Potenziale vettore
 un campo vettoriale conservativo puo’ sempre essere derivato da un opportuno
campo scalare attraverso l’operatore gradiente
 un campo vettoriale solenoidale puo’ sempre essere derivato da un opportuno
campo vettoriale attraverso l’operatore rotore
infatti se
w
e’ un campo solenoidale allora  w  0
ovunque
e in conseguenza di cio’ sara’ sempre possibile trovare un campo vettoriale
tale per cui si abbia
w   A
applicando l’operatore divergenza ad ambo i membri della
si ottiene   w
w   A
   (  A)
ma la divergenza del rotore di un campo vettoriale e’ identicamente nulla
quindi se il campo w fosse solenoidale si otterrebbe in effetti una identita’
(0=0)
A
in analogia con il potenziale scalare 
il campo A viene detto “ potenziale vettore”
mentre il potenziale scalare era definito a meno di una costante additiva
il potenziale vettore e’ determinabile a meno del gradiente di una funzione scalare
infatti se
A '  A  
  A '    ( A   )    A    ( )   A
dato che il rotore del gradiente di un qualsiasi campo scalare e’ identicamente nullo
una scelta che si puo’ fare per determinare univocamente il potenziale vettore,
ma non e’ l’unica possibile, e’ quella di imporre che anche A sia solenoidale
in questo caso
w   A
applicando l’ operatore rotore ad ambo i membri della relazione
si ha
  w    (  A)
e usando l’uguaglianza notevole
si ottiene
  (  A)  (  A)   A
2
  w  (  A)   A
2
l’imposizione che A sia solenoidale “ gauge di Coulomb” implica che
in conclusione si ha
 w   A
2
 A  0
in coordinate cartesiane
e
A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ
 w  ( w) x iˆ  ( w) y ˆj  ( w) z kˆ
l’operatore
2
2
2



2  ( 2  2  2 )
x y
z
l’ equazione vettoriale
 w  2 A
( w) x  2 Ax
( w) y  2 Ay
( w) z  2 Az
agisce su di una funzione scalare
si riconduce a tre equazioni scalari
Potenziale vettore magnetico
secondo le equazioni dell’elettrotecnica
 B  0 J
e
 B  0
dunque il campo magnetico non e’ conservativo, ma e’ solenoidale
quindi potra’ essere derivato da un opportuno potenziale vettore magnetico
ossia
B   A
se si impone la gauge di Coulomb per A ossia che
si ha
 B  2 A
quindi
 A  0 J
2
ma
 A  0
 B  0 J
 2 Ax   0 J x
2 Ay  0 J y
 2 Az   0 J z
in elettrostatica
se si impone al potenziale di annullarsi all’infinito, insieme alle sue derivate prime parziali,
e’ possibile dimostrare che la soluzione dell’equazione di Poisson

V
0
2
assume la forma:
V ( x ', y ', z ')  

 ( x, y , z )
d
r
x,y,z si estendono al volume  entro
cui e’ diffusa la carica elettrica
sorgente del campo
x’,y’,z’ sono le coordinate del
generico punto dello spazio P’ in cui
si desidera calcolare il potenziale
P’(x’,y’,z’)
P(x,y,z)
r
d

formalmente bastera’ sostituire
A V
0 
1
J
0
 2 Ax   0 J x
per ottenere come soluzione della equazione
l’espressione
e analogamente
0
Ax 
4

0
Ay 
4
Jx
d
r

Jy
r
d
e
0
Az 
4

Jz
d
r