta
coppia di punti
diametralmente opposti
→
cerchio massimo
(geodetica)
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Riemann
• la retta da infinita e illimitata
diventa finita ( come misura),
chiusa e illimitata
• due rette sono sempre incidenti, per
cui non esistono rette parallele.
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TEOREMI
• tutte le rette hanno la stessa
lunghezza (finita)
• la somma degli angoli di un
triangolo è maggiore di 180°, essa
tende a 180° quando l'area del
triangolo tende a 0
• non esistono triangoli o poligoni
simili con aree differenti
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TEOREMI
• due rette perpendicolari alla stessa
retta si intersecano; tutte le
perpendicolari alla stessa retta hanno
un punto di intersezione comune (o
due punti) alla stessa distanza dalla
retta data
• due rette qualsiasi hanno un unica
perpendicolare in comune
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TEOREMI
• non esistono rettangoli
• il teorema di Pitagora non vale,
ma si avvicina al risultato con il
tendere a zero dell'area del
triangolo.
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Quale geometria per la
fisica?
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L’uso di software
geometrici
• cabri plus
• cinderella
• geo
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Poligoni regolari
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Tassellazione con
pentagoni
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Arte e Geometria
Escher
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Cerchio limite III
Coxeter
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Coxeter pubblicò un’analisi del "Circle Limit III"
di Escher in cui dimostrava la precisione
matematica dell’opera. “Escher ha raggiunto il suo
risultato per istinto, mentre io ci sono arrivato
attraverso la trigonometria. Ma il suo lavoro è
assolutamente preciso, al millimetro.
Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da
poter vedere la mia esposizione matematica”.
(L’articolo on-line di Coxeter, sul lavoro di Escher: The
Trigonometry of Escher's Woodcut "Circle Limit III":
http://www.ams.org/featurecolumn/archive/circle
_limit_iii.pdf
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Concludiamo riportando uno dei teoremi più belli e difficili
della matematica
del secolo scorso (XX secolo).
Teorema di uniformizzazione di
Riemann-Poincare'.
Ogni geometria piana è riconducibile
a una delle tre geometrie sopra
descritte
(euclidea, sferica , iperbolica).
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Geometria secondo Klein
• Programma di Erlangen (Erlanger
programme) (1872)
Felix Klein introduce una visione unitaria
della geometria tramite il concetto di
gruppo:la geometria diventa lo studio delle
proprietà invarianti rispetto ad un gruppo
di trasformazioni
In particolare le geometrie non euclidee
trovano una sistemazione nell’ambito della
geometria proiettiva
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