Gradiente - Wikipedia
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Gradiente
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In matematica, il gradiente di un campo scalare, una funzione a valori reali di
più variabili reali, quindi definita in una regione di uno spazio a 2, 3 o più
dimensioni, è definito come il vettore che ha per componenti le derivate
parziali della funzione. Il gradiente rappresenta quindi la direzione di massimo
incremento di una funzione di variabili
.
Il gradiente è quindi una grandezza vettoriale che indica come una grandezza
fisica varii in funzione dei suoi diversi parametri.
Indice
1 Definizione
2 Campo vettoriale gradiente
3 Espressione del gradiente in altre coordinate
3.1 Gradiente in coordinate polari
3.2 Gradiente in coordinate sferiche
3.3 Gradiente in coordinate cilindriche
4 Voci correlate
Definizione
Per una funzione di due variabili f(x,y) il suo gradiente nel punto (x0,y 0) si
definisce come un vettore che ha per componenti le derivate parziali prime
calcolate nel punto:
In
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si definisce similmente:
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In
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si definisce:
dove con
si indica il versore della direzione i-esima con tutti gli elementi
nulli tranne l'i-esimo che vale 1.
Campo vettoriale gradiente
Il gradiente di una funzione
differenziabile su
individua un campo vettoriale - il
campo gradiente di f - associando
ad ogni
il vettore
dato dal gradiente di f in x.
Campo vettoriale del gradiente di due
funzioni visualizzate mediante la
densità della colorazione
Proprietà:
Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo.
Dimostrazione: se si calcola l' integrale di linea lungo una qualunque
curva
che sia chiusa, cioè tale che !(0) = !(1) si
ottiene:
.
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Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare
f sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di f, cioè alle
ipersuperfici date dall'equazione cartesiana
al variare di
.
Dimostrazione: i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da
,
consideriamo un generico vettore v tangente ad una superficie di
livello in un punto
. Sia
una curva tale che
, che
giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore
tangente alla curva in x è
. Mostriamo che v è
sono
ortogonali: poiché è su una superficie di livello si ha
,
cioè derivando
l'arbitrarietà di x e v.
. La tesi segue per
Espressione del gradiente in altre coordinate
Gradiente in coordinate polari
In
possiamo introdurre altri sistemi di
riferimento come quello polare:
Allora il gradiente in coordinate polari diventa il
vettore:
Coordinate polari
Gradiente in coordinate sferiche
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In
possiamo introdurre altri sistemi di
riferimento come quelle sferiche:
Allora il gradiente in coordinate sferiche diventa
il vettore:
Coordinate sferiche
Gradiente in coordinate cilindriche
In
possiamo introdurre altri sistemi di
riferimento come quelle cilindriche:
Allora il gradiente in coordinate cilindriche
diventa il vettore:
Coordinate cilindriche
Voci correlate
Calcolo vettoriale
Derivata parziale
Derivata direzionale, definibile anche tramite il gradiente della funzione
Potenziale vettore, definito a meno del gradiente di una funzione
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Divergenza
Gradiente ionico
Jacobiano
Nabla
Rotore
Subgradiente
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