Elementi Generali di Base 1) Campi Scalari e Vettoriali U ( x, y, z, t ) A( x, y, z, t ) Stazionari se non variano nel tempo! 2) Gradiente A = grad U = U = dU iˆ + dU ĵ + dx dy dU kˆ dz DERIVATA DIREZIONALE Consideriamo un punto P sulla superficie di livello f (x, y, z) COSTANTE Sia n̂ il versore della normale alla superficie in P orientato positivamente nel verso con cui cresce la COSTANTE . Per uno spostamento infinitesimo dr f di componenti (dx, dy, dz) lungo la superficie di livello e che passi per il punto P si può scrivere df df dx dx df dy dy df dz dz f dr f In quanto la f non varia sulla superficie di livello. Pertanto il vettore gradiente e lo spostamento sono ortogonali tra loro e quindi il vettore gradiente è ortogonale alla superficie di livello nel punto P. Per uno spostamento infinitesimo generico dr dl.uˆ di modulo dl e versore û (dl.uˆ ) f dl cos Dove θ è l'angolo tra la direzione di dr e quella della normale alla df f superficie di livello in P. Si ottiene così la DERIVATA DIREZIONALE di f lungo la direzione û f l f cos Che esprime la rapidità con cui varia la funzione f quando ci si muove 1, cioè per spostamenti nella direzione û . Sarà massima per cos normali rispetto alla superficie di livello. Il gradiente quindi individua la direzione lungo la quale la funzione varia più rapidamente. Campo scalare U trasformato nel campo vettoriale A dall'operatore simbolico nabla ( o "del" ) 3) Divergenza = div A = •A = Ay Ax Az + + y x z Campo vettoriale A trasformato nel campo scalare con il vettore nabla dal prodotto scalare 4) Integrale di linea Si definisce integrale di linea di un campo vettoriale A lungo una linea γ la grandezza A • dl INTEGRALE DI LINEA rot ( grad . f ) x f o 5) Rotore (Curl) G = rot ( F ) = curl ( F ) = x F = Λ F Il campo elettrostatico è radiale (campo centrale), per cui: rot E = x E = 0 E si potrà dire Cioè può essere dedotto da una funzione scalare detta potenziale elettrostatico V. attraverso l'operatore gradiente. 6)Flusso di un vettore attraverso una superficie Sia S una generica superficie e dS un elemento infinitesimo di superficie appartenente ad S. Sia A un un campo vettoriale: 8) Teorema della rotazione (Stokes) A dl ˆ dS rot ( A) n. S rot.( A) dS S Essendo S una qualunque superficie avente per contorno 9) Campi solenoidali Sono i campi vettoriali per i quali è: div.A Condizione di solenoidalità poiché posto A rot.( B ) div.(rot.( B)) esisterà un campo B di cui A è il rotore A rot ( B ) Potenziale vettore Per cui applicando l'operatore rotore si arriva alla: rot ( A) rot (rot ( B)) grad .divB B APPENDICE Si possono dimostrare le seguenti relazioni (U e V scalari, F e G vettori)
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