Richiami matematici
1 ottobre 2015
Campi scalari e vettoriali
Operatori differenziali sui campi
Vettore area, orientazione di una superficie
Elementi di lunghezza, area, volume
Operazioni integrali sui campi
Teoremi integrali
Campi
• Matematicamente sono funzioni reali (o
complesse) che rappresentano grandezze
fisiche
• Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel
tempo (o in opportuni sottoinsiemi)
F ( x, y , z , t )
• Se non dipendono dal tempo sono detti statici
G ( x, y , z )
• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di
definizione) lo stesso valore sono detti uniformi
2
Campi
• Se basta una sola funzione a definirli
completamente, il campo e` detto scalare
(campo della temperatura)
  f ( x, y , z , t )
• Se occorre una funzione per ogni dimensione
spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo
della velocita` di un fluido)
Ay  g ( x, y, z , t )
Ax  f ( x, y, z, t )
Az  g ( x, y, z, t )

Ax, y, z, t   Ax x, y, z, t , Ay x, y, z, t , Az x, y, z, t  

 Ax x, y, z, t iˆ  Ay x, y, z, t  ˆj  Az x, y, z, t kˆ

3
Operazioni differenziali sui campi
• Sono operazioni di derivazione delle
componenti del campo. Agiscono su
campi e definiscono nuovi campi.
– Gradiente
– Divergenza
– Rotazione (o rotore)
– Laplaciano
• Siccome le componenti sono funzioni di
piu` variabili, avremo derivate parziali
4
Gradiente di un campo
• In coordinate cartesiane:

 ˆ  ˆ 
ˆ
  i
j
k
x
y
z
• Formalmente, l’operatore gradiente si scrive:




  iˆ  ˆj  kˆ
x
y
z
• Il gradiente di un campo scalare e` un campo
vettoriale
• Puo` anche agire su una qualunque componente

Ak ˆ Ak ˆ Ak
di un campo vettoriale: 
ˆ
A i
j
k
k
x
y
z
5
Gradiente di un campo
• In coordinate cilindriche (r,f,z):

 ˆ 1  ˆ 
  ˆ
f
k

 f
z
• Un campo ha simmetria cilindrica se non dipende da f
• Ha simmetria di traslazione lungo z se non dipende da z
• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla
• In coordinate sferiche (r,q,f):

 ˆ 1  ˆ 1 
  rˆ
q
f
r
r q
r sin q f
• Un campo ha simmetria sferica se non dipende da q, f
• In tal caso la parte del gradiente nel rettangolo rosso si annulla
6
Divergenza di un campo vettoriale
• In coordinate cartesiane:
  Ax Ay Az
 A 


x
y
z
• Formalmente si puo` considerare come il
prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il
campo vettoriale:

   
 ˆ 
ˆ
ˆ
  A   i
 j  k   Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ
y
z 
 x

• E` un campo scalare
7
Divergenza di un campo
vettoriale
• In coordinate cilindriche:
  1 
1 Af Az


 A 
A 

 
 f z
• In coordinate sferiche:
  1  2
1

1 Af
sin qAq  
 A  2
r Ar 
r r
r sin q q
r sin q f


8
Rotazione di un campo vettoriale
• In coordinate cartesiane:
   Az Ay 
 
  A  iˆ

z 
 y
A
ˆj Ax  Az   kˆ y  Ax 
x   x
y 
 z
• Formalmente si puo` considerare come il
prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il
campo vettoriale:
ˆ
ˆ
ˆ
i
   
 ˆ 

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
  A   i
 j  k   Axi  Ay j  Az k 
y
z 
x
 x
Ax


j

y
Ay
k

z
Az
• Dalla presenza di versori, si evince che e` un
campo vettoriale
9
Rotazione di un campo
vettoriale
• In coordinate cilindriche:
 
A
 1 Az Af  ˆ A Az  ˆ 1  
  f 
  k  Af   
  A  ˆ 


z   z
 
  
f
  f



• In coordinate sferiche:
 
  A  rˆ
1
r sin q
 

sin qAf   Aq
f
 q
 ˆ 1 Ar 1 
  q 
rAf   fˆ 1   rAq   Ar 

r  r
q 
  r sin q f r r

10
Laplaciano di un campo
 2  2  2
• In coordinate cartesiane:   2  2  2
x
y
z
• Il laplaciano di un campo scalare e` un campo
scalare
 
2
• E` la divergenza del gradiente:        
• Formalmente:
2
2
2
   











       iˆ  ˆj  kˆ    iˆ  ˆj  kˆ   2  2  2
y
z   x
y
z  x y
z
 x
• Puo` agire anche su una qualunque componente
di un campo vettoriale:
 2 Ak  2 Ak  2 Ak
Ak 
x
2

y
2

z 2
11
Vettore area
a
• Due vettori nello spazio a e b, linearmente
indipendenti, definiscono un piano
• L’area del parallelogramma che si puo`
costruire coi due vettori e`: A  ab sin 
• Alla coppia a, b si puo` associare un vettore
perpendicolare al piano e di modulo pari ad A,
 
cioe` il loro prodotto esterno: 
b
A1
a
b
A1  a  b
• Altrettanto bene potremmo associare il vettore
 
dato dal prodotto esterno 
a
b
A2  b  a
A2
12
Orientazione di una superficie
• Le due scelte riflettono le due possibili
orientazioni dellasuperficie
 
• Nel primo caso A1  a  b rappresenta
l’orientazione oraria
a
b
A1
A2
 

• Nel secondo caso A2  b  a rappresenta
l’orientazione antioraria
a
b
• Queste considerazioni possono essere estese
a superfici di forma qualunque
13
dz
dx
dy
dz
 df
d
r sinq df
dr
r dq
Elementi di lunghezza
lungo le direzioni
coordinate
• In coordinate cartesiane:
– dx
– dy
– dz
• In coordinate cilindriche:
– d
– dlf =  df
– dz
• In coordinate sferiche:
– dr
– dlq = r dq
– dlf = r sinq df
14
Elementi di area sulle
superfici coordinate
dz
dx
dy
dz
 df
d
r sinq df
dr
r dq
• In coordinate cartesiane:
– daz = dx dy
– dax = dy dz
– day = dz dx
• In coordinate cilindriche:
– daz =  d df
– da =  df dz
– daf = dz d
• In coordinate sferiche:
– daf = r dr dq
– dar = r2 sinq dq df
– daq = r sinq df dr 15
Elemento di volume
nello spazio
dz
dx
• In coordinate cartesiane:
dV = dx dy dz
dy
dz
 df
d
r sinq df
• In coordinate cilindriche:
dV =  d df dz
• In coordinate sferiche:
dV = r2 sinq dr dq df
dr
r dq
16
Area dei parallelogrammi
z
proiezione
•
•
•
•
Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani
coordinati di una terna cartesiana
Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di
vettori aij ,bij proiezioni della coppia a,b
(ovvero un parallelogramma proiezione del
parallelogramma associato alla coppia)
x
Determiniamo la coppia proiettata, ad
esempio, sul piano xy: 

ˆ
ˆ
bxy  bxiˆ  by ˆj
axy  axi  a y j
Determiniamo l’area del parallelogramma

associato: 

ˆ


a
b
y

Axy  axy  bxy  axiˆ  a y ˆj  bxiˆ  by ˆj  axby  axby k
•
Che altro non e` se non la componente z del
 
vettore area A.
Axy  axby  axby  a  b z  Az
•
Quindi la proiezione di un elemento di area su
un piano coordinato e` la componente nella

direzione normale al piano del vettore area
A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ
associato all’elemento.


17
Operazioni integrali sui campi
• Circuitazione: integrale lungo una linea
 (1-dim)
 
 A  dl
A
C
C
• Flusso: integrale su una superficie (2-dim)

 
 A  nˆda   A  da
S
S

A
S
• Integrale nello spazio (di volume): 3-dim
 dV
V
V

18
Teoremi integrali
• Esistono due teoremi che coinvolgono
integrali multipli degli operatori
differenziali:
– Teorema della divergenza
– Teorema di Stokes
19
Teorema della divergenza
• Lega il flusso di un campo vettorale
all’integrale di volume della divergenza del
campo stesso
• (Flusso di un campo vettoriale attraverso una
superficie chiusa) = (Integrale della divergenza
del campo nello spazio interno alla superficie)
 
 
 A  da     AdV

A
S
S
V
V
 
 A
20
Teorema di Stokes
• Lega la circuitazione di un campo vettoriale al
flusso della rotazione del campo stesso
• (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una
linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo
attraverso una qualunque superficie aperta che
poggia su tale linea)
 
  
 A  dl     A  da

A
C
S
 
 A
S
C
21