Introduzione alle geometrie non euclidee Litografia di Escher Tavolo iperbolico La geometria prima di Euclide • Talete di Mileto (625 a.C. – 547 a.C.) introduce l’astrazione nello studio della matematica e dimostra i teoremi con un misto di logica e intuizione • Pitagora di Samo (570 a.C. – 495 a.C.) la scuola pitagorica fa suo il programma di Talete di fare della geometria una scienza deduttiva. Con la scoperta degli incommensurabili mostra che intuizione e logica possono dare risultati discordi. Dal punto di vista metodologico l’eredità della scuola pitagorica può essere sintetizzata con il termine rigore. Qualche data • Platone 427 – 347 a. C • Aristotele 384 – 322 a. C Nelle sue opere sono presenti i teoremi 1. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti 2. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali 3. Triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli Elementi • Datati circa 300 a.C. • Il centro degli studi filosofici si è spostato da Atene ad Alessandria d’Egitto • E’ il primo trattato di matematica • E’ composto da tredici libri Struttura del primo libro degli Elementi • • • • 23 definizioni 5 postulati 5 nozioni comuni 48 teoremi Definizioni dei termini primitivi • • • • Il punto è ciò che non ha parti Una linea è una lunghezza senza larghezza Gli estremi di una linea sono punti Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza • ................................ Caratteristica generale di una definizione: descrive, rende esplicito ciò che si intende con un termine agganciandolo alla realtà I postulati Si postula che I da qualsiasi punto si possa condurre una retta a ogni altro punto II ogni retta terminata si possa prolungare per diritto III con ogni centro e ogni distanza si possa tracciare un cerchio IV tutti gli angoli retti siano uguali tra loro V se una retta, incontrandone altre due, forma angoli interni da una stessa parte minore di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrino dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti P Nozioni comuni • Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro • Se a cose uguali si aggiungono cose uguali si ottengono cose uguali • Se a cose uguali si tolgono cose uguali si ottengono cose uguali • Cose che possono essere portate a sovrapporsi sono uguali tra loro • Il tutto è maggiore della parte Il tutto è maggiore della parte • Quali situazioni esclude • A quali situazioni si riferisce A B C AB < AC C D P A B A B C Q O BOC < AOC V postulato e rette parallele • Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni uguali allora le rette sono parallele (non dipende dal V postulato) α=β r // s L’esistenza di rette parallele è un teorema • Se due rette sono parallele, una trasversale forma con esse due angoli alterni interni uguali (dipende dal V postulato) r // s α=β s r Altri enunciati del V postulato • Due rette sono parallele se e solo se sono equidistanti Si dimostra che equivale al V postulato assumendo che “il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta” • Data una retta r e un punto P esterno ad essa è unica parallela per P alla retta r (Proclo V d.C.) Qui si riconosce che l’unicità della parallela è il contenuto del V postulato Saccheri (1667 – 1733) e la dimostrazione del V postulato Ipotesi La somma degli dell’angolo: angoli di un triangolo è: Retto Uguale a due retti Equivale V postulato Ottuso Maggiore di due retti Raggiunge una contraddizione Acuto Minore di due retti Trova una contraddizione per errore Qual è la situazione all’inizio del XIX secolo? Nel tempo si erano susseguiti diversi tentativi di dimostrare il V postulato, che avevano portato a riconoscere quali teoremi erano da esso indipendenti e a formulare nuovi enunciati del V postulato. Si inizia a ritenere che il V postulato è indimostrabile. Come dimostrare l’indimostrabilità del V postulato? I fondatori delle geometrie non euclidee • C. F. Gauss (1777 – 1855) • N. Lobacevskij (1793 – 1856) • J. Bolyai (1802 – 1860) • B. Riemann (1826 – 1866) Gauss La geometria non euclidea non contiene nulla di contraddittorio, sebbene molti suoi risultati debbano sulle prime essere ritenuti paradossali; tuttavia scambiare ciò per una contraddizione sarebbe unicamente un’illusione, provocata dalla vecchia abitudine a considerare la geometria euclidea come strettamente vera. (lettera a Schumacher, 1831) Esempi di teoremi di geometria non euclidea a cui si riferisce Gauss • Tutte le figure simili sono anche congruenti • Gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante, ma al crescere della misura dei lati diventano piccoli a piacere Lobacevskij • Opera una rifondazione globale della geometria oltre a sviluppare una teoria delle parallele • Parte da osservazioni di carattere sperimentale sul comportamento dei corpi J. Bolyai • Studia le proprietà dello spazio indipendenti dal V postulato • Risolve il problema della quadratura del cerchio nell’ipotesi della falsità del V postulato Classificazione • Geometria iperbolica: per un punto esterno a una retta data passa più di una parallela. Fondatori: Lobacevskij –Bolyai • Geometria ellittica: non esistono rette parallele. Fondatore: Riemann Riemann La geometria ellittica Henri Poincaré (1854 – 1912) Nuova visione della geometria • Le geometrie non euclidee non hanno il carattere di evidenza della geometria euclidea. • Gli enti primitivi non sono definiti con rimando all’esperienza ma attraverso gli assiomi • Gli enti primitivi possono essere paragonati alle carte e gli assiomi alle regole del gioco. La geometria è il “gioco” che si ottiene una volta date le regole • Come assicurare che nel gioco non si avranno incoerenze? Poincaré immagina un mondo racchiuso in una sfera, in cui: • La temperatura è massima al centro e diminuisce andando verso la superficie • La temperatura assoluta è proporzionale a R2-x2, dove x è la distanza dal centro della sfera • Tutti i corpi hanno lo stesso coefficiente di dilatazione In questo mondo il percorso dei raggi di luce è circolare Modello di Poincaré • Punto • Linea • Linea retta • Piano • Punto interno a un cerchio euclideo C • parte interna a C di una linea euclidea • Parte interna a C di un suo diametro o di un cerchio ortogonale aC • interno del cerchio C Coerenza della geometria iperbolica • Nel modello i primi quattro postulati e la negazione del V postulato hanno un’interpretazione euclidea • Ogni contraddizione deducibile da questi assiomi potrebbe essere tradotta in una contraddizione dei teoremi euclidei corrispondenti • Se la geometria euclidea è coerente allora lo è anche quella iperbolica. V postulato è indimostrabile! • Se il V postulato fosse dimostrabile dai primi quattro, allora sarebbe anche un teorema della geometria iperbolica • In tal caso la geometria iperbolica sarebbe non coerente perché conterrebbe il V postulato e la sua negazione. David Hilbert • Fondamenti della geometria (1899) • Per dimostrare che il suo sistema di assiomi è non contraddittorio ne dà un’interpretazione nell’insieme dei numeri reali • Se la teoria dei numeri reali è non contraddittoria allora lo è anche la geometria euclidea rifondata da Hilbert Modello della geometria euclidea • • • • Punto Circonferenza Retta piano • • • • Coppia (x; y) (x-h)2 +(y-k)2=r2 ax+by+c = 0 Insieme delle coppie (x; y) Gödel (1906 – 1978) E’ impossibile stabilire la coerenza logica di un sistema complesso, a meno di usare dei principi di ragionamento la cui coerenza interna è problematica quanto quella del sistema stesso. Bibliografia • Trudeau, La rivoluzione non euclidea • Agazzi – Palladino, Le geometrie non euclidee • H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi • M. Kline, Storia del pensiero matematico • G. Margiotta, Cabri come strumento di esplorazione delle geometrie non euclidee (quaderno Cabri n. 10)