Il calcolo vettoriale
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1
I vettori: definizione

Attenzione a definizioni superficiali


Del tipo: “Definito da modulo, direzione, verso”
Sono valide “a senso”, e solo in coordinate
cartesiane!


Dimenticatela se l’avete sentita a scuola!
In realtà si definisce il vettore come un
Ente astratto che si trasforma
come le coordinate di un punto
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I vettori: definizione

In una relazione vettoriale tutti i termini si
trasformano in modo identico. Quindi
le relazioni vettoriali sono
invarianti per trasformazioni di
coordinate

Quindi una relazione valida in un sistema di
coordinate, vale, nella stessa forma, in ogni
sistema di coordinate!
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I vettori: definizione

Si definisce come scalare un numero, però
un numero che sia
indipendente dal sistema di
coordinate

Quindi una componente di un vettore NON è uno
scalare…

questa dipende dal sistema di coordinate
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Vettori e componenti

Quindi un vettore è definito
come un punto


Coppia o terna ordinata di numeri reali
I numeri che lo definiscono si dicono le
componenti del vettore

Attenzione: Nei sistemi polari o cilindrici le
componenti dei vettori possono essere sia
misure sia di distanze, sia di angoli
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Vettori e componenti

Ci riferiremo nel Corso sempre ad un
sistema cartesiano ortogonale



Salvo un paio di casi
Nello spazio 3D un vettore è definito da
tre componenti
 vx 
Ecco alcune notazioni usate di solito
 
v   vx , v y , vz    vx v y v z    v y 
v 
 z
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Vettori e componenti


Nello spazio 2D un vettore è definito da
due componenti
Ecco alcune notazioni usate di solito
v   vx , v y    vx
 vx 
vy    
 vy 
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Vettori e componenti

Le componenti di un vettore sono
interpretabili, ad esempio, come



Le coordinate di un punto
Le proiezioni di un segmento orientato
Da questo l’interpretazione geometrica o
grafica (molto comoda, peraltro) della
“freccetta”
Però fate attenzione: un vettore è l’insieme

di TUTTE le freccette parallele nello spazio!
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Uno schizzo
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Prodotto vettore per scalare
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Vettori
moltiplicazione per uno scalare


Un vettore è definito tramite le sue
componenti v   v v v 
x
y
z
Si dà significato al vettore nullo
O   0 0 0
Attenzione: i vettori vanno indicati in modo
diverso dagli scalari!


Freccette, grassetto, corsivo...
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Vettori
moltiplicazione per uno scalare


Si definisce la moltiplicazione di un
vettore per uno scalare nel modo
seguente w   v
 wx wy wz    vx vy vz 
Si dà quindi significato all’opposto di un
vettore w  v
w
x
wy
wz    vx
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 vy
 vz 
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Vettori
moltiplicazione per uno scalare

Se un vettore si ottiene da un altro
moltiplicandolo per uno scalare, i due
vettori si dicono
paralleli

Il significato grafico spiega la ragione di
questo nome:
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Somma di vettori
Detta anche “composizione”
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Vettori
la somma

Si definisce la somma di due vettori come
v   vx
vy
vz  w   wx
v  w   vx  wx

v y  wy
wy
wz 
vz  wz 
Le proprietà della somma dei vettori sono
facili da dimostrare



Commutativa
Associativa
Distributiva (rispetto alla moltiplicazione per uno scalare)
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Vettori
la somma

Interpretazione geometrica:


Vettore come segmento orientato
Somma come costruzione testa-coda



Caso particolare: regola del parallelogramma
Attenzione: questa è comoda solo nel caso di DUE vettori
Attenzione al nome somma: nome usato per
economia (e viste le operazioni sulle
componenti)


Il nome è alquanto improprio
Spesso (e meglio) si usa “composizione”
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La combinazione lineare
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Vettori
la combinazione lineare

È la combinazione di moltiplicazione per
uno scalare e di somma
v   vx
vy
vz  w   wx
wy
Molto utile!
wz 

v   w 
 v
x
  wx  v y   wy  vz   wz 
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Vettori
la combinazione lineare

Un caso particolare notevole: la
differenza   1   1
v  w   vx  wx

v y  wy
vz  wz 
Una combinazione lineare di due vettori
fornisce sempre un vettore complanare
al piano individuato dai primi due
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Somma e differenza di vettori
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